2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题十四排列、组合、二项式定理

专题十四  排列、组合、二项式定理

 [题组全练]

1．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是(　　)

A．6　　　　　　　　　　　 B．8

C．10   D．12

解析：选C　由题意，知末尾数字是0,2,4时为偶数．当末尾数字是0时，有4个偶数；当末尾数字是2时，有3个偶数；当末尾数字是4时，有3个偶数．所以共有4＋3＋3＝10(个)偶数．

2．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24   B．18

C．12   D．9

解析：选B　由题意可知E→F有C种走法，F→G有C种走法，由分步乘法计数原理知，共C·C＝18种走法．

3．(2018·陕西质检)将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有(　　)

A．12种　　　 B．10种　　　

C．9种　　　 D．8种

解析：选A　安排人员去甲地可分为两步：第一步安排教师，有C种方案；第二步安排学生，有C种方案．其余的教师和学生去乙地，所以不同的安排方案共有CC＝12种，选A.

4．在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8名运动员的方式共有24×120＝2 880(种)．

答案：2 880

5.已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种．

解析：根据题意，分两步进行分析，第一步，对于A，B，C区域，三个区域两两相邻，种的植物都不能相同，将3种不同的植物全排列，安排在A，B，C区域，有A＝6(种)种法；第二步，对于D，E区域，若A，E区域种的植物相同，则D区域有1种种法，若A，E区域种的植物不同，则E区域有1种种法，D区域有2种种法，则D，E区域共有1＋2＝3(种)不同的种法．故不同的种法共有6×3＝18(种)．

答案：18

[系统方法]

两个原理应用的关键

(1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步．

(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键．

(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成．

(4)较复杂的问题可借助图表完成．

[题组全练]

1．(2018·惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)

A．24   B．18

C．16   D．10

解析：选D　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.

2．(2019届高三·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A．120种   B．156种

C．188种   D．240种

解析：选A　法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120种．

法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120种．

3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)

A．144个   B．120个

C．96个   D．72个

解析：选B　当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．

4．现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是(　　)

A．72   B．144

C．240   D．288

解析：选D　首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有CA＝6(种)排列方法．则现在共有5个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有CAA＝8(种)情况，若这双鞋在左数第二个位置，则共有CA＝8(种)情况，若这双鞋在中间位置，则共有CCAA＝16(种)情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样．所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是6×(2×8＋2×8＋16)＝288.

5．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．

法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．

答案：16

[系统方法]

求解排列应用问题的常用方法

[题组全练]

1．(2018·唐山模拟)6的展开式中的常数项为(　　)

A．15   B．－15

C．20   D．－20

解析：选A　依题意，Tr＋1＝C(x2)6－rr＝C·(－1)rx12－3r，令12－3r＝0，则r＝4，所以6的展开式中的常数项为C(－1)4＝15.

2．(2018·郑州第一次质量预测)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)

A．50   B．70

C．90   D．120

解析：选C　令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5，所以二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝3rCx，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为32C＝90.

3．(2019届高三·益阳、湘潭调研)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)

A．22 018－1   B．82 018－1

C．22 018   D．82 018

解析：选B　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1.

4．(2018·潍坊模拟)(1＋x＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为__________(用数字作答)．

解析：当第一个因式中的项为1时，x4的系数为C，当第一个因式中的项为x时，x4的系数为C，当第一个因式中的项为x2时，x4的系数为C，则展开式中x4的系数为C＋C＋C＝25.

答案：25

5．(2019届高三·武汉调研)在5的展开式中x3的系数为________．

解析：5＝5＝.

求原式展开式中x3的系数，可转化为求(x－2)10的展开式中x8的系数，即C·(－2)2＝180.

答案：180

[系统方法]

1．二项式定理的相关内容

(1)二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn.

(2)通项与二项式系数

Tk＋1＝Can－kbk，其中C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．

2．求解二项式定理相关问题的常用思路

(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．

(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．

[专题跟踪检测](对应配套卷P198)

组——高考题点全面练

1．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10　　　　　　　　　　　 B．20

C．40   D．80

解析：选C　5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.

2．(2018·沈阳质监)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　)

A．4种   B．8种

C．12种   D．24种

解析：选B　将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法．

3．(2018·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6   B．12

C．18   D．19

解析：选D　法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9种；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9种；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19种，故选D.

