高中数学人教A版（2019）必修第一册综合测评

这是一份数学必修 第一册全册综合练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间:120分钟 满分:150分)


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.已知集合A=yy=|sinx|sinx+|csx|csx,B=x|x2=2x,则A∪B=( )


A.2B.-2,2C.0,2D.-2,0,2


2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点2,22,则f(lg22)=( )


A.2B.3C.12D.1


3.已知sin(5π-α)-2sin5π2+αsin(-α)+cs(3π-α)=-2,则tan α=( )


A.-4B.-14C.-3D.13


4.已知0

A.ac

C.lgac>lgbcD.lgcba>lgcab


5.若存在x≥0,使2x+x-a≤0,则实数a的取值范围是( )


A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1


6.已知奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,当x∈0,π2时,f(x)=1-cs x,则当x∈5π2,3π时,f(x)的解析式为( )


A.f(x)=-1-sin xB.f(x)=1-sin x


C.f(x)=-1-cs xD.f(x)=1-cs x


7.已知函数f(x)=x2+lg2|x|,则不等式f(x+1)-f(2)<0的解集为( )


A.(-3,-1)∪(-1,1)B.(-3,1)


C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,1)∪(1,3)


8.已知函数y=3cs2x+π3的定义域为[a,b],值域为[-1,3],则b-a的值可能是( )


A.π3B.π2C.3π4D.π


9.设方程lg(x-1)+x-3=0的根为x0,[x0]表示不超过x0的最大整数,则[x0]=( )


A.1B.2C.3D.4


10.若θ∈0,π2,则y=1sin2θ+9cs2θ的取值范围为( )


A.[6,+∞)B.[10,+∞)


C.[12,+∞)D.[16,+∞)


11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )





A.f(x)的图象关于直线x=-2π3对称


B.f(x)的图象关于点-5π12,0对称


C.将函数y=3sin 2x-cs 2x的图象向左平移π2个单位长度得到函数f(x)的图象


D.若方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是-2,-3


12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=4x-2,若对任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是( )


A.-72,+∞B.-∞,14


C.-72,0D.0,14


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.已知函数f(x)=12asin 2x-lg122cs x,若fπ6=0,则a= .


14.若不等式ax2+bx+2>0的解集为x-12

15.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 .(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)


16.已知函数f(x)=lga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m-3的图象不经过第一象限,则m的取值范围为 .


三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)已知集合A={x|a-1

(1)若a=1,求集合A∩(∁RB);


(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.





























18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2.


(1)求f(x)的解析式;


(2)若tan α+1tanα=5,求2f2α-π 4-11-tanα的值.





























19.(本小题满分12分)函数f(x)=2x和g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1




(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;


(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.




















20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.





(1)求f(x)的解析式;


(2)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.



































21.(本小题满分12分)在充分竞争的市场环境中,产品的定价至关重要,它将影响产品的销量,进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验,总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量y(单位:万件)与售价x(单位:元)之间满足函数关系为y=14-x2,6≤x≤16,22-x,16

(1)当产品A的售价在什么范围内时,能使得其销量不低于5万件?


(2)当产品A的售价为多少时,总利润最大?(注:总利润=销量×(售价-单件成本))





























22.(本小题满分12分)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=(2-m)lg4(1-x)+(1-2m)·lg4(1+x).


(1)讨论f(x)的奇偶性;


(2)当f(x)为奇函数时,若方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,求实数a的取值范围.


.参考答案


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.已知集合A=yy=|sinx|sinx+|csx|csx,B=x|x2=2x,则A∪B=( )


A.2B.-2,2C.0,2D.-2,0,2


解析:由已知A=-2,0,2,B=0,2,


所以A∪B=-2,0,2.


答案:D


2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点2,22,则f(lg22)=( )


A.2B.3C.12D.1


解析:设f(x)=xa,则2a=22=2-12,故a=-12.


所以f(lg22)=f12=12-12=212=2.


答案:A


3.已知sin(5π-α)-2sin5π2+αsin(-α)+cs(3π-α)=-2,则tan α=( )


A.-4B.-14C.-3D.13


解析:原式=sinα-2csα-sinα-csα=tanα-2-tanα-1=-2,


解得tan α=-4.


