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2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第二章第三节 函数的奇偶性与周期性 学案
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第三节 函数的奇偶性与周期性
2019考纲考题考情
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
图象特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
1．一条规律
奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。
2．两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0。
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
3．函数周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x，
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)。
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)。
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)。
一、走进教材
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|lnx| D．y＝2－x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选B。
答案 B
2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________。
解析 由题意得，f ＝f ＝－4×2＋2＝1。
答案 1
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________。
解析 依题意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f(x)是奇函数，得f(2)＝－f(－2)＝12。
答案 12
4．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)。若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________。
解析 因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)。又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6。
答案 6
三、走出误区
微提醒：①利用奇偶性求解析式忽视定义域；②忽视奇函数的对称性致错。
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________。
解析 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝
答案
6．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________。
解析 由图象可知，当00；当20。综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5]。
答案 (－2,0)∪(2,5]
考点一 函数奇偶性的判断
【例1】 (1)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；
②f(x)＝。
(1)解析 函数f(x)＝3x－x的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又因为y＝3x，y＝－x都是增函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数。
答案 B
(2)解 ①因为由得x＝±1，
所以f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称。
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)。
所以f(x)既是奇函数又是偶函数。
②因为由得－2≤x≤2且x≠0。所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称。
所以f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。
2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系。在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立。
【变式训练】 (1)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
(2)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f(x)＝x＋sin2x B．f(x)＝x2－cosx
C．f(x)＝3x－ D．f(x)＝x2＋tanx
解析 (1)易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称。因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数。故选A。
(2)对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－为奇函数；只有f(x)＝x2＋tanx既不是奇函数也不是偶函数。故选D。
答案 (1)A (2)D
考点二 函数的周期性
【例2】 (1)函数f(x)＝lg|sinx|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 018)＝________。
解析 (1)因为f(x)定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称。f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数。因为f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为π。故选C。
(2)因为f(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数。则f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2。
答案 (1)C (2)－2
函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质。对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值。
【变式训练】 (1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________。
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________。
解析 (1)由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝－1。
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)。故函数f(x)的周期为4。所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3。
答案 (1)－1 (2)3
考点三 函数奇偶性的应用微点小专题
方向1：利用函数的奇偶性求值
【例3】 (1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 (1)因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，又当x>0时，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝。
(2)f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0。因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4。
答案 (1)B (2)C
将所求值转化为已知区间上的函数值。
方向2：利用奇偶性求参数的值
【例4】 若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________。
解析 因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝。
解析：因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数。
答案
已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解。用特殊值法求得参数后，一定要注意验证。
方向3：函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【例5】 定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是( )
A．f(7)
1．关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题。
2．掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)。
(2)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0。
【题点对应练】
1．(方向1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析 由题意，得f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log3(2＋1)＝－1。
答案 B
2．(方向2)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________。
解析 由f(－1)＝－f(1)得＝－，解得k＝±1。经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数。
答案 ±1
3．(方向3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
1．(配合例1使用)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sinx
解析 A项为奇函数；B，C项为偶函数；D项是非奇非偶函数。故选D。
答案 D
2．(配合例2使用)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x(3－2x)，则f＝( )
A． B．－
C．－1 D．1
解析 因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，所以f＝f＝f＝－f＝－＝－1。故选C。
答案 C
3．(配合例3使用)已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A． B．
C．π D．
解析 由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝。故选B。
答案 B
4．(配合例4使用)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析 已知f(x)＝2x＋为奇函数，故f(0)＝0，a＝－1，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，故得到g(x)＝g(－x)，g(x)＝bx－log2(4x＋1)＝g(－x)＝－bx－log2(4－x＋1)，化简得到b＝1，故得到f(ab)＝f(－1)＝－。故选D。
答案 D
5．(配合例5使用)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－4，令函数g(x)＝f(x)－m，若g(x)在区间[－10,2]上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝________。
