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2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题十一直线与圆
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专题十一 直线与圆
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
___________
____________
直线方程、圆的方程、点到直线的距离·T6
2017
圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质·T15
圆的弦长问题、双曲线的几何性质·T9
平面向量基本定理、直线与圆位置关系·T12
直线与圆的方程、直线与抛物线位置关系·T20
2016
抛物线、圆的标准方程·T10
圆的方程、点到直线的距离·T4
点到直线的距离、弦长问题·T16
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年2考，涉及圆的性质、点到直线的距离、双曲线、抛物线的几何性质．预计2019年会以选择题的形式考查圆方程的求法及应用
卷Ⅱ3年2考，涉及圆的方程、点到直线的距离、双曲线的几何性质，题型为选择题，难度适中．预计2019年会以选择题的形式考查直线与圆的综合问题
卷Ⅲ3年4考，涉及直线方程、圆的方程、点到直线的距离、弦长问题、直线与抛物线的位置关系、椭圆的几何性质等，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中．预计2019年会以选择题或填空题的形式考查直线与圆的位置关系，同时要注意圆与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
横向把握重点
1.圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.
直线的方程
[题组全练]
1．已知p：直线x－y－1＝0与直线x－my＋2＝0平行，q：m＝1，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由于两直线平行的充要条件是＝≠，即m＝1.故选A.
2．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B.
C．3 D．4
解析：选B 由题意可知＝≠，解得m＝2，所以两平行线之间的距离d＝＝.
3．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为( )
A. B．1
C．2 D．3
解析：选B |PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1.故|PM|的最小值为1.
4．设A，B是x轴上的两点，点M的横坐标为3，且|MA|＝|MB|，若直线MA的方程为x－y＋1＝0，则直线MB的方程是( )
A．x＋y－7＝0 B．x－y＋7＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A 法一：由|MA|＝|MB|知，点M在A，B的垂直平分线上．由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为x－y＋1＝0，得M(3,4)．由题意知，直线MA，MB关于直线x＝3对称，故直线MA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线MB上，∴直线MB的方程为x＋y－7＝0.
法二：由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为x－y＋1＝0，得M(3,4)，代入四个选项可知只有A项满足题意，选A.
5.如图所示，射线OA，OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1,0)作直线分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线x－2y＝0上时，直线AB的方程为____________．
解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan 150°＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x，设A(m，m)，B(－n，n)(m≠0，n≠0)，则AB的中点C，当m＝1时，n＝－，A(1,1)，B，C，故点C不在直线x－2y＝0上，不满足题意，当m≠1时，n≠－，由点C在直线x－2y＝0上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A(，)，又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
答案：(3＋)x－2y－3－＝0
[系统方法]
解决直线方程问题的2个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
圆的方程
[题组全练]
1．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析：选D 法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
故解得
半径r＝＝，
故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
法二：利用圆心在直线2x－y－7＝0上来检验，只有D符合，即(x－2)2＋(y＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合题意，故选D.
2．已知圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0关于直线2ax＋by－2＝0对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤.
3．(2019届高三·豫南十校联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________．
解析：设C(a,0)(a＞0)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．
解析：由题意得，半径等于＝ ＝ ≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为，所求圆为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
[系统方法]
求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
直线(圆)与圆的位置关系
[多维例析]
角度一 直线(圆)与圆位置关系的判定及应用
在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
[解] (1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.
又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
所以＝1，解得k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以设圆心C(a,2a－4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，
则有＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，圆心D(0，－1)．
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，
所以2－1≤ ≤2＋1，
解得0≤a≤.
故圆心C的横坐标a的取值范围是.
角度二 已知直线(圆)与圆的位置关系求参数值(范围)
(1)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为( )
A．± B．±
C．±3 D．±9
(2)已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PM⊥PN，则实数r的取值范围是( )
A．(1,5) B．[1,5]
C．(1,3] D．[1,3]
[解析] (1)由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±.
(2)将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，若要使圆上一点P满足PM⊥PN，则需圆经过M，N两点之间，即r∈[1,5]．当r＝1时，(x－3)2＋y2＝1经过点N(2,0)，圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN；当r＝5时，(x－3)2＋y2＝25经过点M(－2,0)，同理圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN.故选A.
