高考复习《抛物线的综合应用一》课时作业9.9 第一课时

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1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为eq \f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
D 由题意知直线MN的方程为 y＝eq \f(2,3)(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2,3)（x＋2），,y2＝4x，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4.))
不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．
又∵抛物线焦点为F(1，0)，∴eq \(FM,\s\up6(→))＝(0，2)，eq \(FN,\s\up6(→))＝(3，4)．
∴eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故选D.
2．斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5)
C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t，))
消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4（t2－1）,5).
∴|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))\s\up12(2)－4×\f(4（t2－1）,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).
3．(2020·石家庄调研)设F，B分别为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线y＝eq \f(b,a)x与椭圆在第一象限内的交点，若eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝λ(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(2\r(2)＋1,7) B.eq \f(2\r(2)－1,7)
C.eq \f(2\r(2)－1,3) D.eq \r(2)－1
A 连接BF，
联立椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝eq \f(b,a)x的方程，解得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))，\f(b,\r(2)))).因此线段OC的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2\r(2))，\f(b,2\r(2)))).∵eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝λ(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))，∴线段OC的中点在BF上，又直线BF的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，∴eq \f(a,2\r(2)c)＋eq \f(b,2\r(2)b)＝1，所以eq \f(c,a)＝eq \f(1,2\r(2)－1)＝eq \f(2\r(2)＋1,7).故选A.
4．(2020·长春质检)已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2，3]
C．(1，3] D．(1，2]
C 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，
得|PF2|＝2a＋|PF1|，
所以eq \f(|PF2|2,|PF1|)＝|PF1|＋eq \f(4a2,|PF1|)＋4a＝8a，
所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，
在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即2a＋4a≥2c，所以e＝eq \f(c,a)≤3.
又e>1，所以15．(2020·云南昆明一中摸底)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(\r(3),3) D．1
A 由题意可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),2p)，y0))(y0>0)，
则eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(FP,\s\up6(→))＝eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OF,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,0),6p)＋\f(p,3)，\f(y0,3)))，
可得k＝eq \f(\f(y0,3),\f(yeq \\al(2,0),6p)＋\f(p,3))＝eq \f(1,\f(y0,2p)＋\f(p,y0))≤eq \f(1,2\r(\f(y0,2p)·\f(p,y0)))＝eq \f(\r(2),2).
当且仅当eq \f(y0,2p)＝eq \f(p,y0)时取得等号，故选A.
6．(2020·九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
B 设P(x0，－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又A，B在抛物线上，所以y1＝eq \f(xeq \\al(2,1),4)，y2＝eq \f(xeq \\al(2,2),4).
因为y′＝eq \f(x,2)，则过点A，B的切线分别为y－eq \f(xeq \\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，
y－eq \f(xeq \\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)均过点P(x0，－1)，
则－1－eq \f(xeq \\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x0－x1)，－1－eq \f(xeq \\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x0－x2)，即x1，x2是方程－1－eq \f(x2,4)＝eq \f(x,2)(x0－x)的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,y＝kx＋b，))得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，
即b＝1，|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(4xeq \\al(2,0)＋16)，
O到直线AB的距离d＝eq \f(b,\r(k2＋1))，
则S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋4)≥2，
即△AOB的面积的最小值为2，故选B.
7．(2019·太原一模)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．
解析 由过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得eq \f(b,a)<2.
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))∵e>1，∴1∴此双曲线离心率的取值范围为(1，eq \r(5))．
答案 (1，eq \r(5))
8．(2020·贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为________．
解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，抛物线的准线为x＝－eq \f(1,4)，所求的距离d＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(x1＋\f(1,4)＋x2＋\f(1,4),2)－eq \f(1,4)＝eq \f(|MF|＋|NF|,2)－eq \f(1,4)，所以eq \f(|MF|＋|NF|,2)－eq \f(1,4)≥eq \f(|MN|,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)．
答案 eq \f(7,4)
9．已知动点P(x，y)在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，若A点坐标为(3，0)，|eq \(AM,\s\up6(→))|＝1，且eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，则|eq \(PM,\s\up6(→))|的最小值是________．
解析 ∵eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(PM,\s\up6(→)).
∴|eq \(PM,\s\up6(→))|2＝|eq \(AP,\s\up6(→))|2－|eq \(AM,\s\up6(→))|2＝|eq \(AP,\s\up6(→))|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故|eq \(AP,\s\up6(→))|min＝2，∴|eq \(PM,\s\up6(→))|min＝eq \r(3).
