2020版高考数学一轮复习课后限时集训59《坐标系》文数（含解析）北师大版 试卷

课后限时集训(五十九)　

(建议用时：60分钟)

A组　基础达标

1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2=36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．

[解]　设圆x2＋y2=36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则

∴4x′2＋9y′2=36，＋=1.

∴曲线C在伸缩变换后得椭圆＋=1，其焦点坐标为(±，0)

2．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin=－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

[解]　在ρsin=－中，

令θ=0，得ρ=1，

所以圆C的圆心坐标为(1,0)．

因为圆C经过点P，

所以圆C的半径|PC|==1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.

3．在直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线l与圆C的极坐标方程；

(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求△CMN的面积．

[解]　(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x＋1)2＋(y＋2)2=1，

∵x=ρcos θ，y=ρsin θ，∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)，

圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4=0.

(2)将θ=代入ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4=0，得ρ2＋3ρ＋4=0，解得ρ1=－2，ρ2=－，|MN|=|ρ1－ρ2|=，

∵圆C的半径为1，∴△CMN的面积为××1×sin =.

4．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin=1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求直线l被圆C所截得的弦长．

[解]　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD=－θ或∠AOD=θ－，

|OA|=|OD|cos或|OA|=|OD|cos.

所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos.

(2)由ρsin=1，得ρ(sin θ＋cos θ)=1，

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－=0，

又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程，

∴直线l过圆C的圆心，

故直线被圆所截得的弦长为2.

B组　能力提升

1．已知曲线C1：x＋y=和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．

[解]　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ=.

∴ρsin=.

曲线C2化为＋=1，(*)

将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入(*)式

得cos2θ＋sin2θ=1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)=6.

∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.

(2)∵M(，0)，N(0,1)，P.

∴OP的极坐标方程为θ=，

把θ=代入ρsin=，得ρ1=1，P.

把θ=代入ρ2=，得ρ2=2，Q.

∴|PQ|=|ρ2－ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1.

2．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点D.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A，B都在曲线C1上，求＋的值．

[解]　(1)∵C1的参数方程为∴C1的普通方程为＋y2=1.

由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2a·cos θ(a为半径)，将D代入，得2=2a×，∴a=2，

∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，

∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2=4.

(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ=1，即ρ2=.

∴ρ=，

ρ=

=.

∴＋=＋=.