【精品奥数】六年级上册数学思维训练讲义-第七讲 周期工程问题 人教版（含答案）

第七讲   周期工程问题

第一部分：趣味数学

                                  裂变

有一种细菌，经过1分钟，分裂成2个，再过1分钟，又发生分裂，变成4个。这样，把一个细菌放在瓶子里到充满为止，用了1个小时。如果一开始时，将2个这种细菌放入瓶子里，那么，到充满瓶子需要多长时间?

【答案】59分钟

第二部分：习题精讲

【例题1】一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？

【思路导航】把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。

①        需循环的次数为：1÷（+）=＞7（次）

②        7个循环后剩下的工作量是：1-（+）×7=

③        余下的工作两还需甲做的时间为：÷=（小时）

④        完成任务共用的时间为：2×7+=14（小时）

   答：完成任务时需共用14小时。

练习一：

1.一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？

2.一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？

3.一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

【例题2】一项工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？

【思路导航】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：

 甲乙甲乙……甲乙  甲

 乙甲乙甲……乙甲  乙甲

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。

①        甲每天能做这项工程的1÷26×=

②        甲单独做完成的时间1÷=40（天）

答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。

练习二：

1.一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？

2.一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？

3.一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？

4.蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？

【例题3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？

【思路导航】由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：

              甲乙甲乙……甲乙  甲

              乙甲乙甲……乙甲  乙剩60个

竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。

甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）

乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）

答：甲每天做150个，乙每天做90个。

练习三：

1.一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？

2.一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？

3.红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？

【例题4】打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？

【思路导航】根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。

①      每循环一次，他们共完成全部工程的（+）×3＝

②      总工作量里包含几个9/20：1÷=2

③      甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-×2＝

④      由于＞，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）÷＝

⑤      打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+=13（小时）

答：打印这部稿件共需13小时。

练习四：

1.一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？

2.一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？

3.一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的为几月几日？

4.一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？

【例题5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

【思路导航】由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：

甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，  甲

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，  乙丙

丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，  丙甲

从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲－丙=甲－甲×，又推出乙=甲；与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：

甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙，  甲乙

乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲，  乙丙甲

丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙，  丙甲乙

由此推出：丙=甲，丙=乙

①       丙队每天做这项工程的×=

②       乙队每天做这项工程的÷=

③       甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（++）=5（天）

答：甲、乙、丙合作要5天完工。

练习五：

1.有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

2.有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？

3.有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？

4.蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？

第三部分：数学史

华罗庚的故事

在中国，有一位数学家是家喻户晓的，这就是华罗庚。华罗庚从小聪明好学,念初中时,在数学课上就表现出了特殊的才华.一天王维克老师给全班出了一道数学题,这是一道出自《孙子算经》的题目：“今朝有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”王老师在读这道题时,读得很慢,声音抑扬顿挫.读完题目后,王老师把目光扫向全班同学,一张张紧张思索的面孔,一道道疑惑不解的目光尽在王老师的视野之内.突然,一个学生站起来,说：“这物品是23个.”这是个熟悉的声音,这声音把同学们从思索和疑惑中唤醒过来.大家用惊异的目光看着他.这个最先说出答案的同学就是少年华罗庚.华罗庚在解这道题时是这样想的：从“七七数之剩二”开始,就是说,七数余二,那么七的倍数再加二定是这个数,不防设这个数是7×3＋2=23.再对23进行检验：23被3除,余2；23被5除余3,因此,23符合题目条件.正是由于华罗庚从小勤奋好学,王维克老师加倍看重他的聪明与才华. 

