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高中数学人教A版（2019）必修第一册期末复习第3课时 函数的概念与性质
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这是一份数学全册综合第3课时同步达标检测题，共5页。
A组
1.函数f(x)=1x+1+4-2x的定义域为( )
A.[-1,2]B.(-1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)
2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D.y=x13
3.已知函数f(x)=1-x2,x≤1,x2-x-3,x>1,则f1f(3)的值为( )
A.1516B.-2716C.89D.18
4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
5.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则( )
A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3
B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3
C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2
D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2
6.已知f(x+2)=x2-4x,则f(x)= .
7.已知定义在R上的函数f(x)=ax2+2x+3的值域为[2,+∞),则f(x)的单调递增区间为 .
8.已知定义在R上的奇函数f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-m2)>f(2m),则实数m的取值范围是 .
9.若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x,y>0,满足fxy=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f13<2.
10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200平方米的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/平方米,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/平方米.
(1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式;
(2)当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.
B组
1.若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-2为奇函数,则m=( )
A.3B.2C.2或3D.1
2.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,3)C.(1,+∞)D.(3,+∞)
3.设f(x)=x,x∈(-∞,a),x2,x∈[a,+∞),若f(2)=4,则a的取值范围为 .
4.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:
①f(a)·f(-a)≤0;
②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)·f(-b)>0;
④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
其中正确的是 .(填序号)
5.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的值域.
6.已知函数f(x)=x2-2mx+m2+4m-2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值-3,求实数m的值.
.参考答案
A组
1.函数f(x)=1x+1+4-2x的定义域为( )
A.[-1,2]B.(-1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)
解析:由x+1>0,4-2x≥0,得-1
答案:B
2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D.y=x13
答案:A
3.已知函数f(x)=1-x2,x≤1,x2-x-3,x>1,则f1f(3)的值为( )
A.1516B.-2716C.89D.18
解析:因为3>1,所以f(3)=32-3-3=3.
因为13<1,所以f1f(3)=f13=1-132=89.
答案:C
4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
解析:f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
答案:C
5.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则( )
A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3
B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3
C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2
D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2
解析:设x1
因为x2-x1>0,又已知x>0时,f(x)>1,
所以f(x2-x1)>1,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)
因此f(x)在R上是增函数.
因为f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,
所以f(1)=2.
答案:D
6.已知f(x+2)=x2-4x,则f(x)= .
解析:设t=x+2,则x=t-2,f(t)=(t-2)2-4(t-2)=t2-8t+12.
答案:x2-8x+12
7.已知定义在R上的函数f(x)=ax2+2x+3的值域为[2,+∞),则f(x)的单调递增区间为 .
解析:依题意知a>0,12a-44a=2,
解得a=1,这时f(x)=x2+2x+3,
故f(x)的单调递增区间为[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)
8.已知定义在R上的奇函数f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-m2)>f(2m),则实数m的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=x2+2x在区间[0,+∞)内单调递增,
又f(x)是R上的奇函数,所以f(x)是R上的增函数.
要使f(3-m2)>f(2m),只需3-m2>2m,解得-3
答案:(-3,1)
9.若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x,y>0,满足fxy=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f13<2.
解:(1)在fxy=f(x)-f(y)中,令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),所以f(1)=0.
(2)因为f(6)=1,
所以f(x+3)-f13<2=f(6)+f(6),
所以f(3x+9)-f(6)
即fx+32
因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
所以x+32>0,x+32<6,解得-3
即不等式的解集为(-3,9).
10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200平方米的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/平方米,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/平方米.
(1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式;
(2)当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.
解:(1)设AM=y米,
则x2+4xy=200,所以y=200-x24x.
故Q=4 200x2+210×4xy+80×2y2=38 000+4 000x2+400 000x2(0
(2)令t=x2,则Q=38 000+4 000t+100t,且0
由基本不等式可得t+100t≥2t·100t=20,当且仅当t=100t,即t=10时,等号成立,此时x=10.
且Qmin=38 000+4 000×20=118 000.
故当x=10时,总造价最少,最少是118 000元.
B组
1.若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-2为奇函数,则m=( )
A.3B.2C.2或3D.1
解析:由f(x)=(m2-5m+7)xm-2为幂函数,得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
又因为该函数为奇函数,所以m=3.
