2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第五章第三节　等比数列 学案

第三节　等 比 数 列
2019考纲考题考情



1．等比数列的有关概念
(1)定义：
①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)。
②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)。
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab。
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1。
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq。(等积性)
特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a。
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。
(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列。
(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk。
(6)若或则等比数列{an}递增。
若或则等比数列{an}递减。

1．若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列。
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误。

一、走进教材
1．(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________。
解析　设该数列的公比为q，由题意知，192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4。所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48。
答案　12,48
2．(必修5P61A组T1改编)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________。
解析　因为＝，所以＝－，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－1×n－1＝－n－1。
答案　－n－1
二、走近高考
3．(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)
A．f B．f
C．f D．f
解析　从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为的等比数列，记为{an}，则第八个单音频率为a8＝f·()8－1＝f，故选D。
答案　D
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)
A．2 B．1
C． D．
解析　因为{an}为等比数列，所以a3a5＝4(a4－1)＝a，得a4＝2，而a1＝，＝＝8＝q3，得公比q＝2，所以a2＝×2＝。故选C。
答案　C
三、走出误区
微提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b”成等比数列的必要不充分条件；②忽视q＝1的特殊情况；③对数的运算性质不熟练。
5．在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________。
解析　设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8。
答案　±8
6．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和为Sn＝________。
解析　因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列。当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时Sn＝。
答案　
7．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。
解析　因为数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，所以a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50。
答案　50

考点一 等比数列的基本运算
【例1】　(1)已知等比数列{an}是递增数列，a1＋a7＝65，a2a6＝64，则公比q＝(　　)
A．±4 B．4
C．±2 D．2
(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3。
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和。若Sm＝63，求m。
(1)解析　由得又等比数列{an}是递增数列，所以所以q＝＝2。故选D。
答案　D
(2)解　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1。
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2。
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1。
②若an＝(－2)n－1，则Sn＝。
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解。
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1。
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6。
综上，m＝6。

1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解。
2．等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝。
【变式训练】　(1)Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4，S3，S5成等差数列，则{an}的公比q的值为(　　)
A． B．2
C．－ D．－2
(2)(2019·安徽质量检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　)
A．a，b，c成公比为2的等比数列，且a＝
B．a，b，c成公比为2的等比数列，且c＝
C．a，b，c成公比为的等比数列，且a＝
D．a，b，c成公比为的等比数列，且c＝
解析　(1)由S4，S3，S5成等差数列，得2S3＝S5＋S4，即2(a1＋a2＋a3)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5，整理得a5＝－2a4，所以＝－2，即q＝－2。故选D。
(2)由题意可得，a，b，c成公比为的等比数列，b＝a，c＝b，三者之和为50升，故4c＋2c＋c＝50，解得c＝。故选D。
答案　(1)D　(2)D
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)。
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列。
解　(1)因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，
所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；
当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，
所以a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
所以a3＝8。
综上，a2＝4，a3＝8。
(2)证明：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)。②
①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2。
所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)。
因为S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，
所以＝2，
故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列。

1．证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。
2．利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证。
【变式训练】　已知数列{an}的首项a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝。
(1)求证：是等比数列，并求出{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn。
解　(1)记bn＝－1，则＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，
所以是首项为，公比为的等比数列。
所以－1＝·n－1，
即an＝。
所以数列{an}的通项公式为an＝。
(2)由(1)知，－1＝·n－1，
即＝·n－1＋1。
所以数列的前n项和
Tn＝＋n＝＋n。
考点三 等比数列的性质及应用微点小专题
方向1：等比数列项的性质应用
【例3】　(1)(2019·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－或
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________。
解析　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－。
(2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2。所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25。所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5。
答案　(1)B　(2)5

1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度。
2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形。此外，解题时注意设而不求思想的运用。
方向2：等比数列前n项和的性质
【例4】　(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________。
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________。
解析　(1)由题意，得解得所以q＝＝＝2。
(2)设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1。由÷＝，得q3＝－，所以＝＝。

解析：设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以公比q≠1，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝。

答案　(1)2　(2)

1．项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q。
(1)若共有2n项，则＝q；
(2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)，＝q。
2．等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质，例如在等比数列中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk(q≠－1)。
【题点对应练】　
1．(方向1)已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________。
解析　因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log2(2an)，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100。
答案　100
2．(方向2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60
C．32 D．50
解析　由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60。故选B。
答案　B

　　　　　　　　　　　　　
1．(配合例1使用)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和Tn。
解　(1)设数列{an}的公比为q，
由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝，
由条件可知an>0，故q＝。
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝，
故数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)。
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－(n∈N*)。
故＝－＝－2(n∈N*)，
则Tn＝＋＋…＋＝－2＝－(n∈N*)。
所以数列的前n项和Tn＝－(n∈N*)。
2．(配合例2使用)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*。已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1。
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列。
解　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4×＋5×＝8×＋1，解得a4＝。
(2)证明：因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)。
又因为4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，
所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，
所以＝
＝＝＝，
所以数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列。
3．(拓展型)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)。
解　(1)设等比数列{an}的公比为q，
因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以2S3＝4S4－2S2，即S3＝2S4－S2，
即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－。
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·。
(2)由(1)知，Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝。
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝。
故对于n∈N*，有Sn＋≤。