答案:A


4.已知0

A.ac

C.lgac>lgbcD.lgcba>lgcab


解析:取a=14,b=12,c=2,


可知142<122,即ac

212>214,即cb>ca,选项B不成立;


lg142=-12,lg122=-1,即lg142>lg122,即lgac>lgbc,选项C成立;


lg22=1,lg212=-1,即lg22>lg212,即lgcba>lgcab,选项D成立.


答案:B


5.若存在x≥0,使2x+x-a≤0,则实数a的取值范围是( )


A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1


解析:由题意可知存在x≥0,使a≥2x+x,


即a≥(2x+x)min.


由于函数y=2x+x在定义域内是增函数,


故当x=0时,函数取得最小值20+0=1,


所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).


答案:B


6.已知奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,当x∈0,π2时,f(x)=1-cs x,则当x∈5π2,3π时,f(x)的解析式为( )


A.f(x)=-1-sin xB.f(x)=1-sin x


C.f(x)=-1-cs xD.f(x)=1-cs x


解析:因为奇函数y=f(x)的图象关于点π2,0对称,


所以f(π+x)+f(-x)=0,且f(-x)=-f(x).


所以f(π+x)=f(x).


所以f(x)是以π为周期的函数.


当x∈5π2,3π时,3π-x∈0,π2,


所以f(3π-x)=1-cs(3π-x)=1+cs x.


因为f(x)是周期为π的奇函数,


所以f(3π-x)=f(-x)=-f(x).


所以-f(x)=1+cs x,


即f(x)=-1-cs x,x∈5π2,3π.


答案:C


7.已知函数f(x)=x2+lg2|x|,则不等式f(x+1)-f(2)<0的解集为( )


A.(-3,-1)∪(-1,1)B.(-3,1)


C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-1,1)∪(1,3)


解析:∵f(x)=x2+lg2|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),


且f(-x)=(-x)2+lg2|-x|=x2+lg2|x|=f(x),


∴函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x2+lg2x单调递增,


∴不等式f(x+1)-f(2)<0等价为f(|x+1|)

∴|x+1|<2,且x+1≠0,即-2

∴不等式的解集为(-3,-1)∪(-1,1).


答案:A


8.已知函数y=3cs2x+π3的定义域为[a,b],值域为[-1,3],则b-a的值可能是( )


A.π3B.π2C.3π4D.π


解析:∵-1≤3cs2x+π3≤3,


∴-13≤cs2x+π3≤1.


∴-12<-13≤cs2x+π3≤1.


∴满足上述条件的2x+π3的最大范围是2kπ-2π3<2x+π3<2π3+2kπ(k∈Z),


即kπ-π2

∴(b-a)max<π6+π2=2π3.


同理满足上述条件的2x+π3的最小范围是2kπ≤2x+π3<2kπ+2π3(k∈Z),即kπ-π6≤x<π6+kπ(k∈Z).


∴(b-a)min>π6+π6=π3.


结合选项,可知b-a的值可能是π2.


答案:B


9.设方程lg(x-1)+x-3=0的根为x0,[x0]表示不超过x0的最大整数,则[x0]=( )


A.1B.2C.3D.4


解析:构造函数f(x)=lg(x-1)+x-3.


因为函数y=lg(x-1)与y=x-3在定义域上都是增函数,所以f(x)=lg(x-1)+x-3在定义域上是增函数.


因为f(2)=lg(2-1)+2-3=-1<0,


f(3)=lg(3-1)+3-3=lg 2>0,


所以函数f(x)的零点在区间(2,3)内.


所以2

答案:B


10.若θ∈0,π2,则y=1sin2θ+9cs2θ的取值范围为( )


A.[6,+∞)B.[10,+∞)


C.[12,+∞)D.[16,+∞)


解析:因为sin2θ+cs2θ=1,


所以y=1sin2θ+9cs2θ=1sin2θ+9cs2θ×(sin2θ+cs2θ)


=10+cs2θsin2θ+9sin2θcs2θ≥10+29=16,


当且仅当sin2θ=14,cs2θ=34时,等号成立,故选D.


答案:D


11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )





A.f(x)的图象关于直线x=-2π3对称


B.f(x)的图象关于点-5π12,0对称


C.将函数y=3sin 2x-cs 2x的图象向左平移π2个单位长度得到函数f(x)的图象


D.若方程f(x)=m在-π2,0上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是-2,-3


解析:由题中图象可得A=2,T=4×π3-π12,故ω=2.


