2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第十章第三节　几何概型 学案

第三节　几 何 概 型
2019考纲考题考情





1．几何概型
(1)几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
(2)几何概型的两个基本特点

2．几何概型的概率公式
P(A)＝。

几种常见的几何概型
1．与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关。
2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题。
3．与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题。

一、走进教材
　　　　　　　
1．(必修3P142A组T3改编)一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 s，黄灯的时间为5 s，绿灯的时间为40 s，当某人到达路口时看见的是红灯的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析　设事件A表示“某人到达路口时看见的是红灯”，则事件A对应30 s的时间长度，而路口红绿灯亮的一个周期为30＋5＋40＝75(s)的时间长度。根据几何概型的概率公式可得，事件A发生的概率P(A)＝＝。故选B。
答案　B
2．(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘为(　　)


解析　如题干选项中的各图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝。故选A。
答案　A
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A． B．
C． D．
解析　设正方形的边长为2，则圆的半径为1，正方形的面积为4，圆的面积为π，根据对称性关系，黑色部分的面积是圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为。根据几何概型的概率公式，得此点取自黑色部分的概率为P＝＝。故选B。
答案　B
4．(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析　由题意得下图：

由图得等车时间不超过10分钟的概率为。故选B。
答案　B
5．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　设由构成的正方形的面积为S，由x＋y<1构成的图形的面积为S′，所以＝＝，所以π＝。故选C。
答案　C
三、走出误区
微提醒：几何概型类型不清致误。
6．在长为6 m的木棒AB上任取一点P，则点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是________。
解析　所求概率为＝。
答案　
7.为了测算如图所示阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________。

解析　正方形的面积为36，则阴影部分的面积约为×36＝9。
答案　9


考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例1】　(1)(2019·合肥质检)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是(　　)
A． B．
C． D．
(2)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)

A． B．
C． D．
解析　(1)由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24×2×5＝240(分钟)，即4个小时，所以所求的概率为＝。故选D。

解析：在一个小时内，播放时长为10分钟，这是一个几何概型，故所求概率为P＝＝。故选D。

(2)记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝。故选A。

答案　(1)D　(2)A

1．与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解。
2．与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段。
【变式训练】　(1)记函数f(x)＝的定义域为D。在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为________。
(2)如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________。

解析　(1)由6＋x－x2≥0解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，故所求概率为＝。
(2)因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°。记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生。由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝。
答案　(1)　(2)
考点二 与面积有关的几何概型微点小专题
方向1：与图形面积有关的几何概型
【例2】　(2019·重庆六校联考)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何。”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步。”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是(　　)
A． B．
C．1－ D．1－

解析　如图，直角三角形的斜边长为＝17，设其内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3，所以内切圆的面积为πr2＝9π，所以豆子落在内切圆外的概率P＝1－＝1－。故选D。
答案　D

1．根据题意确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型。
2．分别求出全部事件和所求事件对应的区域面积。
3．利用几何概型概率计算公式正确计算，需要注意计算的测度是否一致。
方向2：“会面”问题
【例3】　甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若乙早到则不需等待即可离去，则甲、乙两人能见面的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由题意知本题是一个几何概型，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则试验包含的所有事件是Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，事件对应的集合表示的面积是S＝1，满足条件的事件是A＝，则B，D，C(0,1)，则事件A对应的集合表示的面积是1－＝，根据几何概型概率公式得到P＝＝，所以甲、乙两人能见面的概率为。故选A。

答案　A

此类问题属于双变量问题，其中一个变量设为x，另一个变量设为y，构成有序实数对(x，y)，从而转化为面积问题。
【题点对应练】　
1．(方向1)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币。如图所示的是一枚8 g圆形金质纪念币，直径22 mm，面额100元。为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是(　　)

A． mm2 B． mm2
C． mm2 D． mm2
解析　设军旗的面积为a mm2，则有＝，解得a＝。故选B。
答案　B
2．(方向1)已知x，y∈[0,2]，则事件“x＋y≤1”发生的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由图可知，事件“x＋y≤1”发生的概率为＝。故选B。

答案　B
3．(方向2)某日，甲、乙两人随机选择早上6：00至7：00的某个时刻到达七星公园进行锻炼，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析　在平面直角坐标系中，设x，y分别表示乙、甲两人的到达时刻，当x－y>20时满足题意，由几何概型计算公式可得，甲比乙提前到达超过20分钟的概率为＝。故选B。

答案　B
考点三 与体积有关的几何概型
【例4】　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________。

解析　过M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M－ABCD的高，显然M在平面RS上任意位置时，四棱锥M－ABCD的体积都相等。若此时四棱锥M－ABCD的体积等于，只要M在截面RS以下即可小于，当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝。
答案　