法二：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19种，故选D.

4．在(x－2)6的展开式中，二项式系数的最大值为m，含x5项的系数为t，则＝(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选D　因为二项式的幂指数n＝6是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为m＝C＝20，含x5项的系数t＝C×(－2)＝－12，所以＝－＝－.

5．参加十九大的甲、乙等5名代表在天安门前排成一排照相，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)

A．16   B．20

C．24   D．26

解析：选C　甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲、乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有AA－CAA＝24(种)．

6．(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)

A．10   B．20

C．30   D．60

解析：选C　(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.

7．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)

A．－4   B．－3

C．3   D．4

解析：选B　法一：(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C·()n＝Cx，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.

令＋＝1，得m＋n＝2，

于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3.

法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.

法三：在(1－)6(1＋)4的展开式中要出现x，可分以下三种情况：

①(1－)6中选2个(－)，(1＋)4中选0个作积，这样得到的x项的系数为CC＝15；

②(1－)6中选1个(－)，(1＋)4中选1个作积，这样得到的x项的系数为C(－1)1C＝－24；

③(1－)6中选0个(－)，(1＋)4中选2个作积，这样得到的x项的系数为CC＝6.

故x项的系数为15－24＋6＝－3.

8．若(1＋y3)n(n∈N*)的展开式中存在常数项，则常数项为(　　)

A．－84   B．84

C．－36   D．36

解析：选A　要使(1＋y3)n(n∈N*)的展开式中存在常数项，只需要1＋y3中的y3与n的展开式中的项相乘即可.n的通项Tr＋1＝(－1)rCxn－3ry－r，令n－3r＝0且－r＝－3，则n＝9，r＝3，所以常数项为(－1)3C＝－84.

9．设4＝a0＋a1＋a22＋a33＋a44，则a2＋a4的值是(　　)

A．32   B．－32

C．40   D．－40

解析：选C　∵4的展开式的通项为Tr＋1＝Cr＝C(－2)rr，

∴a2＝C(－2)2＝24，a4＝C(－2)4＝16，

∴a2＋a4＝40.

10．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144   B．120

C．72   D．24

解析：选D　先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A＝24(种)方法．

11．春天来了，某学校组织学生外出踏青.4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是(　　)

A．964   B．1 080

C．1 152   D．1 296

解析：选C　根据题意，男生甲和乙要求站在一起，将2人看成一个整体，考虑2人的顺序，有A种情况，将这个整体与其余5人全排列，有A种情况，则甲和乙站在一起共有AA＝1 440(种)站法．其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有AAA＝288(种)站法，则符合题意的站法共有1 440－288＝1 152(种)．

12．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是(　　)

A．40   B．60

C．80   D．100

解析：选A　根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C＝20(种)选法，剩下的三个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这三个盒子的编号为4,5,6，则4号小球可以放进5,6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放进剩下的两个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是20×2×1＝40.

13．(2018·贵阳模拟)9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．

解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝arCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，所以a3C＝－84，所以a＝－1，所以二项式为9，令x＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.

答案：0

14．(2018·合肥质检)已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________.

解析：当x＝0时，(－1)5＝－1＝a0.当x＝1时，(m－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33－1＝32，则m－1＝2，m＝3.

答案：3

15．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是________．

解析：根据题意，分3步进行分析：

①在3个理科班中选2个班，去检查2个文科班，有CA＝6种情况；

②剩余的1个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的2个理科班，有2种情况；

③将2个文科班学生全排列，安排检查剩下的2个理科班，有A＝2种情况；

则不同安排方法的种数为6×2×2＝24种．

答案：24

16．(2018·昆明调研)已知(1＋ax)(1＋x)3的展开式中x3的系数为7，则a＝________.

解析：∵(1＋ax)(1＋x)3的展开式中含x3的项为x3＋ax×Cx2＝(3a＋1)x3，∴3a＋1＝7，∴a＝2.

答案：2

组——高考达标提速练

1．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(　　)

A．30种　　　　　　　　 B．36种

C．60种   D．72种

解析：选A　甲、乙两人从4门课程中各选修2门有CC＝36(种)选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有C＝6(种)，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)．

2．若6的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)

A．±2   B.