解析 因为函数y＝f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，因此f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4。作出函数f(x)在[－10,2]上的图象及直线y＝m如图所示。由图象可知f(x)的图象在[－10,2]上有3条对称轴，分别为x＝－8，x＝－4，x＝0，所以6个零点之和为2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24。
答案 －24
奇偶函数的一组扩充性质
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用。
【性质1】 若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c。
【简证】 由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c。
【典例1】 已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝( )
A．－5 B．－1
C．3 D．4
【解析】 设g(x)＝ax3＋bsinx，则f(x)＝g(x)＋4，且函数g(x)为奇函数。又lg(lg2)＋lg(log210)＝lg(lg2·log210)＝lg1＝0，所以f(lg(lg2))＋f(lg(log210))＝2×4＝8，所以f(lg(lg2))＝3。故选C。
【答案】 C
由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数。有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功。
【变式训练1】 对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
解析 设g(x)＝asinx＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数。注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数。故选D。
答案 D
【性质2】 若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称。
【简证】 函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立。
【典例2】 函数f(x)＝＋＋的图象的对称中心为( )
A．(－4,6) B．(－2,3)
C．(－4,3) D．(－2,6)
【解析】 设g(x)＝－－－，则g(－x)＝－－－＝＋＋＝－g(x)，故g(x)为奇函数。易知f(x)＝3－＝g(x＋2)＋3，所以函数f(x)的图象的对称中心为(－2,3)。故选B。
【答案】 B
此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解。
【变式训练2】 设α，β分别满足方程α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，则α＋β＝________。
解析 设g(x)＝x3＋2x，则g(x)为单调递增的奇函数。设f(x)＝x3－3x2＋5x，则f(x)＝g(x－1)＋3，故f(x)的图象关于点(1,3)中心对称。观察题目条件α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，知f(α)＝4，f(β)＝2。所以f(α)＋f(β)＝6，则点(α，4)与点(β，2)关于点(1,3)对称，故α＋β＝2。
答案 2
【性质3】 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)。
【简证】 当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)。
综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)。
【典例3】 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A．
B．∪(1，＋∞)
C．
D．∪
【解析】 易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数。当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增。所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得
本题结合函数的偶函数性质f(x)＝f(|x|)减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量。
【变式训练3】 设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
解析 由f(x)＝x3－8，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0。所以，由已知条件可知f(x－2)>0⇒f(|x－2|)>f(2)。所以|x－2|>2，解得x<0或x>4。故选B。
答案 B
2019考纲考题考情
1．函数的奇偶性
奇偶性
条件
图象特点
偶函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)
关于y轴对称
奇函数
对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
1．一条规律
奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。
2．两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0。
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
3．函数周期性常用的结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x，
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)。
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)。
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)。
一、走进教材
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx
C．y＝|lnx| D．y＝2－x
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选B。
答案 B
2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________。
解析 由题意得，f ＝f ＝－4×2＋2＝1。
答案 1
二、走近高考
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________。
解析 依题意得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f(x)是奇函数，得f(2)＝－f(－2)＝12。
答案 12
4．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)。若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________。
解析 因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)。又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6。
答案 6
三、走出误区
微提醒：①利用奇偶性求解析式忽视定义域；②忽视奇函数的对称性致错。
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________。
解析 设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝
答案
6．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________。
解析 由图象可知，当0
答案 (－2,0)∪(2,5]
考点一 函数奇偶性的判断
【例1】 (1)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝＋；
②f(x)＝。
(1)解析 函数f(x)＝3x－x的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又因为y＝3x，y＝－x都是增函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数。
答案 B
(2)解 ①因为由得x＝±1，
所以f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称。
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)。
所以f(x)既是奇函数又是偶函数。
②因为由得－2≤x≤2且x≠0。所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称。
所以f(x)＝＝＝，
所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。
2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系。在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立。
【变式训练】 (1)已知函数f(x)＝，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数
B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数
C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数
D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
(2)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )
A．f(x)＝x＋sin2x B．f(x)＝x2－cosx
C．f(x)＝3x－ D．f(x)＝x2＋tanx
解析 (1)易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称。因为f(－x)＋g(－x)＝＋＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数。故选A。
(2)对于选项A，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，所以f(x)＝x2－cosx为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－＝－＝－f(x)，所以f(x)＝3x－为奇函数；只有f(x)＝x2＋tanx既不是奇函数也不是偶函数。故选D。
答案 (1)A (2)D
考点二 函数的周期性
【例2】 (1)函数f(x)＝lg|sinx|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 018)＝________。
解析 (1)因为f(x)定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称。f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数。因为f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sinx|＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为π。故选C。
(2)因为f(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是以3为周期的周期函数。则f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2。
答案 (1)C (2)－2
