2020版高考数学（理）精优大一轮复习人教A通用版讲义：第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


1.简单的逻辑联结词
命题中的　　　　、　　　　、　　　　叫作逻辑联结词,分别表示为　　　　、　　　　、　　　　. 
2.全称量词与存在量词
(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作　　　　,用符号“　　　　”表示. 
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作　　　　,用符号“　　　　”表示. 
(3)含有一个量词的命题的否定:
全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是　. 
特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是　. 

常用结论
1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.
2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.
3.命题p∧q的否定是(?p)∨(?q);命题p∨q的否定是(?p)∧(?q).


题组一　常识题
1.[教材改编] 命题p:x∈R,x2+1≥0,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则p∨q是　　　　命题,p∧(?q)是　　　　命题,(?p)∨(?q)是　　　　命题,(?p)∧(?q)是　　　　命题.(以上各空填“真”或“假”) 
2.[教材改编] 命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　. 
3.[教材改编] 命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是　　　　　　　　　　　　　　　　. 
4.[教材改编] 在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论.
5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 
　　　　　. 
6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是　　　　.(填序号) 
①(?p)∨q;②p∧q;③(?p)∧(?q);④(?p)∨(?q).
7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为　　　　　　　　　. 
8.已知p:∀x∈R,ax2+4x+1>0,则?p:　　　　　　　　　　　.若p是假命题,则实数a的取值范围是　　　　. 

探究点一　含逻辑联结词的命题及其真假
例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(?p)∨(?q) B.p∨(?q)
C.p∨q D.(?p)∧(?q)
(2)[2018·福建三明5月质检] 已知函数f(x)=cos2x+.命题p:f(x)的图像关于点对称,命题q:f(x)在区间上为减函数,则 (　　)
A.p∧q为真命题 B.(?p)∧q为假命题
C.p∨q为真命题 D.(?p)∨q为假命题
 
 
[总结反思] 判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:
(1)判断复合命题的结构;
(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;
(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.
变式题 (1)[2018·太原三模] 设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称,则下列结论正确的是 (　　)
A.p为假命题 B.?q为假命题
C.p∨q为假命题 D.p∧q为假命题
(2)已知命题p:方程ex-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+1≤0有解,则p∧q,p∨q,(?p)∨q,p∧(?q)这四个命题中真命题的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
探究点二　全称命题与特称命题
例2 (1)命题p:对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>ex成立,则?p为 (　　)
A.对任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤ex成立
B.对任意x∈R,不存在m>1,使得mx>ex成立
C.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤成立
D.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0>成立
(2)[2018·大同质检] 下列说法正确的是(　　)
A.命题“∃x0∈R且x0≠1,<0”的否定是“∀x∈R,≥0”
B.∀x>0,ln(x+1)>0
C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数
D.∀x∈R,2x>x2
 
 
[总结反思] (1)全称命题与特称命题的否定:
①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.
②否定结论:对原命题的结论进行否定.
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法:
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
变式题 [2018·西安质检] 已知命题p:∃x0∈R,log2(+1)≤0,则 (　　)
A.p是假命题;?p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题;?p:∀x∈R,log2(3x+1)>0
C.p是真命题;?p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0
D.p是真命题;?p:∀x∈R,log2(3x+1)>0
探究点三　根据命题的真假求参数的取值范围
例3 (1)已知命题p:∃x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若?p是真命题,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.(0,1)
C.(1,e) D.(1,+∞)
(2)已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2) B.[-2,0)
C.(0,2) D.(-2,0)
 
 
 
[总结反思] 根据命题真假求参数的方法步骤:
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
变式题 (1)若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　. 
(2)设p:∃x0∈,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若?p为假命题,则t的取值范围为　　　　. 








