2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：第一章第一节　集合

第一章 集合与常用逻辑用语
第一节　集合
[考纲要求]
1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．　　　
突破点一　集合的概念与集合间的基本关系


1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
表示
关系　　
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(　　)
(3)∅∈{0}．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
二、填空题
1．已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝________.
解析：将x＝－2，－1,0,1分别代入y＝|x|中，得到y＝2,1,0，故Q＝{2,1,0}．
答案：{2,1,0}
2．已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为________．
解析：由题意，知满足题中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个．
答案：3
3．设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 019＋y2 020＝________.
解析：因为M＝N，所以或由集合中元素的互异性，可知x≠1，解得所以x2 019＋y2 020＝－1.
答案：－1
4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的值是________．
解析：因为集合A有且只有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，A＝{0}符合题意；②当a≠0时，要满足题意，需有Δ＝4－4a2＝0，即a＝±1.综上所述，a＝0或a＝±1.
答案：0或±1


1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)
A．a∈M，b∈P　　　　　　 B．a∈P，b∈M
C．a∈M，b∈M D．a∈P，b∈P
解析：选A　设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，故选A.
2．(2019·广州模拟)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选A　依题意知a≠0，则{0，－a}＝{0,1}，所以a＝－1.故选A.
3．(2019·湖南长郡中学选拔考试)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C　由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0,1}，{0，－1,1}，即符合条件的集合C共有4个．

1．与集合概念有关问题的求解策略
(1)确定构成集合的元素是什么，即确定性．
(2)看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质．
(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2．判断集合间关系的常用方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集)，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系
3.集合的子集、真子集的个数
含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．

1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.
2．(2019·贵阳高三检测)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则(　　)
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
解析：选B　依题意得Q＝{x|－1 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．
解析：∵B⊆A，∴①若B＝∅，则2m－1 解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．
答案：(－∞，3]
突破点二　集合的基本运算


1．集合的三种基本运算

符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集
A∩B

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
2.集合基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.
(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(　　)
(2)若集合A＝，则∁RA＝.(　　)
(3)设集合U＝{x|－3 答案：(1)√　(2)×　(3)√
二、填空题
1．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝____________.
答案：{1,8}
2．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁RB)＝____________.
解析：因为B＝{x|x<－1}，则∁RB＝{x|x≥－1}，所以A∩(∁RB)＝{x|－2≤x<3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x<3}．
答案：{x|－1≤x<3}
3．(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.
解析：由题意，知A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．
答案：{3}
4．(2019·淮南二中调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x 解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a>3.
答案：(3，＋∞)


1．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|－x2＋4x≥0}，B＝，C＝{x|x＝2n，n∈N}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{2,4}　　　　　　　 B．{0,2}
C．{0,2,4} D．{0,4}
解析：选C　集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|－4 2.(2019·太原阶段性测评)设集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{1} B．{0}
C．{－1,0} D．{－1,0,1}
解析：选B　由题意得图中阴影部分表示的集合为A∩(∁RB)．∵B＝{x|y＝}＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁RB＝{x|－1 3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　因为a∈P，b∈Q，所以a的取值只能为1,2；b的取值只能为－1,0,1.z＝ab的不同运算结果如下表所示：
b
a
－1
0
1
1
1
1
1
2

1
2
由上表可知P*Q＝，显然该集合中共有3个不同的元素．

1．集合基本运算的求解策略
求解思路
一般是先化简集合，再由交、并、补的定义求解
求解原则
一般是先算括号里面的，然后再按运算顺序求解
求解思想
注重数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等
2.解决集合新定义问题的策略
耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．