[答案] (1)B (2)A
[系统方法]
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
(1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)求过圆外一定点的切线方程的基本思路：
首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线．
2．弦长的求解方法
几何法
根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)
距离法
求出交点坐标，用两点间距离公式求解
[综合训练]
1．在圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上总有四个点到直线l：3x＋4y＋t＝0的距离为1，则实数t的取值范围是( )
A．(－17,1) B．(－15,3)
C．(－17,3) D．(－15,1)
解析：选C 由圆上总有四个点到直线l：3x＋4y＋t＝0的距离为1，得圆心(1,1)到直线l的距离d＝＜r－1＝2，解得－17＜t＜3，即实数t的取值范围是(－17,3)．
2．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N两点．若·＝12，其中O为坐标原点，则|MN|＝( )
A．2 B．4
C. D．2
解析：选A 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圆心为(2,3)，将y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以Δ＝16(k2＋2k＋1)－28(1＋k2)＝－12k2＋32k－12＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，由题设可得＋8＝12，得k＝1，满足Δ>0，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心(2,3)恰在直线l上，所以|MN|＝2.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，则直线l的方程为______________________．
解析：由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心(－3,1)到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，化简得k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
答案：y＝0或7x＋24y－28＝0
重难增分
点、直线与圆的综合问题
[考法全析]
一、曾经这样考
1．[与圆有关的范围问题](2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C．[－，] D.
解析：选A 法一：常规思路稳解题
由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
法二：特殊思路妙解题
如图，过O作OP⊥MN于点P，
则|OP|＝|OM|sin 45°≤1，
∴|OM|≤，即≤，
∴x≤1，即－1≤x0≤1.
[启思维] 本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是解决此类题目的最有效方法．
二、还可能这样考
2．[与圆有关的最值问题]已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为____________．
解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，由解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.
答案：
[启思维] 本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半径及该点与圆心连线构成的直角三角形中求解．
3．[与圆有关的定点问题]已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为点P是直线＋＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．
因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．
所以圆C的方程为x(x－4＋2m)＋y(y－m)＝0， ①
又x2＋y2＝1， ②
所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，
令得
所以直线AB过定点.
[启思维] 本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问题．解决直线过定点问题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数主元的系数为0即可求得定点坐标．
4．[与向量等知识的综合问题]在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且＝2，则直线l的方程为____________．
解析：法一：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，与x2＋y2＝5联立，
消去x并整理得(m2＋1)y2＋2my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)，
y1＋y2＝－，①
y1y2＝－.②
因为＝2，所以－y2＝2y1，③
联立①②③，可得m2＝1，
又点A在第一象限，所以y1＞0，则m＝1，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
法二：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，即x－my－1＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝.
又＝2，且|OM|＝1，圆x2＋y2＝5的半径r＝，
所以＋＝2(－)，即3＝，
所以9＝5－，解得m2＝1，
又点A在第一象限，所以m＝1，
故直线l的方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
[启思维] 本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求法．直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
[增分集训]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
2．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，
所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
由
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，可得－5≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
答案：[－5，1]
3．已知直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C两点，其中A(－1,0)，B，D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是________．
解析：因为直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，所以tan α＝，所以直线l2的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以直线l2的方程为y－0＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0.
又A(－1,0)在圆M上，所以(－1)2－2＋F＝0，解得F＝1，所以圆M的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心M(－1,1)，半径r＝1.
所以圆心M到直线l2的距离d＝＝，所以|AC|＝ ＝，
即|AC|＝2×＝.
因为B，D两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD垂直平分AC(即BD为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，此时AC，BD相交于点E，则四边形ABCD的最大面积S＝×|AC|×|BE|＋×|AC|×|DE|＝×|AC|×|BD|＝××2＝.
答案：
[专题跟踪检测](对应配套卷P191)
一、全练保分考法——保大分
1．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B ∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.
2．圆心在直线x＋2y＝0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋)2＝8
B．(x－)2＋(y＋2)2＝8
C．(x－2)2＋(y＋)2＝8
D．(x－)2＋(y＋2)2＝8
解析：选A 法一：设圆心为(r>0)，半径为r.由勾股定理()2＋2＝r2，解得r＝2，∴圆心为(2，－)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋)2＝8.
