2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第七章第五节　空间向量及其运算和空间位置关系

第五节　空间向量及其运算和空间位置关系

突破点一　空间向量及其运算

1．空间向量及其有关概念

(1)空间向量的有关概念

(2)空间向量中的有关定理

2.两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

3．空间向量的运算及其坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)

(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　)

(3)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)

(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)

(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)

(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×

二、填空题

1．如图，已知空间四边形ABCD，则＋＋等于________．

答案：

2．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为________．

答案：1

3．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.

答案：3　2

4．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.

答案：7

考法一　空间向量的线性运算　

[例1]　已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：

(1)＝＋x＋y；

(2)＝x＋y＋.

[解]　(1)如图，∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.

(2)∵＋＝2，

∴＝2－.

又∵＋＝2，∴＝2－.

从而有＝2－(2－)＝2－2＋.

∴x＝2，y＝－2.

[方法技巧]

用已知向量表示某一向量的3个关键点

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．　　

考法二　共线、共面向量定理的应用　

[例2]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：

(1)E，F，G，H四点共面；

(2)BD∥平面EFGH.

[证明]　(1)如图，连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，

由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．

(2)因为＝－＝－＝(－)＝，

因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

[方法技巧]

1．证明空间三点P，A，B共线的方法

(1)＝λ(λ∈R)；

(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；

(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．

2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法

(1)＝x＋y；

(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；

(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；

(4) ∥ (或∥或∥)．　　

考法三　空间向量数量积的应用　

[例3]　如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点．若正方体的棱长为1.求cos〈，〉．

[解]　∵||＝＝＝＝||，

∴·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉．

又∵＝＋，＝＋，

∴·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·＝||||＝1×＝.

∴cos〈，〉＝.

[方法技巧]　　空间向量数量积的3个应用

1.已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　)

A.(b＋c－a)　　　　　 B.(a＋b＋c)

C.(a－b＋c)   D.(c－a－b)

解析：选D　＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋＝－－＋＝(c－a－b)．

2.O为空间任意一点，若＝＋＋， 则A，B，C，P四点(　　)

A．一定不共面   B．一定共面

C．不一定共面   D．无法判断

解析：选B　因为＝＋＋，且＋＋＝1.所以P，A，B，C 四点共面．

3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且  ∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．

解析：设＝a，＝b，＝c，

由已知条件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，

且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b

＝|a||c|－|a||b|＝0，

∴⊥，∴cos〈，〉＝0.

答案：0

突破点二　利用空间向量证明平行与垂直

1．两个重要向量

2．空间中平行、垂直关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　)

(2)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是

n0=±.(　　)

(3)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．(　　)

(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、填空题

1．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.

答案：－14　6

2．若平面α的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.

答案：－3

3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－3,0，－6)，则l与α的位置关系是________．

答案：l⊥α

考法一　向量法证明平行与垂直关系　

[例1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.

(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD.

证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，

设DC＝a.

(1)连接AC交BD于G，连接EG.

依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.

∵底面ABCD是正方形，

∴G是此正方形的中心．

故点G的坐标为，

且＝(a,0，－a)，＝，

∴＝2，∴PA∥EG.

又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，

∴PA∥平面EDB.

(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，

故·＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，

又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E，

∴PB⊥平面EFD.

[方法技巧]

1．利用空间向量证明平行的方法

2.利用空间向量证明垂直的方法

[提醒]　运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．

[针对训练]

已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：

(1)FC1∥平面ADE；

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

证明：建立空间直角坐标系如图，

则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，

所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．

(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，

则即得

令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．

因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n，

又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.

(2)∵＝(2,0,0)，

设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，

由得得

令z2＝2，得y2＝－1，

所以n2 ＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，

所以平面ADE∥平面B1C1F.

考法二　向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题

[例2]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

[解]　依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，

则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，＝(－1,0,1)，＝.

设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，

则由得

所以x＝z，y＝z.

取z＝2，得n＝(2,1,2)．

设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，

所以＝(t－1,1,0)．

而B1F⊄平面A1BE，

于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.

[方法技巧]

向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路

(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．

(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．　　

[针对训练]

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则在线段CC1上是否存在一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE？证明你的结论．

解：存在点P，当点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.证明如下：

如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，P(0,1，a)(0≤a≤1)，

则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，

∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，

＝，＝(0,1,1)．

设平面A1B1P的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，

则∴

令z1＝1，则x1＝a－1，

∴n1＝(a－1,0,1)．

设平面C1DE的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，

则∴

令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，

∴n2＝(－2,1，－1)．

若平面A1B1P⊥平面C1DE，

则n1·n2＝0，∴－2(a－1)－1＝0，解得a＝.

∴当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.