答案:A
2.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,3)C.(1,+∞)D.(3,+∞)
解析:g(x)=f(x)-3为奇函数,且在R上单调递减,f(a)+f(a-2)>6可化为f(a)-3>-f(a-2)+3=-[f(a-2)-3]=-g(a-2),即g(a)>g(2-a),所以a<2-a,故a<1.
答案:A
3.设f(x)=x,x∈(-∞,a),x2,x∈[a,+∞),若f(2)=4,则a的取值范围为 .
解析:若2∈(-∞,a),则f(2)=2,不合题意,所以2∈[a,+∞),故a≤2.
答案:(-∞,2]
4.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:
①f(a)·f(-a)≤0;
②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)·f(-b)>0;
④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
其中正确的是 .(填序号)
解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.
又因为f(x)为R上的减函数,所以当x>0时,f(x)<0,当x<0时,f(x)>0.
因为a·(-a)≤0,所以f(a)·f(-a)≤0.
又因为a+b≤0,即a≤-b,所以f(a)≥f(-b).
同理,得f(b)≥f(-a),
故f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
答案:①④
5.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的值域.
解:(1)当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).
则-k+b=0,b=1,得k=1,b=1.所以y=x+1.
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,得a=14.
因此f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0.
(2)当-1≤x≤0时,y∈[0,1].
当x>0时,y∈[-1,+∞).
所以函数的值域为[0,1]∪[-1,+∞)=[-1,+∞).
6.已知函数f(x)=x2-2mx+m2+4m-2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值-3,求实数m的值.
解:f(x)=(x-m)2+4m-2.
(1)由f(x)在区间[0,1]上单调递减,得m≥1.
(2)当m≤0时,f(x)min=f(0)=m2+4m-2=-3,
解得m=-2-3或m=-2+3.
当0
解得m=-14(舍去).
当m≥1时,f(x)min=f(1)=m2+2m-1=-3,无解.
综上可知,实数m的值是-2±3.
A组
1.函数f(x)=1x+1+4-2x的定义域为( )
A.[-1,2]B.(-1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)
2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D.y=x13
3.已知函数f(x)=1-x2,x≤1,x2-x-3,x>1,则f1f(3)的值为( )
A.1516B.-2716C.89D.18
4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
5.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则( )
A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3
B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3
C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2
D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2
6.已知f(x+2)=x2-4x,则f(x)= .
7.已知定义在R上的函数f(x)=ax2+2x+3的值域为[2,+∞),则f(x)的单调递增区间为 .
8.已知定义在R上的奇函数f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-m2)>f(2m),则实数m的取值范围是 .
9.若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x,y>0,满足fxy=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f13<2.
10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200平方米的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/平方米,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/平方米.
(1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式;
(2)当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.
B组
1.若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-2为奇函数,则m=( )
A.3B.2C.2或3D.1
2.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,3)C.(1,+∞)D.(3,+∞)
3.设f(x)=x,x∈(-∞,a),x2,x∈[a,+∞),若f(2)=4,则a的取值范围为 .
4.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:
①f(a)·f(-a)≤0;
②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)·f(-b)>0;
④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
其中正确的是 .(填序号)
5.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的值域.
6.已知函数f(x)=x2-2mx+m2+4m-2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值-3,求实数m的值.
.参考答案
A组
1.函数f(x)=1x+1+4-2x的定义域为( )
A.[-1,2]B.(-1,2]C.[2,+∞)D.[1,+∞)
解析:由x+1>0,4-2x≥0,得-1
答案:B
2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=x-2B.y=x-1C.y=x2D.y=x13
答案:A
3.已知函数f(x)=1-x2,x≤1,x2-x-3,x>1,则f1f(3)的值为( )
A.1516B.-2716C.89D.18
解析:因为3>1,所以f(3)=32-3-3=3.
因为13<1,所以f1f(3)=f13=1-132=89.
答案:C
4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
解析:f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.
答案:C
5.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则( )
A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3
B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3
C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2
D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2
解析:设x1
因为x2-x1>0,又已知x>0时,f(x)>1,
所以f(x2-x1)>1,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)
因此f(x)在R上是增函数.
