2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第三章第一节　导数的概念及运算

第三章  导数及其应用

第一节　导数的概念及运算

突破点一　导数的运算

1．导数的概念

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．

2．基本初等函数的导数公式

3.导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)f′(x0)与(f(x0))′的计算结果相同．(　　)

(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)

(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

二、填空题

1．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．

答案：－xsin x

2．已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.

解析：∵f′(x)＝－8＋4x，

∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.

答案：3

3．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．

解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，

∴f′＝－f′×＋，

得f′＝－1.

∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.

∴f＝1.

答案：1

1．已知函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝(　　)

A.　　　　　　　 B.

C．1＋x  D．1－x

解析：选B　函数f(x)＝，则其导函数f′(x)＝＝，故选B.

2．(2019·枣庄三中质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)

A．－e  B．1

C．－1  D．e

解析：选C　由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选C.

3．函数f(x)＝xsincos，则其导函数f′(x)＝________.

解析：∵f(x)＝xsincos＝xsin(4x＋π)

＝－xsin 4x，∴f′(x)＝－sin 4x－x·4cos 4x

＝－sin 4x－2xcos 4x.

答案：－sin 4x－2xcos 4x

导数运算的常见形式及其求解方法

1．设f(x)＝x(2 019＋ln x)，若f′(x0)＝2 020，则x0等于(　　)

A．e2  B．1

C．ln 2  D．e

解析：选B　f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由f′(x0)＝2 020，得2 020＋ln x0＝2 020，则ln x0＝0，解得x0＝1.

2．(2019·长沙长郡中学一模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)

A．26  B．29

C．212  D．215

解析：     选C　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.

突破点二　导数的几何意义

函数f(x)在点x0处    的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(　　)

(2)求曲线过点P的切线时P点一定是切点．(　　)

答案：(1)√　(2)×

二、填空题

1．已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.

解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.

答案：4

2．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．

解析：∵y′＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴所求三角形的面积S＝×1×＝＝log2e.

答案：log2e

3．设函数f(x)＝g＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y－1＝0，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．

解析：由已知得g′(1)＝－9，g(1)＝－8，

又f′(x)＝g′＋2x，

∴f′(2)＝g′(1)＋4＝－＋4＝－，f(2)＝g(1)＋4＝－4，

∴所求切线方程为y＋4＝－(x－2)，即x＋2y＋6＝0.

答案：x＋2y＋6＝0

考法一　求切线方程　

“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．

[例1]　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，

∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，

∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.

(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，

∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，

∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，

又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，

∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，

整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，

解得x0＝2或x0＝1，

∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.

[方法技巧]

求切线方程问题的2种类型及方法

(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：

①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；

②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．　　

考法二　求切点坐标　

[例2]　(2019·柳州一模)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．－1

C．2  D．e－1

[解析]　设切点为(x0，e2x0－1)，∵f′(x)＝2e2x－1，∴2e2x0－1＝，化简得2x0－1＝e2－2x0.令y＝2x－1－e2－2x，则y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.

[答案]　A

[方法技巧]

求切点坐标的思路

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．　　

考法三　求参数值或范围　

[例3]　(1)已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为(　　)

A．－1  B．1

C．3  D．－3

(2)(2019·乐山调研)已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．(3，＋∞)

C.  D．(0,3)

[解析]　(1)由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，

所以f(1)＝1，即aln 1＋b×12＝1，解得b＝1，

所以f(x)＝aln x＋x2，

故f′(x)＝＋2x.

则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，

因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，

所以a＋2＝－1，即a＝－3.

(2)由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，

则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，

令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，

则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，

即a－3>0且4－8(a－3)>0，

解得3<a<.故选A.

[答案]　(1)D　(2)A

[方法技巧]

利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．

[提醒]　(1)注意曲线上横坐标的取值范围；

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．　　

1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x  B．y＝－x

C．y＝2x  D．y＝x

解析：选D　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，

∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.

又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，

即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，

∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，

∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

2.曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)

A．(1,3)  B．(－1,3)

C．(1,3)和(－1,3)  D．(1，－3)

解析：选C　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，

∴P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C.

3.设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1,2]  B．[3，＋∞)

C.  D.

解析：选D　f′(x)＝－ex－1，∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．又g′(x)＝3a－2sin x，      ∵－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a,2＋3a]，要使曲线f(x)上任意一点的切线l1，总存在曲线g(x)上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则解得－≤a≤.故选D.

4.(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.

解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，

∴a＋1＝－2，解得a＝－3.

答案：－3