高考复习《抛物线的定义》课时作业9.7

这是一份高考复习《抛物线的定义》课时作业9.7，共9页。
1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq \f(k,x)(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
D 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，
由PF⊥x轴知，|PF|＝2，
所以P点的坐标为(1，2)．
代入曲线y＝eq \f(k,x)(k>0)得k＝2，故选D.
2．(2020·云南昆明一中摸底)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A∈l，线段AF交抛物线C于点B，若eq \(FA,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则|eq \(AF,\s\up6(→))|等于( )
A．3 B．4
C．6 D．7
B 由已知B为AF的三等分点，作BH⊥l于H，如图，则|BH|＝eq \f(2,3)|FK|＝eq \f(4,3)，∴|eq \(BF,\s\up6(→))|＝|eq \(BH,\s\up6(→))|＝eq \f(4,3)，
∴|eq \(AF,\s\up6(→))|＝3|eq \(BF,\s\up6(→))|＝4，故选B.
3．(2020·成都诊断)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝4x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
D 因为AB⊥x轴，且AB过焦点F，所以线段AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝eq \f(1,2)×2p×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)＋4))＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.
4．(2020·广东珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.eq \f(7π,12) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
B 由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3，2eq \r(3))，因此点A的坐标为(－1，2eq \r(3))，所以kAF＝eq \f(2\r(3)－0,－1－1)＝－eq \r(3)，所以直线AF的倾斜角等于eq \f(2π,3)，故选B.
5．(2020·汕头一模)过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线的斜率为1，则|AF|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A 设B(x1，y1)，因为y＝eq \f(1,2)x2，所以y′＝x，
所以y′|x＝x1＝x1＝1，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，
因为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，所以直线l的方程为y＝eq \f(1,2)，
故|AF|＝|BF|＝1.
6．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝eq \f(3,2)(O为坐标原点)，则eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(MF,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(7,4) B.eq \f(7,4) C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
A 不妨设M(m，eq \r(2pm))(m>0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，因为|MO|＝|MF|＝eq \f(3,2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋2pm＝\f(9,4)，,m＋\f(p,2)＝\f(3,2)，))解得m＝eq \f(1,2)，p＝2，所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，eq \(MF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\r(2)))，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(MF,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)－2＝－eq \f(7,4).故选A.
7．(2020·武汉调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B
由题意知eq \f(p,2)＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F′|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
8．(2020·河北六校模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________________．
解析 设满足题意的圆的圆心为M(xM，yM)．
根据题意可知圆心M在抛物线上．
又∵圆的面积为36π，
∴圆的半径为6，则|MF|＝xM＋eq \f(p,2)＝6，即xM＝6－eq \f(p,2)，
又由题意可知xM＝eq \f(p,4)，∴eq \f(p,4)＝6－eq \f(p,2)，解得p＝8.
∴抛物线方程为y2＝16x.
答案 y2＝16x
9．(2020·昆明诊断)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为________．
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，所以x1＋x2＋x3＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.
答案 3
10．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
解析 法一：由题意可知C的焦点坐标为(1，0)，所以过焦点(1，0)，斜率为k的直线方程为x＝eq \f(y,k)＋1，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1,k)＋1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,k)＋1，y2))，将直线方程与抛物线方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(y,k)＋1，,y2＝4x，))整理得y2－eq \f(4,k)y－4＝0，
从而得y1＋y2＝eq \f(4,k)，y1·y2＝－4.
∵M(－1，1)，∠AMB＝90°，∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1,k)＋2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,k)＋2))＋(y－1)(y2－1)＝0，即k2－4k＋4＝0，解得k＝2.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(yeq \\al(2,1)＝4x1，①,yeq \\al(2,2)＝4x2，②))
②－①得yeq \\al(2,2)－yeq \\al(2,1)＝4(x2－x1)，从而k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(4,y1＋y2).
设AB的中点为M′，连接MM′.∵直线AB过抛物线y2＝4x的焦点，
∴以线段AB为直径的⊙M′与准线l：x＝－1相切．
∵M(－1，1)，∠AMB＝90°，
∴点M在准线l：x＝－1上，同时在⊙M′上，
∴准线l是⊙M′的切线，切点为M，且M′M⊥l，
即MM′与x轴平行，
∴点M′的纵坐标为1，即eq \f(y1＋y2,2)＝1⇒y1＋y2＝2，
故k＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(4,2)＝2.
答案 2
11．(2020·郑州模拟)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋2|BF|的最小值是( )
A．2eq \r(2) B．6
C．3 D．2eq \r(2)＋3
D 由题意知y＝eq \f(2x,x－1)＝2＋eq \f(2,x－1)，所以曲线＝eq \f(2x,x－1)可由奇函数y＝eq \f(2,x)的图象平移得到，易得其对称中心为(1，2)，代入抛物线方程得4＝2p，得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，设直线l的方程为x＝my＋1，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1，,y2＝4x))得y2－4my－4＝0，设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,2),4)，y2))，则y1y2＝－4，由抛物线定义可知|AF|＋2|BF|＝eq \f(yeq \\al(2,1),4)＋1＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(yeq \\al(2,2),4)＋1))＝eq \f(yeq \\al(2,1),4)＋eq \f(yeq \\al(2,2),2)＋3≥2eq \r(\f(（y1y2）2,8))＋3＝2eq \r(2)＋3，当且仅当eq \f(yeq \\al(2,1),4)＝eq \f(yeq \\al(2,2),2)，即yeq \\al(2,1)＝2yeq \\al(2,2)时，等号成立，故选D.
14．(2020·安阳月考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为( )
A.eq \f(\r(3),3) B．1 C.eq \f(2\r(3),3) D．2
A 过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，
由题意知|MN|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)，
在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cs 120°
＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MN|,|AB|)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4)·eq \f(|AF|2|＋BF|2＋2|AF||BF|,|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(|AF||BF|,|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|)))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,\f(|AF|,|BF|)＋\f(|BF|,|AF|)＋1)))≤eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2＋1)))＝eq \f(1,3)，
当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，∴eq \f(|MN|,|AB|)的最大值为eq \f(\r(3),3).
15．(2018·河南安阳二模)已知抛物线C1：y＝ax2(a>0)的焦点F也是椭圆C2：eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，点M，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为________．
解析 将Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))代入到eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,b2)＝1中，可得eq \f(1,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，∴b＝eq \r(3)，∴c＝1，
∴抛物线的焦点F为(0，1)，
∴抛物线C1的方程为x2＝4y，准线为直线y＝－1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)＝2.
答案 2
16．焦点为F的抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当eq \f(|MA|,|MF|)取得最大值时，点M的横坐标为__________．
解析 根据题意，如图，过M做MP与准线垂足，垂足为P，
设∠AMP＝∠MAF＝θ，
则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(MA,MF)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(MA,MP)))＝eq \f(1,cs θ)，
若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(MA,MF)))取得最大值，必有cs θ取得最小值，则θ取得最大值，
此时AM与抛物线相切，
抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
A的坐标为(－1，0)，
设直线AM的方程为y＝k(x＋1)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝k（x＋1）))，
则有k2(x＋1)2＝4x，
即x2＋(2－eq \f(4,k2))x＋1＝0，
当Δ＝0时，直线AM与抛物线相切，x的值就是点M的横坐标，
此时x1x2＝1，且x1＝x2；
故x1＝x2＝1，即M的横坐标为1.
答案 1