2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第一章第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、基础知识批注——理解深一点

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．

①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；

②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；

③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.❷

❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.

(2)命题真值表：

命题真假的判断口诀

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.

2．全称量词与存在量词

3.全称命题与特称命题

4．全称命题与特称命题的否定

二、常用结论汇总——规律多一点

含逻辑联结词命题真假的等价关系

(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．

(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．

(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．

(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)

(2)命题p和綈p不可能都是真命题．(　　)

(3)若命题p，q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)

(4)若命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至多有一个是真命题．(　　)

(5)“长方形的对角线相等”是特称命题．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×

(二)选一选

1．命题∀x∈R，x2＋x≥0的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0　  　B．∃x0∈R，x＋x0<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0   D．∀x∈R，x2＋x<0

解析：选B　由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．

2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若>，则x<y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)

A．①③   B．①④

C．②③   D．②④

解析：选C　由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，故真命题为②③.

3．下列四个命题中的真命题为(　　)

A．∃x0∈Z,1<4x0<3   B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0   D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

解析：选D　选项A中，<x0<，与x0∈Z矛盾，不成立；选项B中，x0＝－，与x0∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确．

(三)填一填

4．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________________________________．

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

5．若命题p：不等式ax＋b>0的解集为，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}，则“p∧q”“p∨q”及“綈p”形式的复合命题中的真命题是________．

解析：由题知命题p为假命题，命题q为假命题，故只有“綈p”是真命题．

答案：綈p

 考点一　判断含有逻辑联结词命题的真假

[典例]　(1)(2017·山东高考)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q　　　　　　　　 B．p∧綈q

C．綈p∧q   D．綈p∧綈q

(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)

A．p∧(綈q)   B．(綈p)∧q

C．p∧q   D．(綈p)∨q

[解析]　(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．

(2)对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧        (綈q)为真命题，故选A.

[答案]　(1)B　(2)A

[解题技法]　判断含有逻辑联结词命题真假的步骤

[题组训练]

1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选B　充分性：若綈p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则綈p为假命题．所以“綈p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．

2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是(　　)

A．p∨(綈q)   B．p∨q

C．p∧q   D．(綈p)∧(綈q)

解析：选B　若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．

[典例]　(1)命题∀x∈R，ex－x－1≥0的否定是(　　)

A．∀x∈R，ex－x－1≤0　　

B．∀x∈R，ex－x－1≥0

C．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0 

D．∃x0∈R，ex0－x0－1<0

(2)对命题∃x0>0，x>2x0，下列说法正确的是(　　)

A．真命题，其否定是∃x0≤0，x≤2x0

B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2x

C．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2x

D．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x

[解析]　(1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.

(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.

[答案]　(1)D　(2)C

[解题技法]

1．全称命题与特称命题真假的判断方法

2.全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

[题组训练]

1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2

C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x

解析：选D　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x”．

2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．(綈p)∧q

C．p∧(綈q)   D．(綈p)∧(綈q)

解析：选C　当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.

 考点三　根据命题的真假求参数的取值范围

[典例]　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　依题意知p，q均为假命题，

当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.

因此由p，q均为假命题得即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

[变透练清]

1.若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当p是真命题时，有m<0；

当q是真命题时，有－2<m<2，

由可得－2<m<0.

所以m的取值范围为(－2,0)．

答案：(－2,0)

2.若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为假，p或q为真”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时所以m≤－2；

当p假q真时所以0≤m<2.

所以m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．

答案：(－∞，－2]∪[0,2)

3.若本例将条件q变为：存在x0∈R，x＋mx0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．

解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

所以m>2或m<－2.由得0≤m≤2，

所以m的取值范围为[0,2]．

答案：[0,2]

[解题技法]

根据命题的真假求参数的取值范围的步骤

(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；

(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；

(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．

1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，>0”的否定是(　　)

A．∃x0≥0，≤0　　　 　B．∃x0>0,0≤x0≤1

C．∀x>0，≤0   D．∀x<0,0≤x≤1

解析：选B　∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1，

∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．

2．下列命题中，假命题的是(　　)

A．∀x∈R,21－x>0

B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称

C．函数y＝xa的图象经过第四象限

D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切

解析：选C　对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，命题成立．

3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．(綈p)∧(綈q)

C．(綈p)∧q   D．p∧(綈q)

解析：选D　由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题．

4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是(　　)

A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件

B．命题p：∀x∈R,2x>0，则綈p：∃x0∈R,2x0<0

C．命题“若a>b>0，则<”的逆命题是真命题

D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件

解析：选A　对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是綈p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若<，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.

5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0＋1|≤x0，则(　　)

A．(綈p)∨q为真命题   B．p∧(綈q)为假命题

C．p∧q为真命题   D．p∨q为真命题

解析：选D　由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．

6．下列说法错误的是(　　)

A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”

B．若命题p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0

C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件

D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假

解析：选D　由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．

7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)   B．(0,4]

C．(－∞，4]   D．[0,4)

解析：选C　当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.

8．下列命题为假命题的是(　　)

A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0

B．“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件

C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立

D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β

解析：选C　对于A选项，令x＝1，y＝，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，选C.

9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．

解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．

答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1

10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则       x＝________.

解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，

由题意，得x＝－2.

答案：－2

11．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：由题意得綈p：a≥0，綈q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以綈p是綈q的必要不充分条件．

答案：必要不充分

12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：

①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨q.

其中为假命题的序号为________．

解析：显然命题p为真命题，綈p为假命题．

∵f(x)＝x2－x＝2－，

∴函数f(x)在区间上单调递增．

∴命题q为假命题，綈q为真命题．

∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨q为假命题．

答案：②③④

13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)， －x≤4t2－1.

(1)当t＝1时，判断命题q的真假；

(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．

解：(1)当t＝1时，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．

(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．

当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1<t<1；

当q为真命题时，max≤4t2－1，即4t2－1≥0，

解得t≤－或t≥，

∴当q为假命题时，－<t<，

∴t的取值范围是.