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    2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档:第五章第三节 等比数列 学案
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    2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档:第五章第三节 等比数列 学案

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    第三节 等 比 数 列
    2019考纲考题考情



    1.等比数列的有关概念
    (1)定义:
    ①文字语言:从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)。
    ②符号语言:=q(n∈N*,q为非零常数)。
    (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab。
    2.等比数列的有关公式
    (1)通项公式:an=a1qn-1。
    (2)前n项和公式:Sn=
    3.等比数列的性质
    (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*)。
    (2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则am·an=ap·aq。
    特别地,若m+n=2p,则am·an=a。
    (3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等比数列,即(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)(m∈N*,公比q≠-1)。
    (4)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)也是等比数列。
    (5)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk。
    (6)若或则等比数列{an}递增。
    若或则等比数列{an}递减。


     
    1.若数列{an}为等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{a},也是等比数列。
    2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0。
    3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误。

    一、走进教材
    1.(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________。
    解析 设该数列的公比为q,由题意知,192=3×q3,q3=64,所以q=4。所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48。
    答案 12,48
    2.(必修5P62B组T2改编)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则{an}的通项公式an=________。
    解析 因为=,所以=-,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-,q=-,则an=-1×n-1=-n-1。
    答案 -n-1
    二、走近高考
    3.(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于。若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  )
    A.f B.f
    C.f D.f
    解析 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为的等比数列,记为{an},则第八个单音频率为a8=f·()8-1=f,故选D。
    答案 D
    4.(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1+a2=-1, a1-a3=-3,则a4=________。
    解析 根据等比数列的通项公式可得①两式相除可得=,由①式解得所以a4=a1q3=(-2)3=-8。
    答案 -8
    三、走出误区
    微提醒:①“G2=ab”是“a,G,b”成等比数列的必要不充分条件;②忽视q=1的特殊情况;③对数的运算性质不熟练。
    5.在等比数列{an}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为________。
    解析 设a3与a7的等比中项为G,因为a3=4,a7=16,所以G2=4×16=64,所以G=±8。
    答案 ±8
    6.数列{an}的通项公式是an=an(a≠0),则其前n项和为Sn=________。
    解析 因为a≠0,an=an,所以{an}是以a为首项,a为公比的等比数列。当a=1时,Sn=n;当a≠1时Sn=。
    答案 
    7.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________。
    解析 因为数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50。
    答案 50


    考点一 等比数列的基本运算
    【例1】 (1)(2018·福建泉州一模)已知等比数列{an}是递增数列,a1+a7=65,a2a6=64,则公比q=(  )
    A.±4 B.4
    C.±2 D.2
    (2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3。
    ①求{an}的通项公式;
    ②记Sn为{an}的前n项和。若Sm=63,求m。
    (1)解析 由得又等比数列{an}是递增数列,所以所以q==2。故选D。
    答案 D
    (2)解 ①设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1。
    由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2。
    故an=(-2)n-1或an=2n-1。
    ②若an=(-2)n-1,则Sn=。
    由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解。
    若an=2n-1,则Sn=2n-1。
    由Sm=63得2m=64,解得m=6。
    综上,m=6。



    1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解。
    2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==。
    【变式训练】 (1)(2019·赣州摸底)Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4,S3,S5成等差数列,则{an}的公比q的值为(  )
    A. B.2
    C.- D.-2
    (2)(2019·安徽质量检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗。羊主曰:“我羊食半马。”马主曰:“我马食半牛。”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟。羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半。”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半。”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是(  )
    A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=
    B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=
    C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=
    D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=
    解析 (1)由S4,S3,S5成等差数列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2。故选D。
    (2)由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=。故选D。
    答案 (1)D (2)D
    考点二 等比数列的判定与证明
    【例2】 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*)。
    (1)求a2,a3的值;
    (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列。
    解 (1)因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
    所以当n=1时,a1=2×1=2;
    当n=2时,a1+2a2=(a1+a2)+4,
    所以a2=4;
    当n=3时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,
    所以a3=8。
    综上,a2=4,a3=8。
    (2)证明:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),①
    所以当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
    =(n-2)Sn-1+2(n-1)。②
    ①-②,得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2。
    所以-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
    所以Sn+2=2(Sn-1+2)。
    因为S1+2=4≠0,所以Sn-1+2≠0,
    所以=2,
    故{Sn+2}是以4为首项,2为公比的等比数列。