法二：四个圆的圆心分别为(2，－)，(，－2)，(2，－)，(，－2)，将它们逐一代入x＋2y＝0，只有A选项满足．
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径R＝a，因为圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝(a>0)，解得a＝2，即圆M的圆心为(0,2)，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r＝1，所以|MN|＝，则R－r<
A．2 B．4
C．6 D．4
解析：选D 法一：因为圆心(0,0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，所以|AB|＝2＝2，过C作CE⊥BD于E，因为直线l的倾斜角为30°，
所以|CD|＝＝＝＝4.
法二：由x－y＋6＝0与x2＋y2＝12联立解得A(－3，)，B(0,2)，∴AC的方程为y－＝－(x＋3)，BD的方程为y－2＝－x，可得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
5．已知A(0,3)，B，P为圆C：x2＋y2＝2x上的任意一点，则△ABP面积的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
因为A(0，3)，B，
所以|AB|＝＝3，直线AB的方程为x＋y＝3，
所以圆心(1,0)到直线AB的距离d＝＝.又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为＋1，故△ABP面积的最大值为Smax＝×(＋1)×3＝.
6．已知等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心)，则圆C的方程为( )
A．(x－4)2＋y2＝16 B．(x＋4)2＋y2＝16
C．x2＋(y－4)2＝16 D．x2＋(y＋4)2＝16
解析：选A 法一：设A，B两点的坐标分别为，，由题设知＝＝ ，
解得y＝y＝12，所以A(6,2)，B(6，－2)或A(6，－2)，B(6,2)．
设圆心C的坐标为(r,0)(r>0)，则r＝×6＝4，
所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
法二：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由题设知x＋y＝x＋y.
又y＝2x1，y＝2x2，故x＋2x1＝x＋2x2，
即(x1－x2)·(x1＋x2＋2)＝0，
由x1>0，x2>0，可知x1＝x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．
设点C的坐标为(r,0)(r>0)，则点A的坐标为，于是2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
7．设M，N分别为圆O1：x2＋y2－12y＋34＝0和圆O2：(x－2)2＋y2＝4上的动点，则M，N两点间的距离的取值范围是________．
解析：圆O1的方程可化为x2＋(y－6)2＝2，其圆心为O1(0,6)，半径r1＝.圆O2的圆心O2(2,0)，半径r2＝2，则|O1O2|＝＝2，则|MN|max＝2＋2＋，|MN|min＝2－2－，故M，N两点间的距离的取值范围是[2－2－，2＋2＋]．
答案：[2－2－，2＋2＋]
8．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．
解析：点P(－3,1)关于x轴对称的点为P′(－3，－1)，
所以直线P′Q的方程为x－(a＋3)y－a＝0，
由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切，
所以＝1，
解得a＝－.
答案：－
9．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．
解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，圆心坐标为(a,0)(a>0)，
则由题意知2＋2＝(a－1)2，
解得a＝3或－1(舍去)，
故圆心坐标为(3,0)，
因为圆心(3,0)在所求的直线上，
所以3＋0＋m＝0，
解得m＝－3，
故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
10．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，
解得k＝1或k＝－1(舍去)．
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
11．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Г与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，
令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，
则可得Δ＝m2－8m>0，
解得m>8或m<0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，
得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
所以m＝0(舍去)或m＝－.
所以m＝－，
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，
半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为2＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为
x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为
x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.
12．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，)，N(1，－)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)因为圆C过点M(1，)，N(1，－)，
所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，
故设圆心为C(a,0)，易知a>0，
又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，
所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.
因为点M(1，)在圆C上，
所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2.
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)证明：记直线OA的斜率为k(k≠0)，则其方程为y＝kx.
联立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
所以A.
由k·kOB＝－2，得kOB＝－，
直线OB的方程为y＝－x，
在点A的坐标中用－代换k，得B.
当直线l的斜率不存在时，＝，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝.
当直线l的斜率存在时，≠，即k2≠2，
则直线l的斜率为
＝＝＝.
故直线l的方程为y－＝，
即y＝，
所以直线l过定点.
综上，直线l恒过定点，定点坐标为.
二、强化压轴考法——拉开分
1．已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线l：3x＋2y－4＝0上，若在圆C上总存在两个不同的点A，B，使＋＝，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图，∵＋＝，
∴OP与AB互相垂直平分，
∴圆心到直线AB的距离
<1，
∴x＋y<4. ①
又3x0＋2y0－4＝0，
∴y0＝2－x0，
代入①得x＋2<4，
解得0
2．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝，则实数m的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由消去y，整理得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－
解析：易知点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心C的坐标为(2,0)，要使劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥CA，所以kl＝－＝－＝.
