北师大版八年级下册5 一元一次不等式与一次函数教学设计

这是一份北师大版八年级下册5 一元一次不等式与一次函数教学设计，共22页。教案主要包含了教学建议，知识导图等内容，欢迎下载使用。










第4讲


讲














一元一次不等式与一次函数


























概述





【教学建议】


本节的教学重点是使学生能综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题，这一块对学生数形结合的要求比较高，教师在辅导过程中要注重学生这一块能力的培养


学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：


1. 不等式与一次函数的关系


2. 如何利用一次函数的图像解决不等式的问题


3.数形结合思想





【知识导图】














教学过程








一、导入





【教学建议】


有关不等式和一次函数的考题，需要学生具有较强的数学结合思想以及分析问题的能力，在授课过程中老师们可以着重培养








二、知识讲解








知识点1 观察图像，求不等式解集








1.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.


作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.


（1）x取哪些值时，2x－5=0?


（2）x取哪些值时，2x－5＜0?


（3）x取哪些值时，2x－5＞0?


（4）x取哪些值时，2x－5＞3?





2.想一想


如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?











知识点2 一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系





1.根据上面的分析，找到一次函数当函数值y＞0时，对应的自变量x的取值范围为不等式－2x－5＞0的解集.


2.从图像上来分析，不等式－2x－5＞0的解集.即为图像在x轴上方的部分对应的自变量x的取值








三、例题精析








例题1





【题干】如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x < ax + 4的解集为（ ）





A． B． C． D．





【答案】A


【解析】试题分析：由图象可知不等式2x < ax + 4的解集为x＜m，因为函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），所以把点A（m，3）代入y=2x得，所以，故选：A.








例题2





【题干】如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集 .














【答案】x＞－1


【解析】根据题意可得即＞，也就是函数在函数的上方，根据图象可得当x＞－1时，函数在函数的上方.








例题3





【题干】已知直线y=3x+k与x轴交于（﹣2，0），则不等式3x+k≤0的解集是 _________ ．





【答案】x≤-2．


【解析】∵直线y=3x+k与x轴交于点A（-2，0），


∴直线y=3x+k中当x=-2时，y=0，函数值y随x的增大而增大；


因而关于x的不等式3x+k≤0的解集是x≤-2．








例题4





【题干】甲乙两车同时从A地出发,以各自的速度匀速向B地行驶.甲车先到达B地,停留一小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为60km/h，两车间距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如下.


(1)将图中（ ）填上适当的值，并求甲车从A到B的速度.


(2)求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x的函数关系式，自变量取值范围。


(3)求出甲车返回时行驶速度及AB两地的距离.











【答案】见解析


【解析】（1）60，甲车从A到B的行驶速度为100km/h.


（2）设y=kx+b把（4,60），（4.4,0）代入上式得


∴y=-150x+660；


自变量x的取值范围为4≤x≤4.4;


（3）设甲车返回行驶速度为v km/h,有0.4×（60+v）=60，得v=90 km/h.


A,B两地的距离是3×100=300（km）,


即甲车从A地到B地时，速度为100km/h,时间为3小时。














四 、课堂运用








基础





1. 直线l1：y=kx与直线l2：y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于x的不等式ax+b＞kx的解集为 ．








【答案】x＜1


【解析】当x＜1时，y=kx的函数图象在y=ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．


从图象可看出当x＜1，不等式ax+b＞kx．故答案为：x＜1．





2.在平面直角坐标系中，直线经过（2,7），求不等式的解集．


【答案】x≤3


【解析】解：因为直线y=kx+3经过点（2，7），所以7=2k+3，解得k=2，


把k=2代入不等式得：2x-6≤0，解得：x≤3．





3.如图，直线y=kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，-3），则不等式kx+b+3≤0的解为（ ）





A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2





【答案】A


【解析】由kx+b+3≤0得kx+b≤-3，


直线y=kx+b与y轴的交点为B（0，-3），


即当x=0时，y=-3，


∵函数值y随x的增大而增大，


∴当x≥0时，函数值kx+b≥-3，


∴不等式kx+b+3≥0的解集是x≥0．


故选A．











巩固





1.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）





A．x≥ B．x≤3 C．x≤ D．x≥3








【答案】A．


【解析】试题分析：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，


解得，m=，


∴点A的坐标为（，3），


∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．


故选A．








2.某市现有两种用电收费方法：





小明家所在的小区的电表都换成了分时电表，根据情况回答下列问题：


（1）第一季度小明家用电情况为：谷时用电量100度，峰时用电量300度，这个季度的费用和用普通电表收费相比，哪种收费方法合算？试说明理由.


（2）一月份小明家用电100度，那么小明家使用分时电表是不是一定比普通电表合算？试说明理由.