再根据“五点法”作图可得2×π3+φ=2kπ+π(k∈Z).又|φ|<π2,故φ=π3.


所以函数f(x)=2sin2x+π3.


当x=-2π3时,f(x)=0,不是最值,故选项A不成立;


当x=-5π12时,f(x)=-2,不等于零,故选项B不成立;


将函数y=3sin 2x-cs 2x=2sin2x-π6的图象向左平移π2个单位长度得到函数y=sin2x+π2-π6=sin2x+5π6的图象,故选项C不成立;


当x∈-π2,0时,2x+π3∈-2π3,π3.


因为sin-2π3=sin-π3=-32,sin-π2=-1,


所以当方程f(x)=m在区间-π2,0上有两个不相等的实数根时,m的取值范围是(-2,-3],故选D.


答案:D


12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=4x-2,若对任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是( )


A.-72,+∞B.-∞,14


C.-72,0D.0,14


解析:g(x)=4x-2,当x<12时,g(x)<0恒成立;当x≥12时,g(x)≥0.


又因为对∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,


所以f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0在x≥12时恒成立.


所以二次函数f(x)=m(x-2m)(x+m+3)图象开口只能向下,且与x轴交点都在点12,0的左侧.


所以m<0,-m-3<12,2m<12,即m<0,m>-72,m<14,


解得-72

所以实数m的取值范围是-72,0.


答案:C


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.已知函数f(x)=12asin 2x-lg122cs x,若fπ6=0,则a= .


解析:因为函数f(x)=12asin 2x-lg122cs x=12asin 2x+cs x,


所以fπ6=34a+32=0,解得a=-2.


答案:-2


14.若不等式ax2+bx+2>0的解集为x-12

解析:因为ax2+bx+2>0的解集为x-12

所以方程ax2+bx+2=0的根为-12,13.


所以-12+13=-ba,-12×13=2a,解得a=-12,b=-2.


所以a-b=-10.


答案:-10


15.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入,若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 .(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)


解析:设所求的年份为x,令n=x-2 017+1.


由题意可知130(1+12%)n-1>200,


即lg[130(1+12%)n-1]>lg 200,


即lg 1.3+2+(n-1)lg 1.12>lg 2+2.


所以0.11+0.05(n-1)>0.3.


所以n>4.8.所以nmin=5.


所以开始超过200万元的年份是2 017+5-1=2 021.


答案:2021年


16.已知函数f(x)=lga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].若函数g(x)=ax+m-3的图象不经过第一象限,则m的取值范围为 .


解析:函数f(x)=lga(-x+1)(a>0,且a≠1)在区间[-2,0]上的值域是[-1,0].


当a>1时,f(x)=lga(-x+1)在区间[-2,0]上单调递减.


故f(-2)=lga3=0,f(0)=lga1=-1,无解.


当0

故f(-2)=lga3=-1,f(0)=lga1=0,解得a=13.


因为g(x)=13x+m-3的图象不经过第一象限,


所以g(0)=13m-3≤0,


解得m≥-1,即m的取值范围是[-1,+∞).


答案:[-1,+∞)


三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)已知集合A={x|a-1

(1)若a=1,求集合A∩(∁RB);


(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.


解:(1)∵B=x|0

∴∁RB=x|x≤0或x≥1.


又A=x|0

∴A∩(∁RB)=x|1≤x<3.


(2)若A=⌀,则a-1≥2a+1,


解得a≤-2,满足A∩B=⌀.


若A≠⌀,则由A∩B=⌀,可知2a+1>a-1,2a+1≤0,或2a+1>a-1,a-1≥1.解得-2

综上可知,a的取值范围是a≤-12或a≥2.


18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2.


(1)求f(x)的解析式;


(2)若tan α+1tanα=5,求2f2α-π 4-11-tanα的值.


解:(1)设最高点为(x1,1),相邻的最低点为(x2,-1),


则|x1-x2|=T2(T>0).


∴(x1-x2)2+(1+1)2=4+π2.


∴T24+4=4+π2.∴T=2π=2π|ω|.又ω>0,


∴ω=1.∴f(x)=sin(x+φ).


∵f(x)是偶函数,


∴φ=kπ+π2(k∈Z).∵0≤φ≤π,∴φ=π2.


∴f(x)=sinx+π2=cs x.


