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2020年高考数学理科一轮复习讲义:第6章不等式第1讲
展开第六章 不等式第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据,掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法:作差法与作商法.(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数,一元二次方程之间的联系,能解一元二次不等式.(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点内容,但一般不会单独命题.预测2020年将会考查:利用不等式的性质判断结论的成立性,求参数的取值范围;一元二次不等式的解法,对含参数的二次不等式的分类讨论等.命题时常将不等式与函数的单调性相结合.试题一般以客观题的形式呈现,属中、低档题型. 1.两个实数比较大小的依据 2.不等式的基本性质 3.必记结论(1)a>b,ab>0⇒<.(2)a<0<b⇒<.(3)a>b>0,0<c<d⇒>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(5)若a>b>0,m>0,则<;>(b-m>0);>;<(b-m>0).4.一元二次函数的三种形式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:y=a2+(a≠0).(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).5.三个二次之间的关系1.概念辨析(1)a>b⇔ac2>bc2.( )(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于( )A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0) D.(-1,0]答案 B解析 因为M={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N=[0,4).(2)已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中一定成立的是( )A.ab>ac B.c(b-a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)>0答案 A解析 因为c<b<a,且ac<0,所以a>0,c<0.b的符号不确定,b-a<0,a-c>0,据此判断A成立,B,C,D不一定成立.(3)设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有( )A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N答案 A解析 M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,故M>N.(4)已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)≤0,则实数a的取值范围是________.答案 [-4,0]解析 当a=0时,f(x)=-1≤0成立,当a≠0时,若对∀x∈R,f(x)≤0,须有解得-4≤a<0.综上知,实数a的取值范围是[-4,0]. 题型 不等式性质的应用1.若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.> B.< C.> D.<答案 D解析 解法一:⇒⇒>⇒<.故选D.解法二:依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证得A,B,C均错误,只有D正确.故选D.2.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则与的大小关系为________.答案 <解析 当q=1时,=3,=5,所以<.当q>0且q≠1时,-=-==<0,所以<.综上可知<.3.已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.解 由题意知f(x)=ax2+bx,则f(-2)=4a-2b,由f(-1)=a-b,f(1)=a+b,设存在实数x,y,使得4a-2b=x(a+b)+y(a-b),即4a-2b=(x+y)a+(x-y)b,所以解得所以f(-2)=4a-2b=(a+b)+3(a-b).又3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,所以6≤(a+b)+3(a-b)≤10,即f(-2)的取值范围是[6,10]. 1.判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断.2.比较两个数(式)大小的两种方法3.求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.如举例说明3. 1.若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是( )A.①④ B.②③ C.①③ D.②④答案 C解析 因为<<0,所以b<a<0,|b|>|a|,所以|a|+b<0,ln a2<ln b2,由a>b,->-可推出a->b-,显然有<0<,综上知,①③正确,②④错误.2.若a>0,且a≠7,则( )A.77aa<7aa7B.77aa=7aa7C.77aa>7aa7D.77aa与7aa7的大小不确定答案 C解析 显然77aa>0,7aa7>0,因为=7·a=7·-a=7-a.当a>7时,0<<1,7-a<0,7-a>1,当0<a<7时,>1,7-a>0,7-a>1.综上知77aa>7aa7.3.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是________.答案 (-3,3)解析 ∵-4<β<2,∴0≤|β|<4,∴-4<-|β|≤0.∴-3<α-|β|<3.题型 不等式的解法1.函数f(x)=的定义域是( )A.(-∞,1)∪(3,+∞) B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意得即解得1<x<3且x≠2,所以函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).2.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).解 本题采用分类讨论思想.原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;当<-1,即0>a>-2,解得≤x≤-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为{x;当-2<a<0时,不等式的解集为{x;当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为{x.条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax2-(a+1)x+1<0,a∈R”,如何解答?解 若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.若a<0,则原不等式等价于(x-1)>0,解得x<或x>1.若a>0,原不等式等价于(x-1)<0.①当a=1时,=1,(x-1)<0无解;②当a>1时,<1,解(x-1)<0得<x<1;③当0<a<1时,>1,解(x-1)<0得1<x<.综上所述,当a<0时,解集为{x;当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x;当a=1时,解集为∅;当a>1时,解集为{x.1.解一元二次不等式的四个步骤2.分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解.(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);如巩固迁移2.(2)≥0(≤0)⇔3.解含参数的一元二次不等式的一般步骤 1.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )A. B. C. D.答案 A解析 由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2.故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,得a=,故选A.2.不等式≥-1的解集为________.答案 {x解析 将原不等式移项通分得≥0,等价于解得x≤或x>5.∴原不等式的解集为{x.题型 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1.(1)若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;(2)若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,求实数a的取值范围.解 (1)设f(x)=x2-ax-a,则关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(-∞,+∞)⇔f(x)>0在(-∞,+∞)上恒成立⇔f(x)min>0,即f(x)min=->0,解得-4<a<0(或用Δ<0).(2)设f(x)=x2-ax-a,则关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集⇔f(x)≤-3在(-∞,+∞)上能成立⇔f(x)min≤-3,即f(x)min=-≤-3,解得a≤-6或a≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2.(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.(2)设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.答案 (1) (2)见解析解析 (1)要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需即解得-<m<0.(2)要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法:解法一:令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3),即7m-6<0,所以m<,所以0<m<;当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1),即m-6<0,所以m<6,所以m<0.综上所述,m的取值范围是{m.解法二:因为x2-x+1=2+>0,又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<.因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可.所以m的取值范围是{m.角度3 给定参数范围的恒成立问题3.已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为( )A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)>0对于任意的a∈[-1,1]恒成立,所以f(-1)=x2-5x+6>0,且f(1)=x2-3x+2>0即可,解不等式组得x<1或x>3.故选C.形如f(x)≥0(f(x)≤0)恒成立问题的求解思路(1)x∈R的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.(2)x∈[a,b]的不等式确定参数范围时,①根据函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求参数的范围;②数形结合,利用二次函数在端点a,b处的取值特点确定不等式求范围.如举例说明2.(3)已知参数m∈[a,b]的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.如举例说明3. 1.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是________.答案 解析 由Δ=a2+8>0,知方程x2+ax-2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x2+ax-2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为.2.函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.解 (1)∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,∴实数a的取值范围是[-6,2].(2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图1,当g(x)的图象恒在x轴上方且满足条件时,有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.②如图2,g(x)的图象与x轴有交点,但当x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,即即可得解得a∈∅.③如图3,g(x)的图象与x轴有交点,但当x∈(-∞,2]时,g(x)≥0.即即可得∴-7≤a≤-6.综上,实数a的取值范围是[-7,2].(3)令h(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.只需即解得x≤-3-或x≥-3+.∴实数x的取值范围是(-∞,-3-]∪[-3+,+∞).