【答案】（1）用分时电表计费方法是合算的


（2）当时，两种收费方法一样多；当时，普通计价方法合算；当时，分时计价方法合算.





【解析】（1）第一季度按普通方法计费：（100+300）×0.52＝208元；


按分时计价方法费用为：100×0.35+300×0.55＝200元<208元.


所以第一季度用分时电表计费方法是合算的.


（2）设小明家一月份谷时用电x度，则峰时用电（100-x）度，分时计价时总价为y1元，普通计价时总价为y2元.


，


由＝，得＝52时，解得；


由>，得>52时，解得；


由<，得<52时，解得.


所以当时，两种收费方法一样多；当时，普通计价方法合算；当时，分时计价方法合算.








3.如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（ ）





A． B． C． D．








【答案】D


【解析】试题分析：∵直线与（）的交点的横坐标为，∴关于x的不等式的解集为，∵时，，∴的解集是，∴的解集是，∴关于x的不等式的整数解为﹣3，故选D．








拔高





1.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．











【答案】．


【解析】由图象可以看出，在交点的右侧，相同的x值，的函数值较大，当时，的值大于0，


∴的解集为，故答案为：．








2.某工厂有甲种原料69千克，乙种原料52千克，现计划用这两种原料生产A，B两种型号的产品共80件，已知每件A型号产品需要甲种原料0.6千克，乙种原料0.9千克；每件B型号产品需要甲种原料1.1千克，乙种原料0.4千克．请解答下列问题：


（1）该工厂有哪几种生产方案？


（2）在这批产品全部售出的条件下，若1件A型号产品获利35元，1件B型号产品获利25元，（1）中哪种方案获利最大？最大利润是多少？


（3）在（2）的条件下，工厂决定将所有利润的25%全部用于再次购进甲、乙两种原料，要求每种原料至少购进4千克，且购进每种原料的数量均为整数．若甲种原料每千克40元，乙种原料每千克60元，请直接写出购买甲、乙两种原料之和最多的方案．








【答案】（1）有3种购买方案：


方案1，生产A型号产品38件，生产B型号产品42件；


方案2，生产A型号产品39件，生产B型号产品41件；


方案3，生产A型号产品40件，生产B型号产品40件．


（2）生产A型号产品40件，B型号产品40件时获利最大，最大利润为2400元．


（3）购买甲种原料9千克，乙种原料4千克．





【解析】（1）设生产A型号产品x件，则生产B型号产品（80﹣x）件，由题意，得


，


解得：38≤x≤40．


∵x为整数，


∴x=38，39，40，


∴有3种购买方案：


方案1，生产A型号产品38件，生产B型号产品42件；


方案2，生产A型号产品39件，生产B型号产品41件；


方案3，生产A型号产品40件，生产B型号产品40件．


（2）设所获利润为W元，由题意，得


W=35x+25（80﹣x），


w=10x+2000，


∴k=10＞0，


∴W随x的增大而增大，


∴当x=40时．W最大=2400元．


∴生产A型号产品40件，B型号产品40件时获利最大，最大利润为2400元．


（3）设购买甲种原料m千克，购买乙种原料n千克，由题意，得


40m+60n=2400


2m+3n=120．


∵m+n要最大，


∴n要最小．


∵m≥4，n≥4，


∴n=4．


∴m=9．


∴购买甲种原料9千克，乙种原料4千克．


3.A、B、C三个港口依次在一条直线上，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港.设甲、乙两船行驶x（h)后，与B港的距离分别为y1，y2(km)，y1、y2与x的函数关系如图所示.


(1)填空：A、C两港口间的距离为____km，a=____；


(2)求图中点P的坐标，并解群该点坐标所表示的实际意义；[来#%源:中国教育^&出


(3)若两船的距离不超过l0km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围.








【答案】见解析


【解析】解：（1）A、C两港口间距离s=30+90=120km，


又由于甲船行驶速度不变，


故，


则a=2（h）．


（2）由点（3，90）求得，y2=30x．


当x＞0.5时，由点（0.5，0），（2，90）求得，y1=60x﹣30．


当y1=y2时，60x﹣30=30x，


解得，x=1．


此时y1=y2=30．


所以点P的坐标为（1，30）．


该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km．


（3）①当x≤0.5时，由点（0，30），（0.5，0）求得，y1=﹣60x+30


依题意，（﹣60x+30）+30x≤10，解得，x≥．不合题意．


②当0.5＜x≤1时，依题意，30x﹣（60x﹣30）≤10


解得，x≥．所以≤x≤1．


③当x＞1时，依题意，（60x﹣30）﹣30x≤10


解得，x≤．所以1＜x≤


④当2≤x≤3时，甲船已经到了而乙船正在行驶，


∵90﹣30x≤10，解得x≥，


所以，当 ≤x≤3，甲、乙两船可以相互望见；


综上所述，当≤x≤时或当≤x≤3时，甲、乙两船可以相互望见．














课堂小结





不等式与一次函数的关系：


一次函数刻画了两个变量之间存在的一种相互依赖的关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态，因此，可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题。











扩展延伸








基础





1.如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解是 .











