2020版高考数学一轮复习课后限时集训60《参数方程》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(六十)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.

(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；

(2)求直线AM的参数方程．

[解]　(1)由已知，点M的极角为，

且点M的极径等于，

故点M的极坐标为.

(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．

故直线AM的参数方程为

(t为参数)．

2．(2019·南昌模拟)已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋=2，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为(φ为参数)．

(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；

(2)若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P的坐标为(2,2)，求|AP|＋|BP|的最小值．

[解]　(1)∵ρsin=2，∴ρcos θ＋ρsin θ=2，

即ρcos θ＋ρsin θ=4，∴直线l的直角坐标方程为x＋y－4=0.

∵，∴曲线C1的普通方程为(x＋1)2＋(y＋2)2=4.

(2)∵点P在直线x＋y=4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等，

又曲线C1是以(－1，－2)为圆心，半径r=2的圆，

∴|AP|min=|PC1|－r=－2=3，

则|AP|＋|BP|的最小值为2×3=6.

3．已知曲线C：＋=1，直线l：(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

[解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．

直线l的普通方程为2x＋y－6=0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ＋3sin θ－6|，

则|PA|==|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α=.

当sin(θ＋α)=－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin(θ＋α)=1时，|PA|取得最小值，最小值为.

4．已知直线的参数方程为(其中t为参数，m为常数)．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线与曲线C交于A，B两点．

(1)若|AB|=，求实数m的值；

(2)若m=1，点P的坐标为(1,0)，求＋的值．

[解]　(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsin θ，

转化为普通方程可得x2＋y2=2y，即x2＋(y－1)2=1.

把代入x2＋(y－1)2=1并整理可得

t2－(m＋)t＋m2=0，(*)

由条件可得Δ=(m＋)2－4m2＞0，解得－＜m＜.

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2=m＋，t1t2=m2≥0，|AB|=|t1－t2|===，

解得m=或.

(2)当m=1时，(*)式变为t2－(1＋)t＋1=0，

t1＋t2=1＋，t1t2=1，

由点P的坐标为(1,0)知P在直线上，可得

＋=＋===1＋.

B组　能力提升

1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．

[解]　(1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2=1.

同理曲线C2的普通方程为＋=1.

C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．

(2)当t=时，P(－4,4)，又Q(8cos θ，3sin θ)．

故M，

又C3的普通方程为x－2y－7=0，

则M到直线C3的距离d=|4cos θ－3sin θ－13|

=|3sin θ－4cos θ＋13|

=|5sin(θ－φ)＋13|.

所以d的最小值为.

2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=.

(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)已知与直线l平行的直线l′过点M(2,0)，且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|.

[解]　(1)由l的参数方程得其普通方程为x－y－＋1=0.将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入直线方程得ρcos θ－ρsin θ－＋1=0.由ρ=可得ρ2(1－cos2θ)=2ρcos θ，即ρ2sin2θ=2ρcos θ，故曲线C的直角坐标方程为y2=2x.

(2)∵直线l的倾斜角为，∴直线l′的倾斜角也为.又直线l′过点M(2,0)，∴直线l′的参数方程为(t′为参数)，将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t′2－4t′－16=0，设点A，B对应的参数分别为t′1，t′2.由根与系数的关系知t′1t′2=－，t′1＋t′2=，

∴|AB|=|t′1－t′2|===.