1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　　 B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
解析：选C　∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)
A．{x|－1 C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：选B　∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
3．已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．(2,5)　　　　　　　 B．[2,5)
C．(－2,2] D．(－2,2)
解析：选C　解一元二次不等式x2－3x－10<0，得－20，即x>2，∴B＝{x|x>2}，因此∁RB＝{x|x≤2}，则A∩(∁RB)＝(－2,2]．故选C.
4．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
解析：选D　由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.
[课时跟踪检测]
1．已知集合M＝{x|x2＋x－2＝0}，N＝{0,1}，则M∪N＝(　　)
A．{－2,0,1}　　　　　　 B．{1}
C．{0} D．∅
解析：选A　集合M＝{x|x2＋x－2＝0}＝{x|x＝－2或x＝1}＝{－2,1}，N＝{0,1}，则M∪N＝{－2,0,1}．故选A.
2．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝(　　)
A．∅ B．{1,3}
C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：选C　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，
∴∁UA＝{2,4,5}．
3．(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝(　　)
A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选B　由于集合A＝{x|y＝}表示的是函数y＝的定义域，所以由x2－2x≥0可知集合A＝{x|x≤0或x≥2}．集合B＝{y|y＝x2＋1}表示的是函数y＝x2＋1的值域，因此B＝{y|y≥1}．∴A∩B＝[2，＋∞)．故选B.
4．(2019·河北五个一名校联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于(　　)
A．(1,3) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－3,1)
解析：选C　依题意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，
∴A∩B＝(－1,1)．
5．(2019·浙江五校联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|0≤x<5}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{x|0 C．{x|0 解析：选D　由题意得∁UA＝{x|x<3}，所以(∁UA)∩B＝{x|0≤x<3}，故选D.
6．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B　当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.
7.(2019·资阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x－1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{x|x≤－1或x≥3}
B．{x|x<1或x≥3}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≤－1}
解析：选D　图中阴影部分表示集合∁U(A∪B)，又A＝{x|－1－1}，
∴∁U(A∪B)＝{x|x≤－1}，故选D.
8．(2019·石家庄重点高中毕业班摸底)已知集合M＝x＋＝1，N＝，则M∩N＝(　　)
A．∅ B．{(3,0)，(0,2)}
C．[－2,2] D．[－3,3]
解析：选D　因为集合M＝{x|－3≤x≤3}，N＝R，所以M∩N＝[－3,3]，故选D.
9．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：选B　因为集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.
10．已知全集U＝{x|－1 A．{a|a<9} B．{a|a≤9}
C．{a|a≥9} D．{a|1 解析：选D　由题意知，集合A≠∅，所以a>1，又因为A是U的子集，故需a≤9，所以a的取值范围是{a|1 11．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N＝(　　)
A．M∩N B．M∪N
C．M D．N
解析：选C　按定义，M⊕N表示图中的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示N上的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.
12．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17 B．18
C．19 D．20
解析：选B　记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩∁UB(如图)，故有18人．
13．设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________.
解析：由B⊆A，则x2＝4或x2＝2x.得x＝±2或x＝0，当x＝－2时，A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，符合题意；当x＝2时，则2x＝4，与集合的互异性相矛盾，故舍去；当x＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，符合题意．综上所述，x＝－2或x＝0.
答案：－2或0
14．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2 解析：由已知A＝{x|x≥－m}，∴∁UA＝{x|x<－m}．∵B＝{x|－2 答案：{m|m≥2}
15．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________________.
解析：由题意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝[－3,0)∪(3，＋∞)．
答案：[－3,0)∪(3，＋∞)
16．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝________.
解析：因为不等式<2x<8的解为－3 答案：{－1，}
17．(2019·南阳模拟)若集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0,0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．
解：∵集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋mx＋2，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0,0≤x≤2}＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤2}，
∴A∩B≠∅等价于方程组在x∈[0,2]上有解，即x2＋mx＋2＝x＋1在[0,2]上有解，
即x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，显然x＝0不是该方程的解，
从而问题等价于－(m－1)＝x＋在(0,2]上有解．
又∵当x∈(0,2]时，＋x≥2当且仅当＝x，即x＝1时取“＝”，∴－(m－1)≥2，∴m≤－1，
即m的取值范围为(－∞，－1]．
18．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，A∩B＝{2}，
∴2∈B,2是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0的根，
∴a2＋4a＋3＝0，a＝－1或a＝－3.
经检验a的取值符合题意，
故a＝－1或a＝－3.
(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.
当B＝∅时，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，
解得a<－3；
当B≠∅时，由B＝{1}或B＝{1,2}，可解得a∈∅；
由B＝{2}，可解得a＝－3.
综上可知，a的取值范围是(－∞，－3].