第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
考试说明 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;
2.理解全称量词与存在量词的意义;
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.“且”　“或”　“非”　∧　∨　?
2.(1)全称量词　∀　(2)存在量词　∃　(3)∃x0∈M,?p(x0)　∀x∈M,?q(x)
对点演练
1.真　真　真　假　[解析] 命题p是真命题,当a=0时,函数图像是直线,所以命题q是假命题,所以?p是假命题,?q是真命题,所以p∨q是真命题,p∧(?q)是真命题,(?p)∨(?q)是真命题,(?p)∧(?q)是假命题.
2.∀x∈R,log2x+2≥0　[解析] 这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,再将结论否定,所以命题的否定是“∀x∈R,log2x+2≥0”.
3.有些表面积相等的三棱锥体积不相等　[解析] 命题为全称命题,即“所有表面积相等的三棱锥体积相等”,所以其否定是“有些表面积相等的三棱锥体积不相等”.
4.(?p)∨(?q)　[解析] ?p:甲没有试驾成功,?q:乙没有试驾成功,所以“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为(?p)∨(?q).
5.“存在一个奇数,它的立方不是奇数”　[解析] 利用全称命题的否定是特称命题即可得出.
6.④　[解析] 显然命题p为真命题,命题q为假命题,从而只有(?p)∨(?q)为真命题.
7.若ab≠0,则a≠0且b≠0
8.∃x0∈R,a+4x0+1≤0　(-∞,4]　[解析] 根据全称命题的否定为特称命题,得?p:∃x0∈R,a+4x0+1≤0.若p为假命题,则?p是真命题,所以a≤0或解得a≤0或0 【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)两位运动员都没有击中目标,即甲、乙都没有击中目标;(2)由题意首先确定命题p和q的真假,然后逐一判断所给选项的真假即可求得最终结果.
(1)D　(2)C　[解析] (1)由题意可得,命题?p:甲没有击中目标,?q:乙没有击中目标,
所以两位运动员都没有击中目标可表示为(?p)∧(?q).
故选D.
(2)结合函数的解析式可得f=cos=cos≠0,
则f(x)的图像不关于点对称,命题p是假命题,则?p是真命题.
x∈,则2x+∈,故函数f(x)在区间上为减函数,命题q是真命题.
故p∧q为假命题,(?p)∧q为真命题,p∨q为真命题,(?p)∨q为真命题,故选C.
变式题　(1)D　(2)B　[解析] (1)易知命题p是真命题,命题q是假命题,所以p∧q是假命题,故选D.
(2)∵e0-1=0,∴x=0是方程ex-1=0的根,故命题p为真命题.∵x2-x+1=+>0恒成立,所以命题q为假命题.根据复合命题真假性的判断可得,p∧q为假,p∨q为真,(?p)∨q为假,p∧(?q)为真,即真命题的个数为2,故选B.
例2　[思路点拨] (1)直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可;(2)逐一判断,如不正确可以举一反例.
(1)C　(2)B　[解析] (1)∵全称命题的否定是特称命题,
∴命题“对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>ex成立”的否定是“存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤成立”.
故选C.
(2)命题“∃x0∈R且x0≠1,<0”的否定是“∀x∈R且x≠1,≥0”,所以A错;
当x>0时,x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以B正确;
当φ=时,f(x)=cos 2x为偶函数,所以C错;
当x=-2时,2x>x2不成立,所以D错.
变式题　B　[解析] 因为3x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,所以命题p是假命题.?p:∀x∈R,log2(3x+1)>0,所以选B.
例3　[思路点拨] (1)若?p是真命题,则p是假命题,求出a的取值范围即可;(2)据p∧q为真得到p,q全真,利用不等式的性质及不等式恒成立得到m的取值范围.
(1)D　(2)D　[解析] (1)若?p是真命题,则p是假命题,即ln x-a<0在[1,e]上恒成立,即a>ln x在[1,e]上恒成立,∴a>1.
(2)∵p∧q为真命题,∴p,q全真.
若p真,则m<0;若q真,则m2-4<0,解得-2 ∴m的取值范围为(-2,0).
变式题　(1)(2,+∞)　(2)t>-　[解析] (1)由题意得,命题“∃x0∈(0,+∞),x0+ ∵x∈(0,+∞)时,x+≥2,
∴m∈(2,+∞).
(2)若?p为假命题,则p为真命题.因此不等式tx2+2x-2>0有属于的解,即t>-有属于的解,
又1-.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查含有逻辑联结词的命题的真假的判断;例2考查对含有量词的命题的否定;例3是根据命题的真假求参数的取值范围问题.
例1　[配合例1使用] [2018·威海二模] 已知命题p:∀a>b,|a|>|b|,命题q:∃x0<0,>0,则下列为真命题的是 (　　)
A.p∧q B.(?p)∧(?q)
C.p∨q D.p∨(?q)
[解析] C　对于命题p,当a=0,b=-1时,0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命题p是假命题.
对于命题q,如x0=-1,2-1=>0,所以命题q是真命题.所以p∨q为真命题.故答案为C.
例2　[配合例2使用] [2018·咸阳一模] 已知命题p:存在x0∈[1,+∞),使得(log23>1,则下列说法正确的是 (　　)
A.?p:对任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1
B.?p:不存在x0∈[1,+∞),使得(log23<1
C.?p:对任意x∈[1,+∞),都有(log23)x≤1
D.?p:对任意x∈(-∞,1),都有(log23)x≤1
[解析] C　根据全称命题与特称命题的关系,可得命题?p:对任意x∈[1,+∞),都有(log23)x≤1,故选C.
例3　[配合例3使用] 已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点,命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且?q为真命题,则实数a的取值范围是　　　　. 
[答案] (1,2]
[解析] 命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点,若p为真命题,
则f(0)f(1)=-(2a-2)<0,解得a>1.
命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数,若q为真命题,则2-a<0,解得a>2.
∵p且?q为真命题,∴p与?q都为真命题,
∴∴1 则实数a的取值范围是(1,2].