初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数教学设计，共8页。
教学目标


(一)教学知识点


1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．


2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．


3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．


(二)能力训练要求


1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．


2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．


(三)情感与价值观要求


1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．


2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题．并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．


教学重点


能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．


能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．


教学难点


能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．


教学方法


讨论式学习法．


教具准备


投影片四张


第一张：(记作§2．5A)


第二张：(记作§2．5B)


第三张：(记作§2．5C)


第四张：(记作§2．5D)


教学过程


Ⅰ．创设问题情境，引入新课


[师]函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：


这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？


Ⅱ．新课讲解


一、试一试


投影片：(§2、5A)


[师]请大家互相交流．


[生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10－x)cm，所以面积为：


y＝x(10－x)＝－x2＋10x．


(2)表中第二行从左至右依次填9、8、7、6、5、4、3、2、1；第三行从左至右依次填9、16、21、24、25、24、21、16、9．


(3)图象如下图．





[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限，可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢？


[生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限．


[师]大家同意这种说法吗？


[生]不同意．不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y＝－x2＋10x的图象，就不是在第一象限作图象了．


[师]非常棒．


二、议一议


投影片：(§2．5B)


(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么？


(2)当x取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你描述一下y随x的变化而变化的情况．


[师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流．


[生](1)因为x是边长，所以x应取正数，即x＞0，又另一边长(10－x)也应大于0，即10－x＞0，所以x＜10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是0＜x＜10．


(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝－x2＋10x化成顶点式．当x＝－时，函数y有最大值y最大＝．


∴y＝－x2＋10x＝－(x2－10x)


＝－(x2－10x＋25－25)


＝－(x－5)2＋25．


∴当x＝5时，长方形的面积最大，最大面积是25cm2．


可以通过观察图象得知．


也可以代入顶点坐标公式中求得．


当x＝－＝5时，


y最大＝＝25cm2．


当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小．


[师]回答得棒极了．


这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大．


三、做一做


投影片：(§2．5C)


[师]请大家互相交流．


[生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x－2)，则积y＝x(x－2)＝x2－2x，所以函数的表达式为y＝x2－2x．


2．


3．图象如下图．





4．(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数．


(2)y＝x2－2x＝(x2－2x＋1)－1＝(x－1)2－1．


因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－1)．


(3)因为开口向上，对称轴x＝1，所以在对称轴左侧，即x＜1时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x＞1时，y的值随x值的增大而增大．


(4)通过观察图象可知．


四、议一议


二次函数的三种表示方式有什么特点？它们之间有什么联系？与同伴进行交流．


[生]表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系．


它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象．


[师]很好．下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系．


投影片：(§2．3D)


函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要．


它们的联系是三种方式可以互化．由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示．


Ⅲ．课堂练习


1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？





(2)完成下表：


(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？


解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此第6个图形应该有21个小圆圈．


(2)从左至右应填1，3，6，10，15．


(3)m＝．


Ⅳ．课时小结


本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点．根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究．如最值问题和y随x的变化而变化等问题．


Ⅴ．课后作业


习题2．6


Ⅵ．活动与探究


2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么？





(2)完成下表：


(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？


解：(1)第1个图形中有1个小圆圈．


第2个图形中有1＋6＝7个小圆圈．


第3个图形中有7＋2×6＝19个小圆圈．


第4个图形中有19＋3×6＝37个小圆圈．


(2)从左至右填1，7，19，37，61．


(3)m＝6×＋1＝3n2－3n＋1．


板书设计


§2．5 用三种方式表示二次函数


一、1．试一试(投影片§2．5A)


2．议一议(投影片§2．5B)


3．做一做(投影片§2．5C)


4．议一议(投影片§2．5D)


二、课堂练习


三、课时小结


四、课后作业


x(千克)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y(元)
0
1
2
3
4
5
6
长方形的周长为20cm，设它的一边长为x cm，面积为y cm2．y随x变化而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？


(1)用函数表达式表示：y＝________．


(2)用表格表示：


x
1
2
3
4
5
6
7
8
9

10－x










y










(3)用图象表示：
两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的？你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗？


1．用函数表达式表示：y＝________．


2．用表格表示：


x








y








3．用图象表示：


4．根据以上三种表示方式回答下列问题：


(1)自变量x的取值范围是什么？


(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？


(3)如何描述y随x的变化而变化的情况？


(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
y
15
8
3
0
－1
0
3
8
15
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数
边上的小圆圈数
1
2
3
4
5
小圆圈的总数