高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第3课时学案

第3课时　两角和与差的正切公式

必备知识基础练

1.若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)

A.   B．－

C．3  D．－3

2．已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)

A.      B．7

C．－  D．－7

3．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

4.＝________.

5．tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝________.

6.已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于 (　　)

A.  B.

C.  D.

7．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C等于(　　)

A.  B.

C.  D.

8．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为(　　)

A.          B．－

C．－或  D．无法确定

关键能力综合练

一、选择题

1．tan 255°等于(　　)

A．－2－   B．－2＋

C．2－     D．2＋

2．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于(　　)

A.     B．7

C．－  D．－7

3．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)

A．－3  B．－1

C．1    D．3

4．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于(　　)

A．1       B．2

C．tan 10°  D.tan 20°

5．已知A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值为(　　)

A．1  B．2

C．－2  D．不确定

6．(易错题)已知sin  α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

二、填空题

7．已知tan(α＋β)＝3，tan＝2，那么tan β＝________.

8．设tan θ＝2，则tan＝________，＝________.

9.＝________.

三、解答题

10．(探究题)已知tan＝2，tan β＝.

(1)求tan α的值；

(2)求的值．

学科素养升级练

1．(多选题)下列计算正确的选项有(　　)

A．sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝1

B．sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°＝1

C.＝

D．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝－

2．(1＋tan 1°)·(1＋tan 2°)·(1＋tan 3°)·…·(1＋tan 44°)·(1＋tan 45°)的值是________．

3．(情境命题—学术情境)如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.

求：(1)tan(α＋β)的值；

(2)α＋2β的大小．

答案

必备知识基础练

1．解析：tan(α－β)＝＝.

答案：A

2．解析：sin α＝⇒cos α＝－⇒tan α＝－.

∴tan＝＝＝.

答案：A

3．解析：∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，∴tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，解得tan A·tan B＝.故选B.

答案：B

4．解析：＝＝tan 60°＝.

答案：

5．解析：tan 45°＝tan(19°＋26°)＝＝1.

所以tan 19°＋tan 26°＝1－tan 19°tan 26°，

则tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°

＝1－tan 19°tan 26°＋tan 19°tan 26°＝1.

答案：1

6．解析：∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝

＝＝－1，

∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋(k∈Z)．

又∵α为锐角，∴α＝－＝.

答案：C

7．解析：因为tan(A＋B)＝，

故tan(A＋B)＋＝＋

＝；

根据题意可知，tan A＋tan B＋－tan Atan B＝0，

故tan(A＋B)＋＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tan C，所以tan C＝，因为在三角形中0<C<π，故C＝.故选A.

答案：A

8．解析：由已知得

所以tan(α＋β)＝＝＝，

又由①②可知tan α<0，tan β<0.

∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0，

∴α＋β＝－π.故选B.

答案：B

关键能力综合练

1．解析：tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.

答案：D

2．解析：∵tan(180°－α)＝－tan α＝－，∴tan α＝，

∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.

答案：D

3．解析：由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.

答案：A

4．解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋tan 10°

＝

＝

＝tan 30°＝1，故选A.

答案：A

5．解析：(1＋tan A)(1＋tan B)

＝1＋(tan A＋tan B)＋tan Atan B

＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B

＝1＋1－tan Atan B＋tan Atan B＝2.

答案：B

6．解析：sin  α＝，且α为锐角，

则cos α＝，tan α＝，

所以tan(α＋β)＝＝＝－1.

又α＋β∈，故α＋β＝.

答案：B

7．解析：由题意，tan＝＝2，则tan α＝.又tan(α＋β)＝＝3，所以tan β＝.

答案：

8．解析：由tan θ＝2，得tan＝＝－3，＝＝.

答案：－3　

9．解析：因为tan 18°＋tan 42°＋tan 120°

＝tan 60°(1－tan 18°tan 42°)＋tan 120°

＝－tan 60°tan 18°tan 42°，

所以原式＝－1.

答案：－1

10．解析：(1)因为tan＝2，

所以＝2，

所以＝2，解得tan α＝.

(2)＝

＝＝＝tan(β－α)＝

＝＝.

学科素养升级练

1．解析：对于A：sin 158°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin 22°cos 48°＋cos 22°sin 48°＝sin(22°＋48°)＝sin 70°≠1，所以A错误；

对于B：sin 20°cos 110°＋cos 160°sin 70°

＝sin 20°(－cos 70°)＋(－cos 20°)sin 70°

＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°)＝－sin(20°＋70°)＝－1，所以B错误；

对于C: 根据正切函数和角公式，化简得＝＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，所以C正确；

对于D：cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin(14°－74°)＝－sin 60°＝－，所以D正确，故选CD.

答案：CD

2．解析：若A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B＝2，所以原式＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]·[(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)]·…·[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]·(1＋tan 45°)＝223.

答案：223

3．解析：(1)由条件得cos  α＝，cos  β＝.

∵α，β为锐角，∴sin  α＝＝，

sin β＝＝.

因此tan α＝＝7，

tan β＝＝.

∴tan(α＋β)＝＝＝－3.

(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝＝＝，

∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.

∵α，β为锐角，

∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.