答案：
4．已知圆O：x2＋y2＝1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x＋4y－a＝0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则实数a的最大值为________．
解析：由题意知A(－1,0)，设P(x，y)，由|PA|＝2|PT|可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化简得2＋y2＝.由3x＋4y－a＝0与圆2＋y2＝有公共点P，所以圆心到直线3x＋4y－a＝0的距离d＝≤，解得－≤a≤，所以实数a的最大值为.
答案：
5．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为__________________．
解析：圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.
在Rt△PAO中，|PO|＝2，
又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，
∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，
∵|MO|＝，
∴ －1≤2≤ ＋1，
解得2－≤a≤2＋.
∴实数a的取值范围为.
答案：
6．(2018·广州高中综合测试)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，
所以 ＝·.
整理得，x2＋y2＝2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋ B.
由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)
由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.①
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②
由k1·k2＝·＝·＝3，
得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，
即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③
将②代入③，整理得b2＝3－k2.④
由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤
由①和④，解得k<－或k>.⑥
要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，
所以0不是方程(*)的根，
所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范围为
[－，－1)∪∪∪(1， ]．
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
___________
____________
直线方程、圆的方程、点到直线的距离·T6
2017
圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质·T15
圆的弦长问题、双曲线的几何性质·T9
平面向量基本定理、直线与圆位置关系·T12
直线与圆的方程、直线与抛物线位置关系·T20
2016
抛物线、圆的标准方程·T10
圆的方程、点到直线的距离·T4
点到直线的距离、弦长问题·T16
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年2考，涉及圆的性质、点到直线的距离、双曲线、抛物线的几何性质．预计2019年会以选择题的形式考查圆方程的求法及应用
卷Ⅱ3年2考，涉及圆的方程、点到直线的距离、双曲线的几何性质，题型为选择题，难度适中．预计2019年会以选择题的形式考查直线与圆的综合问题
卷Ⅲ3年4考，涉及直线方程、圆的方程、点到直线的距离、弦长问题、直线与抛物线的位置关系、椭圆的几何性质等，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中．预计2019年会以选择题或填空题的形式考查直线与圆的位置关系，同时要注意圆与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
横向把握重点
1.圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.
直线的方程
[题组全练]
1．已知p：直线x－y－1＝0与直线x－my＋2＝0平行，q：m＝1，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由于两直线平行的充要条件是＝≠，即m＝1.故选A.
2．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B.
C．3 D．4
解析：选B 由题意可知＝≠，解得m＝2，所以两平行线之间的距离d＝＝.
3．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为( )
A. B．1
C．2 D．3
解析：选B |PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1.故|PM|的最小值为1.
4．设A，B是x轴上的两点，点M的横坐标为3，且|MA|＝|MB|，若直线MA的方程为x－y＋1＝0，则直线MB的方程是( )
A．x＋y－7＝0 B．x－y＋7＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A 法一：由|MA|＝|MB|知，点M在A，B的垂直平分线上．由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为x－y＋1＝0，得M(3,4)．由题意知，直线MA，MB关于直线x＝3对称，故直线MA上的点(0,1)关于直线x＝3的对称点(6,1)在直线MB上，∴直线MB的方程为x＋y－7＝0.
法二：由点M的横坐标为3，且直线MA的方程为x－y＋1＝0，得M(3,4)，代入四个选项可知只有A项满足题意，选A.
5.如图所示，射线OA，OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1,0)作直线分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线x－2y＝0上时，直线AB的方程为____________．
解析：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan 150°＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x，设A(m，m)，B(－n，n)(m≠0，n≠0)，则AB的中点C，当m＝1时，n＝－，A(1,1)，B，C，故点C不在直线x－2y＝0上，不满足题意，当m≠1时，n≠－，由点C在直线x－2y＝0上，且A，P，B三点共线得解得m＝，所以A(，)，又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
答案：(3＋)x－2y－3－＝0
[系统方法]
解决直线方程问题的2个注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.
