课时过关检测（五十一） 抛物线

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1．(2021·包头青山区模拟)已知点P(2，y0)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．2 B．3
C．eq \r(3)D．eq \r(2)
解析：选B 因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离为3.
2．抛物线的顶点在坐标原点，开口向上，其准线经过双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1的一个顶点，则此抛物线的标准方程为( )
A．x2＝8yB．x2＝12y
C．y2＝8xD．y2＝12x
解析：选A 双曲线的下顶点为(0，－2)，据此结合题意可知：－eq \f(p,2)＝－2，所以p＝4，抛物线的方程为x2＝2py，即x2＝8y.故选A．
3．(2021·赣湘皖三省联考)设抛物线y2＝2px上的三个点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，y2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，y3))到该抛物线的焦点的距离分别为d1，d2，d3，若d1，d2，d3的最大值为3，则p的值为( )
A．eq \f(3,2)B．2
C．3D．eq \f(14,3)
解析：选C 因为点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，y1))在抛物线y2＝2px上，所以p>0，根据抛物线定义知d1＝eq \f(2,3)＋eq \f(p,2)，d2＝1＋eq \f(p,2)，d3＝eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)，∴d3>d2>d1，依题意得eq \f(3,2)＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝3，故选C．
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．eq \f(3\r(3),4)B．eq \f(9\r(3),8)
C．eq \f(63,32)D．eq \f(9,4)
解析：选D 法一：由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
故|yA－yB|＝eq \r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
法二：由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，
得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是( )
A．eq \f(65,64)B．eq \f(5,4)
C．eq \f(9,4)D．eq \f(9,8)
解析：选AB 若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，
由点A在抛物线上，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝a，
即a＝eq \f(1,16)，得y2＝eq \f(1,16)x，
由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，
所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋eq \f(1,64)＝1＋eq \f(1,64)＝eq \f(65,64)；
若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)，
由点A在抛物线上，得1＝eq \f(1,4)b，
即b＝4，得x2＝4y，
由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，
所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝eq \f(1,4)＋1＝eq \f(5,4).
6．(多选)已知抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))
B．若直线MN过点F，则x1x2＝－eq \f(1,16)
C．若eq \(MF,\s\up7(―→))＝λeq \(NF,\s\up7(―→))，则|MN|的最小值为eq \f(1,2)
D．若|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq \f(5,8)
解析：选BCD 易知点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，A项错误；根据抛物的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－eq \f(1,16)，B项正确；若eq \(MF,\s\up7(―→))＝λeq \(NF,\s\up7(―→))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq \f(1,2)，C项正确；抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq \f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，所以|PP′|＝eq \f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq \f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)＝eq \f(5,8)，D项正确．故选B、C、D.
7．在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1,2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))代入可求得p＝eq \f(5,2)，所以准线方程为y＝－eq \f(5,4).
答案：y＝－eq \f(5,4)
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.
解析：建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝eq \r(6)，故水面宽为2eq \r(6) m.
答案：2eq \r(6)
9．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,2p)))，则点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(p,2))).因为焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，△FPM是等边三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m2,2p)＋\f(p,2)＝4，,\a\vs4\al( \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋\f(p,2)))2＋m2))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＝12，,p＝2，))因此抛物线方程为x2＝4y.
答案：x2＝4y
10．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案：2
11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－eq \f(p,2)，
于是4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，
∴B(0,4)，M(0,2)．
又∵F(1,0)，∴kFA＝eq \f(4,3)，
∴FA的方程为y＝eq \f(4,3)(x－1)，①
∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq \f(3,4).
MN的方程为y－2＝－eq \f(3,4)x，②
联立①②，解得x＝eq \f(8,5)，y＝eq \f(4,5)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(4,5))).
12．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，直线的斜率为eq \r(3)，且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4B．eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \(FA,\s\up7(―→))
C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4
解析：选ABC 如图，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p.∵直线l的斜率为eq \r(3)，∴其倾斜角为60°.又∵AE∥x轴，∴∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，∴△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，∴∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，A选项正确．∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，又PF∥AE，∴F为AD的中点，∴eq \(DF,\s\up7(―→))＝eq \(FA,\s\up7(―→))，B选项正确．∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|，C选项正确．∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝eq \f(1,3)|DF|＝eq \f(1,3)|AF|＝eq \f(8,3)，D选项错误．故选A、B、C．
15．已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．
解：(1)由已知可得，|PN|＝|PM|，
即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,y2＝4x，))得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(4－2km,k2)，∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2－km,k2)，
y0＝kx0＋m＝eq \f(2,k)，即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)，\f(2,k)))，
∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，
∴|DE|2＝6，且DE⊥l2，
从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)－3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)))2＝6，kDE·k＝－1，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)－3＝－2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)))2＝6.))
整理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)))2＝2，即k＝±eq \r(2)，∴m＝0，
故直线l2的方程为eq \r(2)x－y＝0或eq \r(2)x＋y＝0.
C级——迁移创新
16．(2021·开封市模拟考试)已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x0，y0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＜x0＜\f(3,2))).
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)Q是以AB为直径的圆上一点，且eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(BQ,\s\up7(―→))＝0，求eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(PQ,\s\up7(―→))的最大值．
解：(1)设直线AP的斜率为k，则k＝eq \f(x\\al(2,0)－\f(1,4),x0＋\f(1,2))＝x0－eq \f(1,2)，
因为－eq \f(1,2)＜x0＜eq \f(3,2)，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)由题意可知，eq \(AP,\s\up7(―→))与eq \(AQ,\s\up7(―→))同向共线，BQ⊥AQ，
联立直线AP与BQ的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))
解得点Q的横坐标是xQ＝eq \f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).
因为|AP|＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))＝eq \r(1＋k2)(k＋1)，|PQ|＝eq \r(1＋k2)(xQ－x0)＝－eq \f(k－1k＋12,\r(k2＋1))，
所以eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(PQ,\s\up7(―→))＝|eq \(AP,\s\up7(―→))|·|eq \(PQ,\s\up7(―→))|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，
因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，
因此当k＝eq \f(1,2)时，eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(PQ,\s\up7(―→))取得最大值eq \f(27,16).