2020届高考数学一轮复习单元检测10《计数原理A》小题卷单元检测 理数（含解析）

单元检测十　计数原理(A)(小题卷)

考生注意：

1．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

2．本次考试时间45分钟，满分80分．

3．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人(4名大学毕业生不一定都能被选聘上)，则不同的选聘方法的种数为(　　)

A．60B．36C．24D．42

答案　A

解析　当4名大学毕业生都被聘上时，则有CA＝6×6＝36(种)不同的选聘方法；当4名大学毕业生有3名被选聘上时，则有A＝24(种)不同的选聘方法．由分类加法计数原理，可得不同的选聘方法种数为36＋24＝60，故选A.

2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字，且大于3000的四位数，这样的四位数有(　　)

A．250个B．249个C．48个D．24个

答案　C

解析　先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其他三个数位上可从剩余的4个数中任选3个进行全排列，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类加法计数原理，可得满足题设条件的四位数共有A＋A＝2A＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.

3．有四支足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场)，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局双方各1分．比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则比赛中可能出现的最少的平局场数是(　　)

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　四支队得分总和最多为3×6＝18，若没有平局，又没有全胜的队，则四支队的得分只可能有6,3,0三种选择，必有两队得分相同，与四队得分各不相同矛盾，所以最少平局场数是1，如四队得分为7,6,3,1时符合题意，故选B.

4．某班上午有5节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各1节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学不排在第一节课，则不同的排课法的种数是(　　)

A．16B．24C．8D．12

答案　A

解析　根据题意分3步进行分析：①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排在第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课法的种数是2×2×4＝16，故选A.

5．8名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一场)，规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是(　　)

A．14B．13C．12D．11

答案　C

解析　由题意可知8名选手所得分数从高到低为14,12,10,8,6,4,2,0时，满足第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，所以第二名选手的得分是12.

6．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，2个不同的两会宣传片，1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且两会宣传片与公益广告不能连续播放，2个两会宣传片也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是(　　)

A．48B．98C．108D．120

答案　C

解析　首选排列3个商业广告，有A种结果，再在3个商业广告形成的4个空中排入另外3个广告，注意最后一个位置的特殊性，共有CA种结果，故不同的播放方式的种数为ACA＝108.

7．C＋C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)

A．CB．CC．CD．C

答案　D

解析　C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝C，故选D.

8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝270，则a等于(　　)

A．3B．2C．1D．－1

答案　A

解析　二项式(a－x)5展开式的通项公式为Tk＋1＝Ca5－k(－x)k，其中T3＝Ca3(－x)2＝10a3x2，所以a2＝10a3＝270，解得a＝3.

9．在(1＋x－x2)10的展开式中，x3的系数为(　　)

A．10B．30C．45D．210

答案　B

解析　(1＋x－x2)10表示10个1＋x－x2相乘，x3的组成可分为3个x或1个x2,1个x组成，故展开式中x3的系数为C＋(－1)·C·C＝120－90＝30，故选B.

10．某班班会准备从包含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有1人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言的顺序不能相邻，那么不同发言顺序的种数为(　　)

A．720B．520C．600D．360

答案　C

解析　分两种情况讨论：

若甲、乙2人只有1人参加，有CCA＝480(种)情况；若甲、乙2人都参加且发言的顺序不相邻，有CCAA＝120(种)情况，

则不同发言顺序的种数为480＋120＝600.

11．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4}，那么集合A中满足条件“x＋x＋x＋x≤4”的元素个数为(　　)

A．60B．65C．80D．81

答案　D

解析　由题意可得x＋x＋x＋x≤4成立，需要分五种情况讨论：①当x＋x＋x＋x＝0时，只有1种情况，即x1＝x2＝x3＝x4＝0；②当x＋x＋x＋x＝1时，即x1＝±1，x2＝x3＝x4＝0，有2C＝8种；③当x＋x＋x＋x＝2时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝x4＝0，有4C＝24种；④当x＋x＋x＋x＝3时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝0，有8C＝32种；⑤当x＋x＋x＋x＝4时，即x1＝±1，x2＝±1，x3＝±1，x4＝±1，有16种，综合以上五种情况，则总共有81种，故选D.

12．已知关于x的等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)等于(　　)

A．(1,2,3,4)   B．(0,3,4,0)

C．(0，－3,4，－1)   D．(－1,0,2，－2)

答案　C

解析　因为x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋a3[(x＋1)－1]＋a4，所以f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，所以b1＝C(－1)＋4C＝0，b2＝C(－1)2＋4C(－1)＋3C＝－3，b3＝C(－1)3＋4C(－1)2＋3C(－1)＋2＝4，b4＝C(－1)4＋4C(－1)3＋3C(－1)2＋2(－1)＋1＝－1，故选C.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若CA＝42，则＝________.

答案　35

解析　由×2＝42，解得n＝7，所以＝＝35.

14．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市某农业经济部门决定派出5位相关专家对3个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣1位专家，其中甲、乙两位专家需要被派遣至同一地区，则不同派遣方案的种数为________．(用数字作答)

答案　36

解析　由题意可知，可分为两类，第一类：甲、乙在同一个地区时，剩余的3人分为2组，将3组派遣到3个地区，共有CA＝18(种)不同派遣方式；第二类：甲、乙和剩余的3人中的1人在同一个地区，另外2人分别在两个地区，共有CA＝18(种)不同的派遣方式．由分类加法计数原理可得不同的派遣方式共有18＋18＝36(种)．

15．在(x－2y)(2x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为________．

答案　－70

解析　(2x＋y)5的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)5－kyk，令5－k＝1，得k＝4，令5－k＝2，得k＝3，所以(x－2y)(2x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为C×2－2C×22＝－70.

16．若(x－1)5－2x4＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋a4(x－2)4＋a5(x－2)5，则a2＝________.

答案　－38

解析　令x－2＝t，则x＝t＋2.由条件可得(t＋1)5－2(t＋2)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，故t2的系数为C－2C×22＝－38，即a2＝－38.