圆的方程
[题组全练]
1．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
解析：选D 法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
故解得
半径r＝＝，
故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
法二：利用圆心在直线2x－y－7＝0上来检验，只有D符合，即(x－2)2＋(y＋3)2＝5的圆心为(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三个圆心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合题意，故选D.
2．已知圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0关于直线2ax＋by－2＝0对称，则ab的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 将圆的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤.
3．(2019届高三·豫南十校联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________．
解析：设C(a,0)(a＞0)，由题意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________．
解析：由题意得，半径等于＝ ＝ ≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为，所求圆为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
[系统方法]
求圆的方程的2种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
直线(圆)与圆的位置关系
[多维例析]
角度一 直线(圆)与圆位置关系的判定及应用
在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程．
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
[解] (1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3,2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.
又因为点A(0,3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，
所以＝1，解得k＝0或k＝－，
所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，
即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，所以设圆心C(a,2a－4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，
设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，
则有＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，设为圆D，圆心D(0，－1)．
所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，
所以2－1≤ ≤2＋1，
解得0≤a≤.
故圆心C的横坐标a的取值范围是.
角度二 已知直线(圆)与圆的位置关系求参数值(范围)
(1)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为( )
A．± B．±
C．±3 D．±9
(2)已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PM⊥PN，则实数r的取值范围是( )
A．(1,5) B．[1,5]
C．(1,3] D．[1,3]
[解析] (1)由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±.
(2)将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，若要使圆上一点P满足PM⊥PN，则需圆经过M，N两点之间，即r∈[1,5]．当r＝1时，(x－3)2＋y2＝1经过点N(2,0)，圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN；当r＝5时，(x－3)2＋y2＝25经过点M(－2,0)，同理圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN.故选A.
[答案] (1)B (2)A
[系统方法]
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
(1)研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．
(2)求过圆外一定点的切线方程的基本思路：
首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线．
2．弦长的求解方法
几何法
根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)
距离法
求出交点坐标，用两点间距离公式求解
[综合训练]
1．在圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上总有四个点到直线l：3x＋4y＋t＝0的距离为1，则实数t的取值范围是( )
A．(－17,1) B．(－15,3)
C．(－17,3) D．(－15,1)
解析：选C 由圆上总有四个点到直线l：3x＋4y＋t＝0的距离为1，得圆心(1,1)到直线l的距离d＝＜r－1＝2，解得－17＜t＜3，即实数t的取值范围是(－17,3)．
2．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N两点．若·＝12，其中O为坐标原点，则|MN|＝( )
A．2 B．4
C. D．2
解析：选A 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圆心为(2,3)，将y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以Δ＝16(k2＋2k＋1)－28(1＋k2)＝－12k2＋32k－12＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，由题设可得＋8＝12，得k＝1，满足Δ>0，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心(2,3)恰在直线l上，所以|MN|＝2.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，则直线l的方程为______________________．
解析：由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心(－3,1)到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，化简得k(24k＋7)＝0，
即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.
答案：y＝0或7x＋24y－28＝0
重难增分
点、直线与圆的综合问题
[考法全析]
一、曾经这样考
1．[与圆有关的范围问题](2014·全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆 O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C．[－，] D.
解析：选A 法一：常规思路稳解题
由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1,1]．
法二：特殊思路妙解题
如图，过O作OP⊥MN于点P，
则|OP|＝|OM|sin 45°≤1，
∴|OM|≤，即≤，
∴x≤1，即－1≤x0≤1.
[启思维] 本题考查直线与圆的位置关系(圆的切线问题)、存在性问题，数形结合法是解决此类题目的最有效方法．
二、还可能这样考
2．[与圆有关的最值问题]已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为____________．
解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(－1,2)，半径r＝.因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．当PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即PO所在直线的方程为2x＋y＝0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，由解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.
答案：
[启思维] 本题考查圆的切线长问题，解决此类问题一般放在由该点与切点的连线、半径及该点与圆心连线构成的直角三角形中求解．
3．[与圆有关的定点问题]已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线＋＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A. B.
C. D.
解析：选B 因为点P是直线＋＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．
因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．
所以圆C的方程为x(x－4＋2m)＋y(y－m)＝0， ①
又x2＋y2＝1， ②
所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，
令得
所以直线AB过定点.
