2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.4三角函数的图象与性质

§4.4　三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.
结合三角变换，考查三角函数图象及变换，三角函数的性质，加强数形结合思想.以选择、填空为主，中档难度.



1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

概念方法微思考
1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期.
2.函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示　(1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.(　×　)
(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.(　×　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　×　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
题组二　教材改编
2.函数f (x)＝cos的最小正周期是________.
答案　π
3.y＝3sin在区间上的值域是________.
答案　
解析　当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin在上的值域为.
4.函数y＝－tan的单调递减区间为________________.
答案　(k∈Z)
解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
得＋ 所以y＝－tan的单调递减区间为
(k∈Z).
题组三　易错自纠
5.在函数①y＝cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
答案　A
解析　①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
6.函数y＝sin的对称轴为________，对称中心为________.
答案　x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
解析　由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z.

　三角函数的定义域和值域
例1 　(1)函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________.
答案　
解析　要使函数有意义，则
即解得
所以2kπ 所以函数的定义域为.
(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A.2－ B.0 C.－1 D.－1－
答案　A
解析　因为0≤x≤9，所以－≤－≤，
所以－≤sin≤1，则－≤y≤2.
所以ymax＋ymin＝2－.
(3)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________.
答案　
解析　因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
(4)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x)＝2sin x＋sin 2x，则f (x)的最小值是________.
答案　－
解析　f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1).
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x<时，f′(x)<0，f (x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f (x)单调递增，
∴当cos x＝时，f (x)有最小值.
又f (x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
且当cos x＝时，sin x＝±，
∴当sin x＝－时，f (x)有最小值，
即f (x)min＝2××＝－.
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.
跟踪训练1 (1)已知函数f (x)＝sin，其中x∈，若f (x)的值域是，则实数a的取值范围是______.
答案　
解析　∵x∈，∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f (x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，
∴≤a≤π.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__________.
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
三角函数的周期性与对称性
1.下列函数中，是周期函数的为(　　)
A.y＝sin |x| B.y＝cos |x|
C.y＝tan |x| D.y＝(x－1)0
答案　B
解析　∵cos |x|＝cos x，∴y＝cos |x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.
2.若函数f (x)＝2tan的最小正周期T满足1 答案　2或3
解析　由题意得1<<2，k∈N，
∴ 3.函数y＝tan的图象的对称中心是__________.
答案　，k∈Z
解析　由＋＝(k∈Z)，
得x＝kπ－(k∈Z)，
即其对称中心为，k∈Z.
4.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f (x)≤f成立，则f (x)图象的对称中心是________，对称轴方程是____________.
答案　，k∈Z　x＝2kπ＋，k∈Z
解析　由f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.
因为f (x)≤f 恒成立，所以f (x)max＝f ，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，故f (x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f (x)图象的对称中心为，k∈Z.
令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝2kπ＋(k∈Z)，故
f (x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋，k∈Z.
思维升华 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.
(2)求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义.
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
三角函数的单调性
命题点1　求三角函数的单调区间
例2 (1)函数f (x)＝sin的单调递减区间为________.
答案　(k∈Z)
解析　f (x)＝sin＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).


(2)函数f (x)＝tan的单调递增区间是____________.
答案　(k∈Z)
解析　由kπ－<2x＋ 得－ 所以函数f (x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z).
(3)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________.
答案　
解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).
∴函数y＝sin在R上的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴函数的单调递增区间为.
本例(3)中，将x∈改为x∈[－π，π]，则函数的单调递减区间是_______.
答案　，
解析　∵y＝sin，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
∴函数y＝sin在R上的单调递减区间为(k∈Z).
又x∈[－π，π]，
∴函数的单调递减区间为，.
命题点2　根据单调性求参数
例3 已知ω>0，函数f (x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
答案　
解析　由0，得
＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且4k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
本例中，若已知ω>0，函数f (x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是__________.
答案　
解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且4k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
跟踪训练2 (1)y＝sin －cos 的单调递增区间为________.
答案　(k∈Z)
解析　y＝sin，
由2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为(k∈Z).
(2)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是______.
答案　
解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴解得≤a<.