对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求。
【变式训练】　已知正棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP－ABC A． B．
C． D．
解析　由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VP－ABC
答案　B
1．(配合例1使用)已知函数y＝cosx，x∈，则cosx≤的概率是________。
解析　由cosx≤，x∈，得x∈∪，故所求概率P＝＝。
答案　
2．(配合例2使用)设点(a，b)为不等式组表示的平面区域内任意一点，则函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数的概率为(　　)
A．　　　　B.
C．　　　　D.
解析　作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示。若函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数，则即可得满足条件的平面区域为△OBC，由得即C，所以S△OBC＝×4×＝。又S△OAB＝×4×4＝8，所以函数f(x)＝ax2－2bx＋3在区间上是增函数的概率P＝＝＝。故选A。

答案　A

概率统计综合问题是高考应用型问题，解决问题需要经历收集数据、整理数据、分析数据、处理数据、得出有用的结论几个复杂过程。如果这几个过程书写步骤缺失则会造成丢分；如果数据处理不当则会陷入庞大的数据运算中，因此解决这类问题首先需要根据题目条件提取有用数据，然后根据统计思想对数据进行相关处理、运算，并按照一定的书写步骤准确无误书写出来，做到步骤不缺失、表述准确无误，下面就如何从概率统计综合问题中迅速提取数据，并作出正确处理及模型构建提供四类典例展示。
类型一 频率分布直方图数据的提取、处理及运算
【例1】　某市某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该市空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)。

该社团将该市在2018年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率。

(1)请估算2018年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
(2)该市将于2018年12月25、26、27日举办一场国际会议，若这三天中某天出现5级重度污染，则该天需要净化空气费用10万元，出现6级严重污染，则该天需要净化空气费用20万元，假设每天的空气质量等级相互独立，记这三天净化空气总费用为X万元，求X的分布列及数学期望。
解　(1)由直方图可得2018年(以365天计算)全年该市空气质量优良的天数为(0.002＋0.004)×50×365＝0.3×365＝109.5≈110。
(2)由题可知，X的所有可能取值为0,10,20,30,40,50,60，
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝10)＝C××2＝，
P(X＝20)＝C×2×1＋C××2＝＝，
P(X＝30)＝3＋C××C××＝，
P(X＝40)＝C×2×＋C×2×＝，
P(X＝50)＝C×2×＝，
P(X＝60)＝3＝，
X的分布列为
X
0
10
20
30
40
50
60
P







E(X)＝0×＋10×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＝9(万元)。

频率分布直方图是考查数据收集和整理的常用依据，掌握频率分布直方图中常见数据的提取方法是解决这类问题的关键。
类型二 茎叶图数据的提取、处理及运算
【例2】　如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
解　(1)如果X＝8，乙组的平均数为
乙＝＝，
s2＝＝＝。
(2)设甲组4名同学分别为x1，x2，x3，x4，植树棵数分别为9,9,11,11，乙组4名同学分别为y1，y2，y3，y4，植树棵数分别为9,8,9,10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有：
(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)，(x3，y1)，(x3，y2)，(x3，y3)，(x3，y4)，(x4，y1)，(x4，y2)，(x4，y3)，(x4，y4)，共16种。
设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件A，则事件A包含的结果有：(x1，y4)，(x2，y4)，(x3，y2)，(x4，y2)，共4种，
故所求的概率P(A)＝＝。
即从甲、乙两组中各随机选取一名同学，这两名同学的植树总棵数为19的概率为。

茎叶图提供了具体的数据，找准各组数据共同的茎及各自的叶是处理此类问题的关键。如果所有数据过大，在计算平均数时，可以将所有数据同时减去一个数字再计算，减去一个数后方差不变，另外除了要掌握各类数据的计算方法以外，还要能从提供的数据的趋势分析预测结果。茎叶图数据很具体，常联系古典概型进行考查。
类型三 表格数据的提取、处理及运算
【例3】　某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：

(1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染。根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？

非严重污染
严重污染
总计
供暖季



非供暖季



总计100



附：K2＝
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
解　(1)设“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A。由y>400，得x>200。
由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，
所以P(A)＝＝。
(2)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：

非严重污染
严重污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝≈4.575。
因为4.575>3.841。
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”。

处理表格数据的关键是搞清表格中各行、各列数的意义，特别表格中最后一行或最后一列中的数据多为合计(或总计)。
类型四 折线图中数据的提取、处理及运算
【例4】　如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图。

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量。
附注：
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17，
＝0.55，≈2.646。
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－。
解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈≈0.99。因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系。
(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92。
所以，y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t。
将2020年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82。
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨。

1．折线图中拐点处的坐标是我们提取数据的关键点，注意横坐标、纵坐标的意义即可。
2．“最小二乘法”求回归方程，计算是这类问题的难点，需要根据题目中提供的数据进行分析，从而求解回归方程＝x＋，其中求是问题的关键，计算出后，可以将样本点的中心(，)代入方程求解出。