2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第六章第一节　数列的概念与简单表示

第六章  数列

第一节　数列的概念与简单表示

突破点一　数列的通项公式

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．

2．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．数列的递推公式

如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．

4．Sn与an的关系

已知数列{an}的前n项和为Sn，则an＝这个关系式对任意数列均成立．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(　　)

(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．(　　)

(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

二、填空题

1．数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a5的值为________．

解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝a1－1＝1－1＝0，a3＝a2－1＝0－1＝－1，a4＝a3－1＝－－1＝－，a5＝a4－1＝－－1＝－.

答案：－

2．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值为________．

解析：困为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.

答案：9

3．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．

解析：an＝＝＝－，

∵－3＝－，∴－3是该数列的第9项．

答案：9

4．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是____________．

答案：an＝

考法一　利用an与Sn的关系求通项　

数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．

[例1]　(1)(2019·化州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为____________．

(2)(2019·广州测试)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an，Sn，a成等差数列，则an＝____________.

[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，

所以数列{an}的通项公式为an＝

(2)∵an，Sn，a成等差数列，∴2Sn＝an＋a.

当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a.

又a1>0，∴a1＝1.

当n≥2时，2an＝2(Sn－Sn－1)＝an＋a－an－1－a，

∴(a－a)－(an＋an－1)＝0.

∴(an＋an－1)(an－an－1)－(an＋an－1)＝0，

∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，

∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，

∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，

∴an＝n(n∈N*)．

[答案]　(1)an＝　(2)n

[方法技巧]

已知Sn求an的3个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　

考法二　利用递推关系求通项　

[例2]　(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，求数列{an}的通项公式．

(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

(3)在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

(4)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)因为an＋1－an＝3n＋2，

所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，

所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．

当n＝1时，a1＝2＝×(3×1＋1)，符合上式，

所以an＝n2＋.

(2)因为an＝an－1(n≥2)，

所以an－1＝an－2，…，a2＝a1.

由累乘法可得an＝a1···…·＝＝(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝.

(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.

(4)∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，

∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，

∴是以1为首项，为公差的等差数列．

∴＝＋(n－1)×＝＋，

∴an＝(n∈N*)．

[方法技巧]　典型的递推数列及处理方法

1.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 019＝(　　)

A．2 018　　　　　　　 B．2 019

C．4 036  D．4 038

解析：选B　由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，

∴＝＝…＝＝1，∴an＝n.则a2 019＝2 019.故选B.

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)

A．2n－1  B．n－1

C.n－1  D．n－1

解析：选B　Sn＝2an＋1＝2Sn＋1－2Sn⇒3Sn＝2Sn＋1⇒＝，故数列{Sn}为等比数列，公比是，又S1＝1，所以Sn＝1×n－1＝n－1.故选B.

3.已知在数列{an}中，an＋1＝an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝____________.

解析：由an＋1＝an，得＝，故＝，＝，…，＝(n≥2)，以上式子累乘得，＝··…···＝.因为a1＝4，所以an＝(n≥2)．因为a1＝4满足上式，所以an＝.

答案：

4.已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝____________.

解析：由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，

以上式子累加得，an－a1＝2＋3＋…＋n.

因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝(n≥2)．

因为a1＝2满足上式，

所以an＝.

答案：

突破点二　数列的性质

数列的分类

1．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是________(填递增或递减)．

答案：递增

2．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是________．

答案：0

3．已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)n，则当an取得最大值时，n等于________．

答案：5或6

考法一　数列的单调性　

[例1]　已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　)

A.　　　　　　　　 B．

C.  D．

[解析]　法一：(作差比较法)

an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，

当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；

当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.

所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.

法二：(作商比较法)

＝＝，

令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2.

又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，

所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.故选A.

[答案]　A

[方法技巧]

求数列最大项或最小项的方法

(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．

(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．

(3)比较法：

①若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0或an>0时，>1，则an＋1>an，即数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；

②若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0或an>0时，<1，则an＋1<an，即数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　　

考法二　数列的周期性　

数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时，通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期，然后再解决相应的问题．

[例2]　(2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018＝________.

[解析]　由题意可知an＋1＝an＋an＋2，a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，∴a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，∴an＋6＝an，即数列{an}是以6为周期的数列，又a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，∴S2 018＝336(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋(a1＋a2)＝    4 017.

[答案]　4 017

[方法技巧]

周期数列的常见形式与解题方法

(1)周期数列的常见形式

①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数；

②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差；

③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列．

(2)解决此类题目的一般方法

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．　　

1.若数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2 019＝(　　)

A．1  B．－2

C．3  D．－3

解析：选A　因为an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2，所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an，所以{an}是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A.

2.已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．

解析：因为an＝，所以数列{an}的最小项必为an<0，即<0,3n－16<0，从而n<.又n∈N*，所以当n＝5时，an的值最小．

答案：5