【答案】x＜4．


【解析】由图像可知：的解集为：x＜4


解得:x＜4．








2. 在平面直角坐标系中，直线y=kx-2经过点A（-2，0），求不等式4kx+3≤0的解集








【答案】x≥.


【解析】∵将点A（-2，0）代入直线y=kx-2，得：-2k-2=0，


即k=-1，


∴-4x+3≤0，


解得x≥.








巩固





1.直线y＝ax＋b与直线y＝cx＋d (a、b、c、d为非零常数)在直角坐标系中的位置如图所示，不等式ax＋b＜cx＋d的解集是 ．











【答案】x<1


【解析】两个条直线的交点坐标为（1，1），且当x＞1时，直线y＝ax＋b在直线y＝cx＋d的上方，


当x＜1时，直线y＝ax＋b在直线y＝cx＋d的下方，


故不等式ax＋b＜cx＋d的解集为x<1．





2.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：


（1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？


（2）求线段CD对应的函数解析式．


（3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）．








【答案】见解析


【解析】解：（1）0.5。


（2）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），


∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），


∴代入y=kx+b，得： ，解得：。


∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）。


（3）设线段OA对应的函数解析式为y=mx（0≤x≤5），


∵A点坐标为（5，300），代入解析式y=mx得，300=5m，解得：m=60。


∴线段OA对应的函数解析式为y=60x（0≤x≤5）


由60x=110x－195，解得：x=3.9。


答：轿车从甲地出发后经过3.9小时追上货车。


3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．





设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．


（1）试写出y与x的函数关系式；


（2）商场有哪几种进货方案可供选择？


（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？








【答案】（1）y=300x+12000（0≤x≤30）；


（2）商场有三种方案可供选择：


方案1：购空调10台，购彩电20台；


方案2：购空调11台，购彩电19台；


方案3：购空调12台，购彩电18台；


（3）选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．





【解析】（1）设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电（30﹣x）台，由题意，得


y=（6100﹣5400）x+（3900﹣3500）（30﹣x）=300x+12000（0≤x≤30）；


（2）依题意，有，


解得10≤x≤12．


∵x为整数，


∴x=10，11，12．


即商场有三种方案可供选择：


方案1：购空调10台，购彩电20台；


方案2：购空调11台，购彩电19台；


方案3：购空调12台，购彩电18台；


（3）∵y=300x+12000，k=300＞0，


∴y随x的增大而增大，


即当x=12时，y有最大值，


y最大=300×12+12000=15600元．


故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．











拔高





1.2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：


（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；


（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？


（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？











【答案】见解析


【解析】解：（1）1.9；


（2）设直线EF的解析式为y乙=kx+b


∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上


∴


解得


∴直线EF的解析式是y乙=80x﹣100；


∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，


∴点C的纵坐标为80×6﹣100=380；


∴点C的坐标是（6，380）；


设直线BD的解析式为y甲=mx+n；


∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，


∴


∴解得；


∴BD的解析式是y甲=100x﹣220；


∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270），


∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．


（3）符合约定； 由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．


在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米


在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米


∴按图象所表示的走法符合约定．








2.今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基础运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件。


（1）设从A基础运往甲 销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w,并写出x的取值范围；


（2）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费。








【答案】解：（1）80≤x≤380


（2）x=200时，运费w最低，最低运费为81200元。


此时运输方案如下：





【解析】（1）依题意，列表得





∴W=40x+20×(380-x)+15×(400-x)+30×(x-80)=35x+11200


又 解得80≤x≤380


（2） 依题意得解得，∴x=200,201,202


因w=35x+10,k=35，w随x的增大而增大，所以x=200时，运费w最低，最低运费为81200元。


此时运输方案如下：

















教学反思





适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1.观察图像，求不等式解集


2.一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系


3.一元一次不等式与一次函数的综合应用
教学目标
1.一元一次不等式与一次函数的关系.


2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.


3.会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题
教学重点
会综合运用一次函数、方程、不等式解决实际问题
教学难点
自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
分时电表
普通电表
峰时（8：00—21：00）
谷时（21：00到次日8：00）
电价0.52元/度
电价0.55元/度
电价0.35元/度
空调
彩电
进价（元/台）
5400
3500
售价（元/台）
6100
3900
A
B
甲
200
200
乙
180
120
A（380）
B（320）
甲（400）
x
400-x
乙（300）
380-x
320-(400-x)=x-80
A
B
甲
200
200
乙
180
120