2020版高考数学一轮复习课后限时集训51《定点定值探索性问题》文数（含解析）北师大版

课后限时集训(五十一)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

1．(2019·湖北部分学校联考)已知椭圆D：＋=1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．

(1)求椭圆D的标准方程；

(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x=2交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，证明：·为定值．

[解]　(1)因为|OA|=|OF|，所以b=c，

而△AOF的面积为1，所以bc=1，解得b=c=，所以a2=b2＋c2=4，

所以椭圆D的标准方程为＋=1.

(2)由题意可知直线MC的斜率存在，设其方程为y=k(x＋2)，

代入＋=1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4=0，

所以P.又M(2,4k)，

所以·=(2,4k)·=4，为定值．

2．(2019·东北三校联合模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2=1，直线l：y=－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·=－16，求证：直线AB恒过定点．

[解]　(1)设P(x，y)，则=(y＋1)＋1⇒x2=8y.

所以E的方程为x2=8y.

(2)证明：易知直线AB的斜率存在，

设直线AB：y=kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

将直线AB的方程代入x2=8y中，得x2－8kx－8b=0，

所以x1＋x2=8k，x1x2=－8b.

·=x1x2＋y1y2=x1x2＋=－8b＋b2=－16⇒b=4，所以直线AB恒过定点(0,4)．

3．(2019·湖南五市十校联考)已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．

[解]　(1)由可得

故椭圆C的标准方程为＋=1.

(2)证明：设直线l的方程为x=y＋m，代入＋=1，

消去x，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=－m，y1y2=，

又|PA|2=(x1－m)2＋y=y，

同理可得|PB|2=y.则|PA|2＋|PB|2=(y＋y)=[(y1＋y2)2－2y1y2]

==41.

所以|PA|2＋|PB|2是定值．

B组　能力提升

1．(2019·邢台模拟)已知椭圆C：＋=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线y=k1x与直线y=k2x为圆E的两条切线．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)试问：k1·k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

[解]　(1)由2b=2得b=，∵e==，∴=，

∵a2=b2＋c2，∴=，解得a2=20，b2=5，

∴椭圆C的标准方程为＋=1.

(2)设E(x0，y0)，∵直线y=k1x与圆E：(x－x0)2＋(y－y0)2=4相切，

∴=2，整理得(x－4)k－2x0y0k1＋y－4=0，

同理可得(x－4)k－2x0y0k2＋y－4=0，

∴k1，k2为方程(x－4)x2－2x0y0x＋y－4=0的两个根，∴k1k2=.

又∵E(x0，y0)在椭圆C：＋=1上，∴y=5，∴k1k2===－，

故k1k2的定值为－.

2．已知椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的离心率e=，短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．

[解]　(1)由短轴长为2，得b=，

由e===，

得a2=4，b2=2.

所以椭圆C的标准方程为＋=1.

(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．

证明如下：

设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，

且＋=1，即x＋2y=4，

因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y=(x＋2)，

所以M，直线QA方程为y=(x＋2)，

所以N，以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋=0，

即x2＋y2－y＋=0，

因为x－4=－2y，所以x2＋y2＋2y－2=0，

令y=0，则x2－2=0，解得x=±.

所以以MN为直径的圆过定点F(±，0)．