    1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。
    2.利用递推关系时要注意对n=1时的情况进行验证。
    【变式训练】 已知数列{an}的首项a1>0,an+1=(n∈N*),且a1=。
    (1)求证:是等比数列,并求出{an}的通项公式;
    (2)求数列的前n项和Tn。
    解 (1)记bn=-1,则=====,
    又b1=-1=-1=,
    所以是首项为,公比为的等比数列。
    所以-1=·n-1,
    即an=。
    所以数列{an}的通项公式为an=。
    (2)由(1)知,-1=·n-1,
    即=·n-1+1。
    所以数列的前n项和
    Tn=+n=+n。
    考点三 等比数列的性质及应用微点小专题
    方向1:等比数列项的性质应用
    【例3】 (1)(2019·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0的两根,则的值为(  )
    A.- B.-
    C. D.-或
    (2)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________。
    解析 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,则a9=-,所以==a9=-。故选B。
    (2)由题意知a1a5=a=4,因为数列{an}的各项均为正数,所以a3=2。所以a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2a4)·a3=(a)2·a3=a=25。所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5。
    答案 (1)B (2)5



    1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度。
    2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形。此外,解题时注意设而不求思想的运用。
    方向2:等比数列前n项和的性质
    【例4】 (1)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________。
    (2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=________。
    解析 (1)由题意,得解得所以q===2。
    (2)因为S6∶S3=1∶2,所以{an}的公比q≠1。由÷=,得q3=-,所以==。

    解析:因为{an}是等比数列,且=,所以公比q≠1,所以S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即(S6-S3)2=S3·(S9-S6),将S6=S3代入得=。

    答案 (1)2 (2)



    1.项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为q。
    (1)若共有2n项,则S偶∶S奇=q;
    (2)若共有2n+1项,则S奇-S偶=(q≠1且q≠-1),=q。
    2.等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列,公比为qk(q≠-1)。
    【题点对应练】 
    1.(方向1)已知数列{an}满足log2an+1=1+log2an(n∈N*),且a1+a2+a3+…+a10=1,则log2(a101+a102+…+a110)=________。
    解析 因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+…+a10=1,所以a101+a102+…+a110=(a1+a2+…+a10)×2100=2100,所以log2(a101+a102+…+a110)=log22100=100。
    答案 100
    2.(方向2)已知等比数列{an}的公比不为-1,设Sn为等比数列{an}的前n项和,S12=7S4,则=________。
    解析 由题意可知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则(S8-S4)2=S4·(S12-S8),又S12=7S4,所以(S8-S4)2=S4·(7S4-S8),可得S-6S-S8S4=0,两边都除以S,得2--6=0,解得=3或-2,又=1+q4(q为{an}的公比),所以>1,所以=3。

    解析:因为S12=7S4,显然q≠1,
    所以=7×,
    即q8+q4-6=0,解得q4=2。
    又==1+q4=3,所以=3。

    答案 3

    1.(配合例1使用)等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a=9a2a6。
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和Tn。
    解 (1)设数列{an}的公比为q,
    由a=9a2a6得a=9a,所以q2=,
    由条件可知an>0,故q=。
    由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=,
    故数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*)。
    (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-(n∈N*)。
    故=-=-2(n∈N*),
    则Tn=++…+=-2=-(n∈N*)。
    所以数列的前n项和Tn=-(n∈N*)。
    2.(配合例2使用)设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*。已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1。
    (1)求a4的值;
    (2)证明:为等比数列。
    解 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
    即4×+5×=8×+1,解得a4=。
    (2)证明:因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),
    所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2),
    即4an+2+an=4an+1(n≥2)。
    又因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,
    所以4an+2+an=4an+1(n∈N*),
    所以=
    ===,
    所以数列是以a2-a1=1为首项,为公比的等比数列。
    3.(拓展型)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列。
    (1)求数列{an}的通项公式;
    (2)证明:Sn+≤(n∈N*)。
    解 (1)设等比数列{an}的公比为q,
    因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=4S4-2S2,
    即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,
    可得2a4=-a3,于是q==-。
    又a1=,所以等比数列{an}的通项公式为
    an=×n-1=(-1)n-1·。
    (2)由(1)知,Sn=1-n,
    Sn+=1-n+

    当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,
    所以Sn+≤S1+=。
    当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,
    所以Sn+≤S2+=。
    故对于n∈N*,有Sn+≤。

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