函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质。对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值。
【变式训练】 (1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________。
(2)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________。
解析 (1)由f(x)是R上周期为2的函数知，f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝－1。
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)。故函数f(x)的周期为4。所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3。
答案 (1)－1 (2)3
考点三 函数奇偶性的应用微点小专题
方向1：利用函数的奇偶性求值
【例3】 (1)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
(2)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 (1)因为f(x)为偶函数，所以f(－)＝f()，又当x>0时，f(x)＝log2x，所以f()＝log2＝，即f(－)＝。
(2)f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0。因为M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，所以M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4。
答案 (1)B (2)C
将所求值转化为已知区间上的函数值。
方向2：利用奇偶性求参数的值
【例4】 若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________。
解析 因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3＝x3，所以2a＝－，所以2a＝1，解得a＝。
解析：因为函数f(x)＝x3为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×＝13×，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数。
答案
已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(－x)＝－f(x)(奇函数)或f(－x)＝f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)＝0求解，偶函数一般利用f(－1)＝f(1)求解。用特殊值法求得参数后，一定要注意验证。
方向3：函数单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【例5】 定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图象关于y轴对称。则下列结论正确的是( )
A．f(7)
1．关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题。
2．掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)。
(2)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0。
【题点对应练】
1．(方向1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－8))＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析 由题意，得f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2，所以g(f(－8))＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log3(2＋1)＝－1。
答案 B
2．(方向2)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________。
解析 由f(－1)＝－f(1)得＝－，解得k＝±1。经检验，k＝±1时，函数f(x)都为奇函数。
答案 ±1
3．(方向3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
1．(配合例1使用)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sinx
解析 A项为奇函数；B，C项为偶函数；D项是非奇非偶函数。故选D。
答案 D
2．(配合例2使用)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x(3－2x)，则f＝( )
A． B．－
C．－1 D．1
解析 因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，因为函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，所以f＝f＝f＝－f＝－＝－1。故选C。
答案 C
3．(配合例3使用)已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝( )
A． B．
C．π D．
解析 由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝。故选B。
答案 B
4．(配合例4使用)已知f(x)＝2x＋为奇函数，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，则f(ab)＝( )
A． B．
C．－ D．－
解析 已知f(x)＝2x＋为奇函数，故f(0)＝0，a＝－1，g(x)＝bx－log2(4x＋1)为偶函数，故得到g(x)＝g(－x)，g(x)＝bx－log2(4x＋1)＝g(－x)＝－bx－log2(4－x＋1)，化简得到b＝1，故得到f(ab)＝f(－1)＝－。故选D。
答案 D
5．(配合例5使用)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，满足f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－4，令函数g(x)＝f(x)－m，若g(x)在区间[－10,2]上有6个零点，分别记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝________。
解析 因为函数y＝f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，由f(x＋2)＝f(x－2)＋f(2)，令x＝0，可得f(2)＝0，因此f(x＋2)＝f(x－2)，即f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4。作出函数f(x)在[－10,2]上的图象及直线y＝m如图所示。由图象可知f(x)的图象在[－10,2]上有3条对称轴，分别为x＝－8，x＝－4，x＝0，所以6个零点之和为2×(－8)＋2×(－4)＋2×0＝－24。
答案 －24
奇偶函数的一组扩充性质
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果，以下撷取近年高考题和联赛题为例，归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用。
【性质1】 若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c。
【简证】 由于函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋c＋f(x)＋c＝2c。
【典例1】 已知函数f(x)＝ax3＋bsinx＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝( )
A．－5 B．－1
C．3 D．4
【解析】 设g(x)＝ax3＋bsinx，则f(x)＝g(x)＋4，且函数g(x)为奇函数。又lg(lg2)＋lg(log210)＝lg(lg2·log210)＝lg1＝0，所以f(lg(lg2))＋f(lg(log210))＝2×4＝8，所以f(lg(lg2))＝3。故选C。
【答案】 C
由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数。有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功。
【变式训练1】 对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )
A．4和6 B．3和1
C．2和4 D．1和2
解析 设g(x)＝asinx＋bx，则f(x)＝g(x)＋c，且函数g(x)为奇函数。注意到c∈Z，所以f(1)＋f(－1)＝2c为偶数。故选D。
答案 D
【性质2】 若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称。
【简证】 函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象可由f(x)的图象平移得到，不难知结论成立。
【典例2】 函数f(x)＝＋＋的图象的对称中心为( )
A．(－4,6) B．(－2,3)
C．(－4,3) D．(－2,6)
【解析】 设g(x)＝－－－，则g(－x)＝－－－＝＋＋＝－g(x)，故g(x)为奇函数。易知f(x)＝3－＝g(x＋2)＋3，所以函数f(x)的图象的对称中心为(－2,3)。故选B。
【答案】 B
此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解。
【变式训练2】 设α，β分别满足方程α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，则α＋β＝________。
解析 设g(x)＝x3＋2x，则g(x)为单调递增的奇函数。设f(x)＝x3－3x2＋5x，则f(x)＝g(x－1)＋3，故f(x)的图象关于点(1,3)中心对称。观察题目条件α3－3α2＋5α－4＝0，β3－3β2＋5β－2＝0，知f(α)＝4，f(β)＝2。所以f(α)＋f(β)＝6，则点(α，4)与点(β，2)关于点(1,3)对称，故α＋β＝2。
答案 2
【性质3】 若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)。
【简证】 当x≥0时，|x|＝x，所以f(|x|)＝f(x)；
当x<0时，f(|x|)＝f(－x)，由于函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(|x|)＝f(x)。
综上，若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)。
【典例3】 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
A．
B．∪(1，＋∞)
C．
D．∪
【解析】 易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数。当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增。所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得
本题结合函数的偶函数性质f(x)＝f(|x|)减少了不必要的讨论，极大地减少了运算量。
【变式训练3】 设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x<－2或x>4}
B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6}
D．{x|x<－2或x>2}
解析 由f(x)＝x3－8，知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0。所以，由已知条件可知f(x－2)>0⇒f(|x－2|)>f(2)。所以|x－2|>2，解得x<0或x>4。故选B。
答案 B
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