2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第1讲

第八章　平面解析几何

第1讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

1．直线的斜率

(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．

(2)斜率公式

给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.

2．直线方程的五种形式

1．概念辨析

(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(　　)

(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)

(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．小题热身

(1)已知直线l过点(0,0)和(3,1)，则直线l的斜率为(　　)

A．3 B．

C．－ D．－3

答案　B

解析　直线l的斜率为k＝＝.

(2)在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)

A. B．

C． D．

答案　D

解析　直线x＋y－3＝0的斜率为－，所以倾斜角为.

(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

答案　A

解析　由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.

(4)已知直线l的斜率为k(k≠0)，它在x轴，y轴上的截距分别为k,2k，则直线l的方程为(　　)

A．2x－y－4＝0 B．2x－y＋4＝0

C．2x＋y－4＝0 D．2x＋y＋4＝0

答案　D

解析　由题意得，直线l的截距式方程为＋＝1，又因为直线l过(k,0)，(0,2k)两点，所以＝k，解得k＝－2，所以直线l的方程为＋＝1，即2x＋y＋4＝0.

题型 　直线的倾斜角与斜率

1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)

A．[0，π) B．∪

C. D．∪

答案　B

解析　设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π.

2．(2018·安阳模拟)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)

A．1±或0 B．或0

C. D．或0

答案　A

解析　若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即＝，

整理得a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.

3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)

解析　如图，∵kAP＝＝1，

kBP＝＝－，

∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．

1．直线的倾斜角与其斜率的关系

2．倾斜角变化时斜率的变化规律

根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：

(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；

(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.

3．三点共线问题

若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设直线l的倾斜角为α，且≤α≤，则直线l的斜率k的取值范围是________．

答案　∪[1，＋∞)

解析　当≤α<时，k＝tanα∈[1，＋∞)；当<α≤时，k＝tanα∈，

所以斜率k的取值范围是∪[1，＋∞)．

2．(2018·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A. B．－

C．－ D．

答案　B

解析　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有

解得

从而可知直线l的斜率为＝－.

题型 　直线方程的求法

1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．

答案　x＋13y＋5＝0

解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.

2．(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．

解　(1)设所求直线的斜率为k，

依题意k＝－4×＝－.

又直线经过点A(1,3)，

因此所求直线方程为y－3＝－(x－1)，

即4x＋3y－13＝0.

(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

条件探究　把举例说明2(1)中所求直线绕点A(1,3)，顺时针旋转45°，求所得直线的方程．

解　设举例说明2(1)中所求直线的倾斜角为α，

则由举例说明2(1)解析知tanα＝－，

所以90°<α<180°，

此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°，所得直线的倾斜角为α－45°，

斜率k′＝tan(α－45°)＝＝＝7，

点斜式方程为y－3＝7(x－1)，

整理得7x－y－4＝0.

给定条件求直线方程的思路

(1)求直线方程常用的两种方法

①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．

②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．

(2)设直线方程的常用技巧

①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.

②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.

③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)

A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)

C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)

答案　D

解析　因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.

2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.

解　(1)由题意知，直线l存在斜率．

设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，

它在x轴、y轴上的截距分别为－－3,3k＋4，

由已知，得(3k＋4)＝±6，

解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，则它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

题型 　直线方程的综合应用

角度1　由直线方程求参数问题

1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)

A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)

答案　C

解析　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．

角度2　与直线方程有关的最值问题

2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

解　(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令解得

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围为[0，＋∞)．

(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，

得A，B(0,1＋2k)．

依题意得解得k＞0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|

＝·＝

≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．

(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是(　　)

A．m≠－ B．m≠0

C．m≠0且m≠1 D．m≠1

答案　D

解析　由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．

2．过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

解　设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，

当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1，a>0，b>0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.