2020版高考数学（文）新设计一轮复习通用版讲义：选修4-4第一节坐标系

第一节坐标系


一、基础知识批注——理解深一点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
　 极坐标系的四要素,极点、极轴、单位(长度单位、角度单位)、正方向.　　　　　　　　　　 　　　　　　
(2)极坐标
①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.
②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.
点P(ρ，θ0)中，若ρ<0，则表示点P在射线θ＝θ0的反向延长线上，且|OP|＝|ρ|.



3．极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，
极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：

4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a(0<θ<π)

二、基础小题强化——功底牢一点

(1)在平面直角坐标系内的点与坐标是一一对应关系，在极坐标系中的点与坐标也是一一对应关系．(　　)
(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)
(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
(二)填一填
1．若点P的直角坐标为(－3，)，则点P的极坐标为______．
解析：因为点P(－3，)在第二象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.
答案：
2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________________．
解析：由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x2＋y2＝2y.
答案：x2＋y2－2y＝0
3．在极坐标系中，A，B两点间的距离为________．

解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.
法二：∵A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2)．
∴|AB|＝＝6.
答案：6
4．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离是________．
解析：设圆心到直线θ＝(θ∈R)的距离为d，
因为圆的半径为2，所以d＝2·sin＝1.

答案：1




考点一　平面直角坐标系下图形的伸缩变换

[典例]　求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．
[解]　设曲线C′上任意一点P(x′，y′)，
由上述可知，将代入x2－＝1，
得－＝1，化简得－＝1，即－＝1为曲线C′的方程，
可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．

[解题技法]　伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将
代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．
[提醒]　应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．

[题组训练]
1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin，求函数y＝f(x)的最小正周期．
解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sin得
3y＝3sin，整理得y＝sin，
故f(x)＝sin.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)，求λ，μ的值．
解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，
把伸缩变换公式φ：(λ，μ>0)代入上式得：
＋＝1即2x2＋2y2＝1，与x2＋y2＝1，
比较系数得所以

[典例]　(2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
[解]　因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，
化成直角坐标方程为y＝(x－4)，
则直线l过A(4,0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB＝.
如图，连接OB.
因为OA为直径，从而∠OBA＝，
所以AB＝4cos＝2.
所以直线l被曲线C截得的弦长为2.

[解题技法]
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法
(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．
(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．
2．极角的确定
由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．
(1)当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．
(2)当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：
当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝；当x＝0，y<0时，可取θ＝.
[题组训练]
1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)将两直角坐标方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为即为所求．
2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.
(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，
所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.

[典例]　(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解]　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2.
即当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
[解题技法]
1．求简单曲线的极坐标方程的方法
(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．
(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．
2．利用极坐标系解决问题的技巧
(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．
[提醒]　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．


[题组训练]
1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(其中φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)设直线l的极坐标方程是ρsin＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(2)把θ＝代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，
把θ＝代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，
所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.
2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求＋的值．
解：(1)由ρ2＝得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得到曲线C的直角坐标方程是＋y2＝1.
(2)因为ρ2＝，所以＝＋sin2θ，
由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为，
所以＋＝＋＝＋sin2α＋＋cos2α＝＋1＝.



1．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，
即y＝x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8x＋12＝0，
即(x－)2＝0，
所以x＝，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为.
2．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径|PC|＝ ＝1，于是圆C过极点，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)直线OP：θ＝(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．
解：(1)(x－)2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－2x＋2y－5＝0，
故其极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，
得ρ2－2ρ－5＝0，
所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，
所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，所以N.
(2)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.
所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．
解：(1)∵曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，
即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.
∵直线C2的方程为y＝x，
∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，
将θ＝(ρ∈R)代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，
得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝3.
6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．

解：(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即x2＋y2－6x－8y＝0.
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.
(2)设A，B.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，
∴A.
把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，
∴B.
∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB
＝(4＋3)(3＋4)sin
＝12＋.
7．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0，曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.
解：(1)依题意，将代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.
将代入y2＝x，得ρsin2θ＝cos θ.
故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝cos θ.
(2)将y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去)，
当x＝1时，y＝±1，所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A(1,1)，B(1，－1)，
所以ρA＝＝，ρB＝＝，tan θA＝1，tan θB＝－1，
因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A在第一象限，点B在第四象限，
所以θA＝，θB＝，故曲线C1与C2交点的极坐标分别为，.