因为f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,
所以f(1)=2.
答案:D
6.已知f(x+2)=x2-4x,则f(x)= .
解析:设t=x+2,则x=t-2,f(t)=(t-2)2-4(t-2)=t2-8t+12.
答案:x2-8x+12
7.已知定义在R上的函数f(x)=ax2+2x+3的值域为[2,+∞),则f(x)的单调递增区间为 .
解析:依题意知a>0,12a-44a=2,
解得a=1,这时f(x)=x2+2x+3,
故f(x)的单调递增区间为[-1,+∞).
答案:[-1,+∞)
8.已知定义在R上的奇函数f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-m2)>f(2m),则实数m的取值范围是 .
解析:因为函数f(x)=x2+2x在区间[0,+∞)内单调递增,
又f(x)是R上的奇函数,所以f(x)是R上的增函数.
要使f(3-m2)>f(2m),只需3-m2>2m,解得-3
答案:(-3,1)
9.若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x,y>0,满足fxy=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f13<2.
解:(1)在fxy=f(x)-f(y)中,令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),所以f(1)=0.
(2)因为f(6)=1,
所以f(x+3)-f13<2=f(6)+f(6),
所以f(3x+9)-f(6)
即fx+32
因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,
所以x+32>0,x+32<6,解得-3
即不等式的解集为(-3,9).
10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200平方米的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/平方米,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/平方米.
(1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式;
(2)当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.
解:(1)设AM=y米,
则x2+4xy=200,所以y=200-x24x.
故Q=4 200x2+210×4xy+80×2y2=38 000+4 000x2+400 000x2(0
(2)令t=x2,则Q=38 000+4 000t+100t,且0
由基本不等式可得t+100t≥2t·100t=20,当且仅当t=100t,即t=10时,等号成立,此时x=10.
且Qmin=38 000+4 000×20=118 000.
故当x=10时,总造价最少,最少是118 000元.
B组
1.若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-2为奇函数,则m=( )
A.3B.2C.2或3D.1
解析:由f(x)=(m2-5m+7)xm-2为幂函数,得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
又因为该函数为奇函数,所以m=3.
答案:A
2.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(-∞,3)C.(1,+∞)D.(3,+∞)
解析:g(x)=f(x)-3为奇函数,且在R上单调递减,f(a)+f(a-2)>6可化为f(a)-3>-f(a-2)+3=-[f(a-2)-3]=-g(a-2),即g(a)>g(2-a),所以a<2-a,故a<1.
答案:A
3.设f(x)=x,x∈(-∞,a),x2,x∈[a,+∞),若f(2)=4,则a的取值范围为 .
解析:若2∈(-∞,a),则f(2)=2,不合题意,所以2∈[a,+∞),故a≤2.
答案:(-∞,2]
4.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:
①f(a)·f(-a)≤0;
②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)·f(-b)>0;
④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
其中正确的是 .(填序号)
解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.
又因为f(x)为R上的减函数,所以当x>0时,f(x)<0,当x<0时,f(x)>0.
因为a·(-a)≤0,所以f(a)·f(-a)≤0.
又因为a+b≤0,即a≤-b,所以f(a)≥f(-b).
同理,得f(b)≥f(-a),
故f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
答案:①④
5.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的值域.
解:(1)当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).
则-k+b=0,b=1,得k=1,b=1.所以y=x+1.
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,
因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,得a=14.
因此f(x)=x+1,-1≤x≤0,14(x-2)2-1,x>0.
(2)当-1≤x≤0时,y∈[0,1].
当x>0时,y∈[-1,+∞).
所以函数的值域为[0,1]∪[-1,+∞)=[-1,+∞).
6.已知函数f(x)=x2-2mx+m2+4m-2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值-3,求实数m的值.
解:f(x)=(x-m)2+4m-2.
(1)由f(x)在区间[0,1]上单调递减,得m≥1.
(2)当m≤0时,f(x)min=f(0)=m2+4m-2=-3,
解得m=-2-3或m=-2+3.
当0
解得m=-14(舍去).
当m≥1时,f(x)min=f(1)=m2+2m-1=-3,无解.
综上可知,实数m的值是-2±3.
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