(2)∵tan α+1tanα=5,∴sinαcsα+csαsinα=5.


∴sin αcs α=15.


∴2f2α-π 4-11-tanα=2cs2α-π 4-11-tanα=cs2α+sin2α-1csα-sinαcsα=(2sinαcsα-2sin2α)csαcsα-sinα


=2sin αcs α=25.


19.(本小题满分12分)函数f(x)=2x和g(x)=x3的部分图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1




(1)请指出示意图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;


(2)结合函数图象示意图,判断f(6),g(6),f(2 017),g(2 017)的大小.


解:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.


(2)∵f(1)>g(1),f(2)g(10),


∴1

∴x1<6x2.


从题图可以看出,当x1

∴f(6)x2时,f(x)>g(x),


∴f(2 017)>g(2 017).又g(2 017)>g(6),


∴f(2 017)>g(2 017)>g(6)>f(6).


20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示.





(1)求f(x)的解析式;


(2)将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将所得函数图象向右平移π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.


解:(1)由题图可知34T=11π6-π3=9π6=3π2,


故T=2π,所以ω=2πT=1.


又由f11π6=0,得Asin11π6+φ=0,


即11π6+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-11π6,k∈Z.


又0<φ<π2,∴当k=1时,φ=π6.


又f(0)=2,∴Asinπ6=2.


∴A=4.∴f(x)=4sinx+π6.


(2)将f(x)=4sinx+π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=4sin2x+π6的图象,再将图象向右平移π6个单位长度,得到g(x)=4sin2x-π6+π6=4sin2x-π6的图象,由2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z).


故g(x)的单调递增区间为kπ-π6,kπ+π3(k∈Z).


21.(本小题满分12分)在充分竞争的市场环境中,产品的定价至关重要,它将影响产品的销量,进而影响生产成本、品牌形象等.某公司根据多年的市场经验,总结得到了其生产的产品A在一个销售季度的销量y(单位:万件)与售价x(单位:元)之间满足函数关系为y=14-x2,6≤x≤16,22-x,16

(1)当产品A的售价在什么范围内时,能使得其销量不低于5万件?


(2)当产品A的售价为多少时,总利润最大?(注:总利润=销量×(售价-单件成本))


解:(1)由y≥5,得14-x2≥5,6≤x≤16或22-x≥5,16

解得6≤x≤16或16

答:当产品A的售价x∈[6,17]时,其销量y不低于5万件.


(2)由题意,总利润L=y·x-30y=xy-30=x(28-x)2-30,6≤x≤16,x(22-x)-30,16

①当6≤x≤16时,L=-12(x-14)2+68≤68,当且仅当x=14时等号成立.


②当16

综上①②可知当x=14时,利润L最大.


答:当产品A的售价为14元时,总利润最大.


22.(本小题满分12分)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=(2-m)lg4(1-x)+(1-2m)·lg4(1+x).


(1)讨论f(x)的奇偶性;


(2)当f(x)为奇函数时,若方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,求实数a的取值范围.


解:(1)由


2f(x)+f(-x)=(2-m)lg4(1-x)+(1-2m)lg4(1+x),2f(-x)+f(x)=(2-m)lg4(1+x)+(1-2m)lg4(1-x),


可得f(x)=lg4(1-x)-mlg4(1+x),x∈(-1,1).


当m=1时,f(x)=-f(-x),此时f(x)为奇函数;当m=-1时,f(x)=-f(-x),此时f(x)为偶函数;当m≠1,且m≠-1时,f(x)是非奇非偶函数.


(2)由(1)可知当m=1时,f(x)是奇函数.此时f(x)=lg4(1-x)-lg4(1+x)=lg41-x1+x.


因为方程f(2-x)=12x+a2在x>0时有实根,


即lg42x-12x+1-12x=12a,


即lg22x-12x+1-x=a在x>0时有实根.


令2x=t,t>1,设函数g(t)=lg2t-1t+1-lg2t,t>1,只需求函数g(t)的值域.


可知g(t)=lg2t-1t2+t=lg21t-1+2t-1+3,t>1,


因为t-1+2t-1+3≥3+22,


当且仅当t=2+1时,取得最小值3+22,


所以g(t)≤lg2(3-22),


所以a≤lg2(3-22),


即实数a的取值范围是(-∞,lg2(3-22)].