答案 eq \r(3)
10．(2020·湖北八校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为eq \f(2π,3)，则eq \f(|AF|,|BF|)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
A 由题意得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率k＝taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，∴直线l的方程为y＝－eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，即x＝－eq \f(\r(3),3)y＋eq \f(p,2)，代入抛物线方程得y2＋eq \f(2\r(3),3)py－p2＝0，解得y＝eq \f(\r(3),3)p或y＝－eq \r(3)p，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点A在第一象限可知y1＝eq \f(\r(3),3)p，则y2＝－eq \r(3)p，∴eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|y1|,|y2|)＝eq \f(1,3)，故选A.
11．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解 (1)由题意，得椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2，
因此a＝2，c＝eq \r(2).
故椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq \f(2y0,x0).
又xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(2y0,x0)))eq \s\up12(2)＋(y0－2)2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋eq \f(4yeq \\al(2,0),xeq \\al(2,0))＋4
＝xeq \\al(2,0)＋eq \f(4－xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(2（4－xeq \\al(2,0)）,xeq \\al(2,0))＋4
＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))＋4(0因为eq \f(xeq \\al(2,0),2)＋eq \f(8,xeq \\al(2,0))≥4(0故线段AB长度的最小值为2eq \r(2).
12．(2020·成都诊断)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),2)，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m是以坐标原点O为圆心，eq \f(2\r(5),5)为半径的圆的切线，且与椭圆C交于不同的两点A，B，求△AOB面积的最大值．
解 (1)将x＝－c代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，结合c2＝a2－b2，得y＝±eq \f(b2,a)，
由题意知eq \f(2b2,a)＝1，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，
∴a＝2，b＝1.∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵直线l：y＝kx＋m是以坐标原点O为圆心，
eq \f(2\r(5),5)为半径的圆的切线，
∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(2\r(5),5)，即m2＝eq \f(4,5)(1＋k2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∴Δ＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝eq \f(－8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－4,1＋4k2)，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(4\r(1＋4k2－m2),1＋4k2)
＝eq \f(4\r(1＋4k2)·\r(\f(1＋16k2,5)),1＋4k2)＝eq \f(4\r(5),5)eq \r(\f(（1＋k2）（1＋16k2）,（1＋4k2）2))
＝eq \f(4\r(5),5)·eq \r(1＋\f(9k2,16k4＋8k2＋1))＝eq \f(4\r(5),5)eq \r(1＋\f(9,16k2＋\f(1,k2)＋8))，
∵16k2＋eq \f(1,k2)≥2eq \r(16k2·\f(1,k2))＝8，当且仅当k2＝eq \f(1,4)时等号成立，
∴|AB|max＝eq \r(5)，∴S△OAB的最大值为eq \f(1,2)×eq \f(2\r(5),5)×eq \r(5)＝1.
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13．(2020·郑州模拟)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2))) B．(eq \r(2)，＋∞)
C．(1，eq \r(2)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞))
C 不妨联立y＝eq \f(b,a)x与y2＝x，消去y得eq \f(b2,a2)x2＝x，由x0>1，知eq \f(b2,a2)<1，即eq \f(c2－a2,a2)<1，故e2<2，又e>1，所以114．(2020·资阳模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为( )
A．16 B．32
C．48 D．64
B 由抛物线的几何性质可知：
|AC|＝eq \f(2p,sin2θ)，|BD|＝eq \f(2p,sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2))))，
∴S＝eq \f(1,2)|AC|×|BD|＝eq \f(8p2,sin22θ)≥8p2＝32，
据此可得，点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为32.
15．(2020·石家庄模拟)已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为eq \r(2)，则( )
A．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B．θ＝eq \f(π,2)
C．θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D．θ＝eq \f(3π,4)
B ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，∴c＝eq \r(2)a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，
∴xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝a2.∵A(a，0)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(x0－a，y0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－x0－a，y0)，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(x0－a)·(－x0－a)＋yeq \\al(2,0)＝a2－xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝0，∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，即θ＝eq \f(π,2).故选B.
16．(2020·郑州质检)已知椭圆C1：eq \f(x2,m＋2)－eq \f(y2,n)＝1与双曲线C2：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________．
解析 ∵椭圆C1：eq \f(x2,m＋2)－eq \f(y2,n)＝1，
∴aeq \\al(2,1)＝m＋2，beq \\al(2,1)＝－n，ceq \\al(2,1)＝m＋2＋n，
eeq \\al(2,1)＝eq \f(m＋2＋n,m＋2)＝1＋eq \f(n,m＋2).
∵双曲线C2：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，
∴aeq \\al(2,2)＝m，beq \\al(2,2)＝－n，ceq \\al(2,2)＝m－n，
∴由条件知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1，
∴eeq \\al(2,1)＝1－eq \f(1,m＋2).
由m>0得m＋2>2，eq \f(1,m＋2)－eq \f(1,2)，
∴1－eq \f(1,m＋2)>eq \f(1,2)，即eeq \\al(2,1)>eq \f(1,2)，而0答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))