华罗庚上完初中一年级后，因家境贫困而失学了，只好替父母站柜台，但他仍然坚持自学数学。经过自己不懈的努力，他的《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》论文，被清华大学数学系主任熊庆来教授发现，当得知这篇文章的作者是一位仅有初中毕业文凭的金坛县初中的青年人，更感到震惊。他看出了华罗庚的才华，便邀请他到清华大学并被聘为大学教师！ 

在清华大学，华罗庚当上了一名助理员。主要职务是管理数学系的图书、收发公文、代领文具、绘制图表等。这样，他利用工作之余读书、听课，只用一年半的时间就修完了大学课程，用4个月的时间自学了英语，并能达到读英语数学文献的水平。另外，他还自修了德文，特别是他听了研究生课程后，数学修养有了很大的提高，学术论文先后在国外数学杂志上发表，清华大学的教师都不得不对他刮目相看。只要辛勤劳动，没有克服不了的困难、没有攻不破的堡垒。”华罗庚就是这样刻苦学习，才从一个只有初中学历的青年，自学成为一名大学教师的。

参考答案：

练习一：

1.（1）需循环的次数

   1÷（+）＝＞3

  （2）3个循环后剩下的工作量

       1－（+）×3＝

  （3）最后由乙做的时间

      （－）÷＝小时

  （4）需要的总时间

       2×3+1+＝7小时

2.（1）需循环的次数

      1÷（+）＝＞8

   （2）3个循环后剩下的工作量

       1－（+）×8＝

   （3）最后由乙做的时间

        ÷＝小时

   （4）需要的总时间

       2×8+＝16小时

3.（1）需循环的次数

       ÷（+）＝＞3

  （2）3个循环后剩下的工作量

        －（+）×3＝

  （3）最后由乙做的时间

        ÷＝小时

  （4）需要的总时间

        2×3+＝6小时

练习二：

1.提示：甲的效率是乙的2倍

20÷2＝10天

2.提示：乙的效率是甲的

  1÷【×（1－）+】＝3天

3.提示：乙的效率是甲的

 1÷（1÷12×）＝21小时

4.（1）需几个周期

  ÷（－）×3＝＞3

 （2）3个周期后剩下的水

  －（－）×3＝

 （3）需要的时间

  2×3+1+（+）÷＝7小时

练习三：

1.师傅：84÷（7－4）×7＝196个

       徒弟：84÷（7－4）×4＝112个

2.提示：乙的效率是甲的（1－）＝

1÷（1÷2×）＝7天

3.3小时36分＝3小时

师、徒效率和：1080÷3＝300个

师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个

徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个

练习四：

1.提示：把6分钟看作一个循环

（1）          每循环一次的工作量

（+）×（1+2）＝

（2）          总工作量里面有几个

               1÷＝3

（3）          3个循环后剩下的工作量

           1－×3＝

（4）          一共需要的时间

           6×3+1+（－）÷＝20分钟

2.提示：把6分钟看作一个循环

（5）          1个循环的工作量

（+）×（1+2）＝

（6）          总工作量里面有几个

               1÷＝2

（7）          3个循环后剩下的工作量

           1－×2＝

（8）          一共需要的时间

           6×2+÷＝13小时

  说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用÷

3.提示：把12天看作一个循环

        12天中甲的工作量

             ×（3+3+3）＝

        12天中乙的工作量

              ×（5+5）＝

总共需要的天数

              ÷（+）＝2

        （12天减去最后休息的1天）

              12×2－1＝23天

        完成全部任务的为3月24日。

4.提示：把7天看作一个周期

         1÷（×5+×6）＝15

         7×15－1＝104天

练习五：

1.提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙的。

丙的工作效率×＝

乙的工作效率÷＝

甲、乙、丙三队合做的天数1÷（++）＝2天

2.提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的，乙的效率是甲的。

（1）          丙的效率×＝

（2）          乙的效率×（1－×）＝

（3）          甲、乙、丙三队合做的天数1÷（++）＝4天

3.由题意可以推出，丙的效率是甲的＝，丙的效率是乙的，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。

   1÷（1÷13×）＝31天

4.提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。

（1）水池里的水超过时需要几个循环

     （－）÷（－+－）＝＞4

（2）循环5次以后，池中水占

  +（－+－）×5＝

（3）总共需要的时间

 4×5+（1－）÷＝20小时