2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第三章第二节　第1课时　必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

第二节　导数在研究函数中的应用

第1课时　必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

1.函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间上是单调递增．

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间上是单调递减．

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数．

2．利用导数判断函数单调性的一般步骤

(1)求f′(x)．

(2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.

(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．

[提醒]　(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．

(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．

1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上f(x)是增函数

D．当x＝2时，f(x)取到极小值

答案：C

2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)

答案：C

3.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为(　　)

A．(－∞，－1)和(0,1)　　　   B．[－1,0]和[1，＋∞)

C．[－1,1]         D．(－∞，－1]和[1，＋∞)

答案：A

4.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是(　　)

A.        B.

C.        D.

解析：选C　y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.

5．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2]          B．(－∞，－1]

C．[2，＋∞)          D．[1，＋∞)

解析：选D　因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.

6．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．

解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.

答案：(0，＋∞)

1.函数的极大值

在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．

2．函数的极小值

在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

[提醒]　(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．

(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．

(3)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

1.设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)

A．x＝为f(x)的极大值点

B．x＝为f(x)的极小值点

C．x＝2为f(x)的极大值点

D．x＝2为f(x)的极小值点

答案：D

2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选A　由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．

3.若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.

4.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2，当x＝－1时有极值0，则a＋b的值为________．

解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由题意得即解之，得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)在x＝－1处无极值，舍去．所以a＝2，b＝9.所以a＋b＝11.

答案：11

5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2.所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6.

答案：(2,6)

6．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．

解析：因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2<x<1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在      (－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.

答案：－1

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

[提醒]　求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．

1.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)

A．1－e  B．－1

C．－e  D．0

解析：选B　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.

2.函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)(　　)

A．有最大值，无最小值  B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，有最小值  D．既无最大值，也无最小值

解析：选D　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.

3.函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________．

答案：＋

4.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．

答案：(－4，－2)

5．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．

解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1(e－x>0)，f(1)＝>0，f(0)＝0，f(4)＝>0，所以f(x)的最小值为0.

答案：0

6．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．

解析：f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)

＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．

∵cos x＋1≥0，∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

∴当cos x＝，f(x)有最小值．

又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，

∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，

即f(x)min＝2××＝－.

答案：－