C．－2   D．±

解析：选D　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)6－rr＝Ca6－rx6－3r.令6－3r＝0，则r＝2.∴Ca4＝，即a4＝，解得a＝±.

3．二项式5的展开式中x3y2的系数是(　　)

A．5   B．－20

C．20   D．－5

解析：选A　二项式5的通项为Tr＋1＝C5－r(－2y)r.根据题意，得r＝2.所以x3y2的系数是C3×(－2)2＝5.

4．用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有(　　)

A．1 080个   B．1 480个

C．1 260个   D．1 200个

解析：选A　(1)当没有一个数字是偶数时，从1,3,5,7,9这五个数字中任取四个数，再进行全排列，得无重复数字的四位数有A＝120(个)；

(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2,4,6,8中任取一个数，再从1,3,5,7,9中任取三个数，然后再进行全排列得无重复数字的四位数有CCA＝960(个)．

故由分类加法计数原理得这样的四位数共有120＋960＝1 080(个)．

5．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)

A．56   B．84

C．112   D．168

解析：选D　(1＋x)8的展开式中x2的系数为C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC＝168.

6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)

A．－4   B．－3

C．－2   D．－1

解析：选D　展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1.

7．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)

A．1或3   B．－3

C．1   D．1或－3

解析：选D　令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.∵a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.

8．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是(　　)

A．540   B．480

C．360   D．200

解析：选D　由“个位数字与十位数字之和为奇数”知个位数字、十位数字为1奇1偶，共有CCA＝50(种)排法；由“所有数位上的数字和为偶数”知百位数字是奇数，有C＝4(种)排法．故满足题意的三位数共有50×4＝200(个)．

9．(2019届高三·南昌重点中学联考)若n(n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为(　　)

A．84   B．－252

C．252   D．－84

解析：选A　由题意可得C＝36，∴n＝9.

∵9的展开式的通项为

Tr＋1＝C·99－r·r·x，

令9－＝0，得r＝6.

∴展开式中的常数项为C×93×6＝84.

10．篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成.2017年的NBA篮球赛中，休斯敦火箭队采取了“八人轮换”的阵容，即每场比赛只有8名队员有机会出场，这8名队员中包含两名中锋，两名控球后卫，若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋，至少包含一名控球后卫，则休斯敦火箭队的主教练可选择的出场阵容共有(　　)

A．16种   B．28种

C．84种   D．96种

解析：选B　有两种出场方案：(1)中锋1人，控球后卫1人，出场阵容有CCC＝16(种)；(2)中锋1人，控球后卫2人，出场阵容有CCC＝12(种)．故出场阵容共有16＋12＝28(种)．

11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(　　)

A．18种   B．24种

C．36种   D．48种

解析：选C　若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3个人中的2个人抢走，有AA＝12(种)；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3个人中的2个人抢走，有AA＝12(种)；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3个人中的2个人抢走，有AC＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3个人中的2个人抢走，有A＝6(种)．根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36(种)．

12．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是(　　)

A．100   B．150

C．30   D．300

解析：选D　第一步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第二步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第三步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第四步，2＝0＋2,2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理知，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.

13．(2018·福州模拟)设n为正整数，n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．

解析：依题意得，n＝8，所以展开式的通项Tr＋1＝Cx8－rr＝(－2)rCx8－4r，令8－4r＝0，解得r＝2，所以展开式中的常数项为T3＝(－2)2C＝112.

答案：112

14.5的展开式中的常数项为____________．(用数字作答)

解析：法一：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝(x＋)10.

求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.

所以所求的常数项为＝.

法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类；

①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为()5.

②5个括号中的1个选，1个选，3个选，这样得到的常数项为CCC()3.

③5个括号中的2个选，2个选，1个选，这样得到的常数项为C2C.

因此展开式的常数项为()5＋CCC()3＋C2C＝.

答案：

15．江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海毒蛇和1种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行________次试验．

解析：当3种藏红花排好后，4种情形里2种南海毒蛇和1种西域毒草的填法分别有A种、CA种、CA种、A种，于是符合题意的添加顺序有A(A＋CA＋CA＋A)＝120(种)．

答案：120

16．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．

解析：5名水暖工去3个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5名水暖工分组方案为3,1,1和1,2,2，则分配的方案共有·A＝150(种)．

答案：150