[启思维] 本题考查圆的切线问题、两圆公共弦所在直线的求法以及直线过定点问题．解决直线过定点问题时，应先将含参的直线方程化为以参数为主元的形式，再令参数主元的系数为0即可求得定点坐标．
4．[与向量等知识的综合问题]在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且＝2，则直线l的方程为____________．
解析：法一：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，与x2＋y2＝5联立，
消去x并整理得(m2＋1)y2＋2my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)，
y1＋y2＝－，①
y1y2＝－.②
因为＝2，所以－y2＝2y1，③
联立①②③，可得m2＝1，
又点A在第一象限，所以y1＞0，则m＝1，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
法二：由题意，设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，即x－my－1＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝.
又＝2，且|OM|＝1，圆x2＋y2＝5的半径r＝，
所以＋＝2(－)，即3＝，
所以9＝5－，解得m2＝1，
又点A在第一象限，所以m＝1，
故直线l的方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
[启思维] 本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求法．直线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．
[增分集训]
1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
解析：选A 设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
2．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，
所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
由
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，可得－5≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
答案：[－5，1]
3．已知直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，倾斜角为2α的直线l2与圆M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C两点，其中A(－1,0)，B，D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是________．
解析：因为直线l1：x－2y＝0的倾斜角为α，所以tan α＝，所以直线l2的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以直线l2的方程为y－0＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0.
又A(－1,0)在圆M上，所以(－1)2－2＋F＝0，解得F＝1，所以圆M的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心M(－1,1)，半径r＝1.
所以圆心M到直线l2的距离d＝＝，所以|AC|＝ ＝，
即|AC|＝2×＝.
因为B，D两点在圆上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当BD垂直平分AC(即BD为直径)时，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，此时AC，BD相交于点E，则四边形ABCD的最大面积S＝×|AC|×|BE|＋×|AC|×|DE|＝×|AC|×|BD|＝××2＝.
答案：
[专题跟踪检测](对应配套卷P191)
一、全练保分考法——保大分
1．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
解析：选B ∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，
即2x＋y－7＝0.
2．圆心在直线x＋2y＝0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋)2＝8
B．(x－)2＋(y＋2)2＝8
C．(x－2)2＋(y＋)2＝8
D．(x－)2＋(y＋2)2＝8
解析：选A 法一：设圆心为(r>0)，半径为r.由勾股定理()2＋2＝r2，解得r＝2，∴圆心为(2，－)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋)2＝8.
法二：四个圆的圆心分别为(2，－)，(，－2)，(2，－)，(，－2)，将它们逐一代入x＋2y＝0，只有A选项满足．
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：选B 由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径R＝a，因为圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝(a>0)，解得a＝2，即圆M的圆心为(0,2)，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r＝1，所以|MN|＝，则R－r<
A．2 B．4
C．6 D．4
解析：选D 法一：因为圆心(0,0)到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝3，所以|AB|＝2＝2，过C作CE⊥BD于E，因为直线l的倾斜角为30°，
所以|CD|＝＝＝＝4.
法二：由x－y＋6＝0与x2＋y2＝12联立解得A(－3，)，B(0,2)，∴AC的方程为y－＝－(x＋3)，BD的方程为y－2＝－x，可得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
5．已知A(0,3)，B，P为圆C：x2＋y2＝2x上的任意一点，则△ABP面积的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选A 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
因为A(0，3)，B，
所以|AB|＝＝3，直线AB的方程为x＋y＝3，
所以圆心(1,0)到直线AB的距离d＝＝.又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为＋1，故△ABP面积的最大值为Smax＝×(＋1)×3＝.
6．已知等边三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心)，则圆C的方程为( )
A．(x－4)2＋y2＝16 B．(x＋4)2＋y2＝16
C．x2＋(y－4)2＝16 D．x2＋(y＋4)2＝16
解析：选A 法一：设A，B两点的坐标分别为，，由题设知＝＝ ，
解得y＝y＝12，所以A(6,2)，B(6，－2)或A(6，－2)，B(6,2)．
设圆心C的坐标为(r,0)(r>0)，则r＝×6＝4，
所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
法二：设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由题设知x＋y＝x＋y.
