2020版高考数学一轮复习课后限时集训48《双曲线》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(四十八)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

一、选择题

1. (2018·浙江高考)双曲线－y2=1的焦点坐标是(　　)

A．(－，0)，(，0)　 B．(－2,0)，(2,0)

C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)

B　[∵双曲线方程为－y2=1，∴a2=3，b2=1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c===2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.]

2．双曲线－=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)

A．2　　　　 B.

C．　　　　 D.

C　[由渐近线互相垂直可知·=－1，即a2=b2，即c2=2a2，即c=a，所以e=.]

3．(2018·青岛二模)直线l：x－2y－5=0过双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为(　　)

A．－=1 B．－=1

C．－y2=1 D．x2－=1

A　[根据题意，令y=0，则x=5，即c=5.又=，所以a2=20，b2=5，所以双曲线的方程为－=1.]

4．(2019·湖南师大附中模拟)已知A是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若存在实数λ使得=λ，则双曲线的离心率为(　　)

A．3 B．2

C．4 D．与λ的取值有关

A　[由题意，可知|PG|=2|GO|，GA∥PF1，∴2|OA|=|AF1|，∴2a=c－a，∴c=3a，∴e=3.]

5．已知F是双曲线C：x2－=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)

A．　　　B.

C．　　　D.

D　[由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C的方程，得4－=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.]

二、填空题

6．已知(2,0)是双曲线x2－=1(b>0)的一个焦点，则b=________.

　[因为(2,0)是双曲线x2－=1(b>0)的一个焦点，所以1＋b2=4，则b=.]

7．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为________．

2　[双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d==b.∴b=c，∴a==c，∴e==2.]

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－=1的离心率大于，则m的取值范围为________．

(0,1)∪(4，＋∞) 　[由双曲线方程可得m>0，所以e=>，解得m>4或m<1.由m>0，故可得m的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．]

三、解答题

9．已知椭圆D：＋=1与圆M：x2＋(y－5)2=9.双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c=5.

设双曲线G的方程为－=1(a>0，b>0)，

∴渐近线方程为bx±ay=0且a2＋b2=25，

又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.

∴=3，得a=3，b=4，

∴双曲线G的方程为－=1.

10．(2019·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．

(1)求双曲线的方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·=0.

[解]　(1)∵e=，

∴可设双曲线的方程为x2－y2=λ(λ≠0)．

∵双曲线过点(4，－)，∴16－10=λ，即λ=6.

∴双曲线的方程为x2－y2=6，即－=1.

(2)证明：法一：由(1)可知，a=b=，

∴c=2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，

∴kMF1=，kMF2=，

kMF1·kMF2==－.

∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2=6，m2=3，

故kMF1·kMF2=－1，∴MF1⊥MF2.

∴·=0.

法二：由(1)可知，a=b=，∴c=2，

∴F1(－2，0)，F2(2，0)，

=(－2－3，－m)，=(2－3，－m)，

∴·=(3＋2)×(3－2)＋m2=－3＋m2，

∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2=6，即m2－3=0，

∴·=0.

B组　能力提升

1．(2019·湖南四校联考)已知A，B，P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB=3，则该双曲线的离心率为(　　)

A．　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3

C　[由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则－=1，－=1，又kPA=，kPB=，所以kPA·kPB===3，所以离心率e==2，故选C．]

2．(2018·天津高考)已知双曲线－=1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2=6，则双曲线的方程为(　　)

A．－=1 B．－=1

C．－=1 D．－=1

C　[如图，不妨设A在B的上方，则A(c，)，B(c，－)．

其中的一条渐近线为bx－ay=0，则d1＋d2===2b=6，∴b=3. 又由e==2，知a2＋b2=4a2，∴a=.

∴双曲线的方程为－=1. 故选C．]

3．(2018·北京高考)若双曲线－=1(a>0)的离心率为，则a=________.

4　[由e==知=2=，∴a2=16.

∵a>0，∴a=4.]

4．已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y=0，且顶点到渐近线的距离为.

(1)求此双曲线的方程；

(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若=，求△AOB的面积．

[解]　(1)依题意得解得

故双曲线的方程为－x2=1.

(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2=1，整理得mn=1.

设∠AOB=2θ，因为tan=2，则tan θ=，从而sin 2θ=.

又|OA|=m，|OB|=n，

所以S△AOB=|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.