2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第六章第二节　一元二次不等式及其解法 学案

第二节　一元二次不等式及其解法

2019考纲考题考情

1．一元二次不等式的特征

一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0。

2．一元二次不等式的解集

3.(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式解法

1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记讨论当a＝0时的情形。

2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。

(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或

(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或

一、走进教材

1．(必修5P80A组T4改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝x，那么集合A∩(∁UB)等于(　　)

A．[－2,4)  B．(－1,3]

C．[－2，－1]  D．[－1,3]

解析　因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x≥4}，故∁UB＝{x|－1≤x<4}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}。故选D。

答案　D

2．(必修5P80A组T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________。

解析　由题意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，所以3x2－2x－2>0的解集为∪。

答案　∪

二、走近高考

3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝(　　)

A．   B．

C．   D．

解析　集合A＝(1,3)，B＝，所以A∩B＝。

答案　D

4．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________。若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________。

解析　若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得1<x<2。综上可知1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集为(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因为函数f(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4。

答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞)

三、走出误区

微提醒：①解不等式时变形必须等价；②注意二次项的系数符号；③对参数的讨论不要忽略二次项系数为0的情况。

5．不等式2x(x－7)>3(x－7)的解集为________。

解析　2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得x<或x>7，所以，原不等式的解集为{x。

答案　{x

6．不等式(x＋3)(1－x)≥0的解集为________。

解析　(x＋3)(1－x)≥0⇔(x＋3)(x－1)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集为{x|－3≤x≤1}。

答案　{x|－3≤x≤1}

7．对于任意实数x，不等式mx2＋mx－1<0恒成立，则实数m的取值范围是________。

解析　当m＝0时，mx2＋mx－1＝－1<0，不等式恒成立；当m≠0时，由解得－4<m<0。综上，m的取值范围是(－4,0]。

答案　(－4,0]

考点一  一元二次不等式的解法微点小专题

方向1：一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

(1)0<x2－x－2≤4；

(2)≥－1；

(3)ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)。

解　(1)原不等式等价于

⇔⇔

⇔

借助于数轴，如图所示，

原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}。

(2)将原不等式移项通分得≥0，

等价于

解得x>5或x≤。

所以原不等式的解集为{x。

(3)原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，

因为a>0，所以a(x－1)<0。

所以当a>1，即<1时，解为<x<1；

当a＝1时，解集为∅；

当0<a<1，即>1时，解为1<x<。

综上，当0<a<1时，不等式的解集为

{x；

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a>1时，不等式的解集为x。

含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：

1．若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论。

2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式。

3．其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集。

方向2：利用函数性质解不等式

【例2】　(2019·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x>0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________。

解析　设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)。又f(0)＝0，于是不等式f(x)>x等价于或解得x>3或－3<x<0。故不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)。

答案　(－3,0)∪(3，＋∞)

这类问题应先判断函数的单调性和奇偶性，再解不等式。

【题点对应练】　

1．(方向1)已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是(　　)

A．(2,3)

B．(－∞，2)∪(3，＋∞)

C．

D．∪

解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系得解得不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)。

答案　A

2．(方向2)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，则不等式f(1－2x)＋f(3)>0的解集为(　　)

A．(－∞，2)   B．(2，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(1，＋∞)

解析　由于f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f(1－2x)＋f(3)>0⇒f(1－2x)>－f(3)＝f(－3)，所以1－2x>－3,2x<4，x<2，所以不等式的解集为(－∞，2)。故选A。

答案　A

3．(方向1)求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集。

解　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，

即(4x＋a)(3x－a)>0，

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝。

当a>0时，不等式的解集为∪；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

当a<0时，不等式的解集为∪。

考点二  一元二次不等式恒成立问题微点小专题

方向1：在R上恒成立问题

【例3】　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]   B．[－2,2]

C．(－2,2]   D．(－∞，－2)

解析　当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立。当a≠2时，则即解得－2<a<2。所以实数a的取值范围是(－2,2]。

答案　C

一元二次不等式在R上恒成立的条件

方向2：在给定区间上的恒成立问题

【例4】　已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，求实数b的取值范围。

解　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2。

又因为f(x)的图象开口向下，

所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，

所以当x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，

若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，

则b2－b－2>0恒成立，

解得b<－1或b>2。

所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)。

一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法

1．若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)。

2．转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a。

【题点对应练】　

1．(方向1)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0)   B．[－3,0)

C．[－3,0]   D．(－3,0]

解析　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则

解得－3<k<0。综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]。

答案　D

2．(方向2)若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________。

解析　由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需即解得－<m<0。

答案　

1．(配合例1使用)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)。

解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0。

①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1。

②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，

解得x≥或x≤－1。

③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0。

当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；

当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；

当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1。

综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；

当a>0时，不等式的解集为{x；

当－2<a<0时，不等式的解集为{x；

当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；

当a<－2时，不等式的解集为{x。

2．(配合例2使用)已知函数f(x)＝e1＋x＋e1－x，则满足f(x－2)<e2＋1的x的取值范围是(　　)

A．x<3   B．0<x<3

C．1<x<e   D．1<x<3

解析　因为f(x)＝e1＋x＋e1－x＝e·ex＋＝e，令t＝ex，可得y＝e，内函数t＝ex为增函数，而外函数y＝e在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)＝e1＋x＋e1－x的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)。又f(x)＝e1＋x＋e1－x为偶函数，所以由f(x－2)<e2＋1，得f(|x－2|)<f(1)，得|x－2|<1，解得1<x<3。故选D。

答案　D

3．(配合例3、例4使用)函数f(x)＝x2＋ax＋3。

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围。

解　(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，

所以实数a的取值范围是[－6,2]。

(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：

①如图①，当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时，

有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2。

②如图②，g(x)的图象与x轴有交点，

但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，

即即

可得解得a∈∅。

③如图③，g(x)的图象与x轴有交点，

但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0。

即即

可得

所以－7≤a≤－6，

综上，实数a的取值范围是[－7,2]。

(3)令h(a)＝xa＋x2＋3。

当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立。

只需即

解得x≤－3－或x≥－3＋。

所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)。