又y＝2x1，y＝2x2，故x＋2x1＝x＋2x2，
即(x1－x2)·(x1＋x2＋2)＝0，
由x1>0，x2>0，可知x1＝x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．
设点C的坐标为(r,0)(r>0)，则点A的坐标为，于是2＝2×r，解得r＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
7．设M，N分别为圆O1：x2＋y2－12y＋34＝0和圆O2：(x－2)2＋y2＝4上的动点，则M，N两点间的距离的取值范围是________．
解析：圆O1的方程可化为x2＋(y－6)2＝2，其圆心为O1(0,6)，半径r1＝.圆O2的圆心O2(2,0)，半径r2＝2，则|O1O2|＝＝2，则|MN|max＝2＋2＋，|MN|min＝2－2－，故M，N两点间的距离的取值范围是[2－2－，2＋2＋]．
答案：[2－2－，2＋2＋]
8．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为________．
解析：点P(－3,1)关于x轴对称的点为P′(－3，－1)，
所以直线P′Q的方程为x－(a＋3)y－a＝0，
由题意得直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切，
所以＝1，
解得a＝－.
答案：－
9．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________________．
解析：由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，圆心坐标为(a,0)(a>0)，
则由题意知2＋2＝(a－1)2，
解得a＝3或－1(舍去)，
故圆心坐标为(3,0)，
因为圆心(3,0)在所求的直线上，
所以3＋0＋m＝0，
解得m＝－3，
故所求的直线方程为x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
10．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|
＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，
解得k＝1或k＝－1(舍去)．
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
11．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Г与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解：由曲线Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，
令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，
则可得Δ＝m2－8m>0，
解得m>8或m<0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，
得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
所以m＝0(舍去)或m＝－.
所以m＝－，
此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，
半径r＝|CM|＝，
故所求圆的方程为2＋y2＝.
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为
x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为
x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.
12．(2019届高三·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，)，N(1，－)．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．
解：(1)因为圆C过点M(1，)，N(1，－)，
所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，
故设圆心为C(a,0)，易知a>0，
又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，
所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.
因为点M(1，)在圆C上，
所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2.
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)证明：记直线OA的斜率为k(k≠0)，则其方程为y＝kx.
联立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
所以A.
由k·kOB＝－2，得kOB＝－，
直线OB的方程为y＝－x，
在点A的坐标中用－代换k，得B.
当直线l的斜率不存在时，＝，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝.
当直线l的斜率存在时，≠，即k2≠2，
则直线l的斜率为
＝＝＝.
故直线l的方程为y－＝，
即y＝，
所以直线l过定点.
综上，直线l恒过定点，定点坐标为.
二、强化压轴考法——拉开分
1．已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线l：3x＋2y－4＝0上，若在圆C上总存在两个不同的点A，B，使＋＝，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图，∵＋＝，
∴OP与AB互相垂直平分，
∴圆心到直线AB的距离
<1，
∴x＋y<4. ①
又3x0＋2y0－4＝0，
∴y0＝2－x0，
代入①得x＋2<4，
解得0
2．已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝，则实数m的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由消去y，整理得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－
解析：易知点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心C的坐标为(2,0)，要使劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥CA，所以kl＝－＝－＝.
答案：
4．已知圆O：x2＋y2＝1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x＋4y－a＝0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若|PA|＝2|PT|，则实数a的最大值为________．
解析：由题意知A(－1,0)，设P(x，y)，由|PA|＝2|PT|可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化简得2＋y2＝.由3x＋4y－a＝0与圆2＋y2＝有公共点P，所以圆心到直线3x＋4y－a＝0的距离d＝≤，解得－≤a≤，所以实数a的最大值为.
答案：
5．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为__________________．
解析：圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.
在Rt△PAO中，|PO|＝2，
又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，
∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，
∵|MO|＝，
∴ －1≤2≤ ＋1，
解得2－≤a≤2＋.
∴实数a的取值范围为.
答案：
6．(2018·广州高中综合测试)已知定点M(1,0)和N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若A，B为(1)中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点．设直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k.当k1k2＝3时，求k的取值范围．
解：(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|，
所以 ＝·.
整理得，x2＋y2＝2.
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋ B.
由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*)
由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.①
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.②
由k1·k2＝·＝·＝3，
得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2，
即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③
将②代入③，整理得b2＝3－k2.④
由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤
由①和④，解得k<－或k>.⑥
要使k1，k2，k有意义，则x1≠0，x2≠0，
所以0不是方程(*)的根，
所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦
由⑤⑥⑦，得k的取值范围为
[－，－1)∪∪∪(1， ]．
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