人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试练习

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《二次函数》


LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D.


（1）请直接写出D点的坐标.


（2）求二次函数的解析式.


（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：


(1)根据上表填空：


①这个抛物线的对称轴是 ,抛物线一定会经过点(﹣2, )；


②抛物线在对称轴右侧部分是 (填“上升”或“下降”)；


(2)如果将这个抛物线y=ax2+bx+c向上平移使它经过点(0,5),求平移后的抛物线表达式．












































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k﹣5)x﹣(k+4)的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=﹣8.求二次函数解析式.





























LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,0)．


(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；


(2)判断△ABC的形状,证明你的结论；


(3)点M是x轴上的一个动点,当△DCM的周长最小时,求点M的坐标．




































































LISTNUM OutlineDefault \l 3 如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-2,4),过点A作AB⊥y轴,垂足为B,连结OA。


(1)求△OAB的面积；


(2)若抛物线y=-x2-2x+c经过点A.


= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①求c的值；


= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②将抛物线向下平移m个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界),求m的取值范围(直接写出答案即可)。



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知：抛物线y=x2+bx+c经过点(2,﹣3)和(4,5)．


(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；


(2)将抛物线沿x轴翻折,得到图象G,求图象G的表达式；


(3)在(2)的条件下,当﹣2＜x＜2时,直线y=m与该图象有一个公共点,求m的值或取值范围．



































LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．


(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；


(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).









































LISTNUM OutlineDefault \l 3 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点．


(1)试求抛物线的解析式；


(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积；


(3)若直线y=﹣0.5x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围．


















































LISTNUM OutlineDefault \l 3 下图是数值转换机的示意图,小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象：


(1)分别写出当0≤x≤4与x＞4时,y与x的函数关系式；


(2)求出所输出的y的值中最小一个数值；


(3)写出当x满足什么范围时,输出的y的值满足3≤y≤6．


























LISTNUM OutlineDefault \l 3 某商品的进价为每件50元.当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：


(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；


(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
































参考答案


LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，


∴对称轴是x=﹣1.


又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，


∴D（﹣2，3）；


（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），


根据题意得，解得，


所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；


（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1.











LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)①∵当x=0和x=2时,y值均为2,∴抛物线的对称轴为x=1,


∴当x=﹣2和x=4时,y值相同,∴抛物线会经过点(﹣2,10)．故答案为：x=1；10．


②∵抛物线的对称轴为x=1,且x=2、3、4时的y的值逐渐增大,


∴抛物线在对称轴右侧部分是上升．故答案为：上升．


(2)将点(﹣1,5)、(0,2)、(2,2)代入y=ax2+bx+c中,


,解得：,∴二次函数的表达式为y=x2﹣2x+2．


∵点(0,5)在点(0,2)上方3个单位长度处,∴平移后的抛物线表达式为y=x2﹣2x+5．


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：由题意得：x1，x2为方程x2+(k﹣5)x﹣(k+4)=0的解，


∴x1+x2=﹣(k﹣5)=5﹣k，x1x2=﹣(k+4)=﹣k﹣4，


∵(x1+1)(x2+1)﹣8，即x1x2+(x1+x2)+1=﹣8，


∴﹣k﹣4+5﹣k+1=﹣8，解得：k=5，则y=x2﹣9.





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)∵点在抛物线上,


∴,∴,∴抛物线的解析式为．


∵, ∴顶点D的坐标为．


(2)△ABC是直角三角形．当时,,∴,则．


当时,,∴,则．


∴,, ∴．


∵,,,


∴, ∴△ABC是直角三角形．


(3)作出点C关于轴的对称点C′,则．连接C′D交轴于点M,根据轴对称性及两点之间线段最短可知,CD一定,当MC+MD的值最小时,△CDM的周长最小．





设直线C′D的解析式为,则：则,解得,


∴ 当时,,则,∴．


LISTNUM OutlineDefault \l 3











LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)根据题意得,解得,所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．


∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4)．


(2)根据题意,﹣y=x2﹣2x﹣3,所以y=﹣x2+2x+3．


(3)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为(1,﹣4),当x=﹣2时,y=5,抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点(1,4),当x=﹣2时,y=﹣5．∴当﹣2＜x＜2时,直线y=m与该图象有一个公共点,则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)y=x2-4x-5,对称轴是x=2.


(2)


LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)由题意解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2．


(2)∵y=x2﹣x+2=(x﹣1)2+．∴顶点坐标(1,),


∵直线BC为y=﹣x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3),∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=•3+•1=3．


(3)由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0,


当△=0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)=0,∴b=,


当直线y=﹣x+b经过点C时,b=3,当直线y=﹣x+b经过点B时,b=5,


∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,∴＜b≤3．





LISTNUM OutlineDefault \l 3 y=3/4 x+3,y=(x-6)2+2;最小值2. 0≤x≤5或7≤x≤8





LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)根据题意得y=(70﹣x﹣50)(300+20x)=﹣20x2+100x+6000，


∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，∴0≤x＜20；


(2)∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20(x﹣)2+6125，


∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，


答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.





x
…
﹣1
0
2
3
4
…
y
…
5
2
2
5
10
…