1.函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠kπ＋(k∈Z).故选D.
2.(2020·重庆南开中学月考)函数f (x)＝(1＋tan x)·cos x的最小正周期为(　　)
A.2π B. C.π D.
答案　A
解析　f (x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2cos，则T＝2π.
3.函数f (x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A.－1 B.－ C. D.0
答案　B
解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f (x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
4.函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是

答案　D
解析　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝结合选项中图形知，D正确.
5.函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵y＝2sin＝－2sin，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数在R上的单调递增区间为，k∈Z，∴函数在[0，π]上的单调递增区间为.
6.已知函数f (x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f (x)图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　函数f (x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f (0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，
则f (x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，
∴是函数f (x)的图象的一个对称中心.
7.设函数f (x)＝cos(ω>0)，若f (x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为______.
答案　
解析　因为f (x)≤f 对任意的实数x都成立，所以f 为f (x)最大值，
所以ω－＝2kπ(k∈Z)，
所以ω＝8k＋(k∈Z)，
因为ω>0，所以当k＝0时，ω取最小值为.
8.(2018·全国Ⅱ改编)若f (x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是____________.
答案　
解析　f (x)＝cos x－sin x
＝－＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，
f (x)＝－sin单调递减.
∵函数f (x)在[－a，a]上是减函数，
∴[－a，a]⊆，
∴0 9.已知函数f (x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x)的最小正周期为________.
答案　
解析　由函数f (x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
∴函数f (x)的最小正周期为＝.
10.函数y＝sin2x＋2cos x在区间上的最小值是，则θ的取值范围是_____.
答案　
解析　y＝－cos2x＋2cos x＋1，令t＝cos x∈[－1,1]，y＝－t2＋2t＋1，其图象开口向下，对称轴为t＝1，故在区间[－1,1]上为增函数，令－t2＋2t＋1＝，解得t＝.故cos x的范围为，而cos ＝，根据y＝cos x函数图象的对称性可知θ∈.
11.已知函数f (x)＝cos－2sin xcos x.
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f (x)≥－.
(1)解　f (x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明　因为－≤x≤，
所以－≤2x＋≤.
所以sin≥sin＝－.
所以当x∈时，f (x)≥－.
12.已知函数f (x)＝4tan xsincos－.
(1)求f (x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f (x)在区间上的单调性.
解　(1)f (x)的定义域为.
f (x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，函数y＝2sin z在z∈，
k∈Z上单调递增.
由≤≤，得≤x≤，k∈Z.
设A＝，B＝，
易知，A∩B＝.
所以，当x∈时，f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.


13.(2019·全国Ⅰ)关于函数f (x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f (x)是偶函数；
②f (x)在区间上单调递增；
③f (x)在[－π，π]上有4个零点；
④f (x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
答案　C
解析　f (－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当
14.已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f ＝2，f (π)＝0，且f (x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有______个.
答案　9
解析　设函数f (x)的最小正周期为T，
由f ＝2，f (π)＝0，
结合正弦函数图象的特征可知＋＝，k∈N，
故T＝，k∈N；
又因为f (x)在区间上单调，
所以－≤，故T≥，
所以ω＝≤12，即≤12，
所以k≤，k∈N，所以k＝0,1,2，…，8，符合条件的ω的值有9个.

15.(2019·鹤岗市第一中学月考)已知函数f (x)＝Acos(ωx＋φ)的图象过点，最小正周期为，且最小值为－1.若x∈，f (x)的值域是，则m的取值范围是________.
答案　
解析　由函数最小值为－1，A>0，得A＝1，
因为最小正周期为，所以ω＝＝3，
故f (x)＝cos(3x＋φ)，
又图象过点，所以cos φ＝，
而0<φ<，所以φ＝，
从而f (x)＝cos，
由x∈，可得≤3x＋≤3m＋.
因为f ＝cos ＝，且cos π＝－1，cos ＝.
由余弦函数的图象与性质可知
π≤3m＋≤，解得≤m≤.
16.设函数f (x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.
(1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)若函数y＝f (x)的图象过点(π，0)，求函数f (x)在上的值域.
解　(1)由直线x＝π是y＝f (x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z).
又0<ω<，∴ω＝，
∴函数f (x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f (x)＝2sin＋m，
∵f (π)＝0，∴2sin＋m＝0，
∴m＝－2，∴f (x)＝2sin－2，
当0≤x≤时，－≤x－≤，
－≤sin≤1.
∴－3≤f (x)≤0，
故函数f (x)在上的值域为.