2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题四第一讲小题考法——排列、组合与二项式定理

[全国卷3年考情分析]

第一讲  小题考法——排列、组合与二项式定理

[典例感悟]

[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种   B．18种 

C．24种   D．36种

(2)某班班会上老师准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙2名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为(　　)

A．360   B．520 

C．600   D．720

(3)(2018·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)

A．18种  B．24种  C．36种  D．72种

[解析]　(1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有＝6(种)，再分配给3个人，有A＝6(种)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．

(2)若甲、乙同时被选中，则只需再从剩下的5人中选取2人，有C种选法，因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空”，所以安排的方式有AA种，从而此种情况下不同的发言顺序的种数为CAA＝120.若甲、乙只有一人被选中，则先从甲、乙中选一人，有C种选法，再从剩下的5人中选取3人，有C种选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为CCA＝480.综上，不同的发言顺序的种数为120＋480＝600.故选C.

(3)一个路口有3人的分配方法有CA种；两个路口各有2人的分配方法有CA种．

由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CA＋CA＝36(种)．

[答案]　(1)D　(2)C　(3)C

[方法技巧]

1．解答排列组合问题的4个角度

解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．

2．解决分组分配问题的3种策略

(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．

(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．

(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．

 [演练冲关]

1．(2018·广州模拟)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有(　　)

A．36种　　　　　　　　 B．24种

C．22种  D．20种

解析：选B　根据题意，分两种情况讨论：第一种，3名男生每个大学各推荐1人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有AA＝12种推荐方法；第二种，将3名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有CAA＝12种推荐方法．故共有24种推荐方法，选B.

2．(2017·天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．

答案：1 080

3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)

解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：

只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．

故共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．

法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故共有C－C＝20－4＝16(种)．

答案：16

4．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)

解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．

法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．

答案：660

[典例感悟]

[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)

A．15　　　　　　　　　 B．20

C．30  D．35

(2)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A．－80  B．－40

C．40  D．80

(3)若(3x－1)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018(x∈R)，则＋＋＋…＋＝________.

[解析]　(1)(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30.

(2)当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.

(3)令x＝0，可得a0＝1.由通项可得a1＝C·31·(－1)2 017＝－6 054.令x＝，得＋＋＋…＋＝－1，则＋＋＋…＋＝＝－＝.

[答案]　(1)C　(2)C　(3)

[方法技巧]

求解二项式定理相关问题的常用思路

(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．

(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．

[演练冲关]

1．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)

A．10  B．20

C．40  D．80

解析：选C　5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C·22＝40.

2．(2018·长郡中学模拟)若二项式7的展开式的各项系数之和为－1，则含x2项的系数为(　　)

A．560  B．－560

C．280  D．－280

解析：选A　取x＝1，得二项式7的展开式的各项系数之和为(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二项式7的展开式的通项Tr＋1＝C·(x2)7－r·r＝C·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C·(－2)4＝560，选A.

3．(x2＋2)5的展开式中含x2项的系数为250，则实数m的值为(　　)

A．±5  B．5

C．±  D.

解析：选C　5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx－2(5－r)(－mx)r＝C(－m)rx3r－10，由3r－10＝2，得r＝4，系数为C(－m)4＝5m4.因为第二个因式中没有常数项，所以展开式中含x2项的系数为2×5m4＝250，求得m＝±.故选C.

4．(2018·陕西模拟)已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)

A．39  B．310

C．311  D．312

解析：选D　对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D.

 [必备知能·自主补缺]　依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干

[主干知识要记牢]

1．排列、组合数公式

(1)排列数公式

A＝n(n－1)·…·(n－m＋1)＝.

(2)组合数公式

C＝＝＝.

2．二项式定理

(1)二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn.

(2)通项与二项式系数

Tk＋1＝Can－kbk，其中C(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．

[二级结论要用好]

1．各二项式系数之和

(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.

(2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.

2．二项式系数的性质

(1)C＝C，C＋C＝C.

(2)二项式系数最值问题

当n为偶数时，中间一项即第项的二项式系数C最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数C，C相等且最大．

 [针对练]　若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)

A．360  B．180 

C．90  D．45

解析：选B　依题意知n＝10，

∴Tr＋1＝C()10－r·r＝C2r·x，

令5－r＝0，得r＝2，∴常数项为C22＝180.

[易错易混要明了]

二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同．

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有(　　)

A．36个　　 　　　　 B．24个

C．18个  D．6个

解析：选B　各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有A＋CA＝6＋18＝24(个)．

2．(2018·广西南宁模拟)5的展开式中x3项的系数为(　　)

A．80  B．－80

C．－40  D．48

解析：选B　∵5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－rr＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝3，解得r＝1.于是展开式中x3项的系数为(－1)×25－1·C＝－80，故选B.

3．(2019届高三·南宁、柳州联考)从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是(　　)

A．72  B．70

C．66  D．64

解析：选D　从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D.

4．(2018·新疆二检)(x2－3)5的展开式的常数项是(　　)

A．－2  B．2

C．－3  D．3

解析：选B　5的通项为Tr＋1＝C5－r＝Cx2r－10，令2r－10＝－2或0，解得r＝4,5，∴展开式的常数项是C＋(－3)×C＝2.

5．(2018·益阳、湘潭联考)若(1－3x)2 018＝a0＋a1x＋…＋a2 018x2 018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018的值为(　　)

A．22 018－1  B．82 018－1

C．22 018  D．82 018

解析：选B　由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2 018·32 018＝82 018－a0＝82 018－1，故选B.

6．现有5本相同的《数学家的眼光》和3本相同的《数学的神韵》，要将它们排在同一层书架上，并且3本相同的《数学的神韵》不能放在一起，则不同的放法种数为(　　)

A．20  B．120

C．2 400  D．14 400

解析：选A　根据题意，可分两步：

第一步，先放5本相同的《数学家的眼光》，有1种情况；

第二步，5本相同的《数学家的眼光》排好后，有6个空位，在6个空位中任选3个，把3本相同的《数学的神韵》插入，有C＝20种情况．

故不同的放法有20种，故选A.

7．(2019届高三·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．29  B．210

C．211  D．212

解析：选A　由题意得C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29，故选A.

8．(2018·惠州模拟)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为(　　)

A．24  B．18

C．16  D．10

解析：选D　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C·A种可选的路线．所以小明可选的旅游路线数为A＋C·A＝10.选D.

9.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是(　　)

A．120  B．140

C．240  D．260

解析：选D　由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处有4种涂法，第三步涂C，若C与A所涂颜色相同，则C有1种涂法，D有4种涂法，若C与A所涂颜色不同，则C有3种涂法，D有3种涂法，由此得不同的着色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)，故选D.

10．(2018·郑州模拟)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)

A．－1  B．1

C．27  D．－27

解析：选A　依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.

11．(2018·开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)

A．6  B．12

C．18  D．19

解析：选D　法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)，故选D.

法二：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19(种)，故选D.

12．(2018·甘肃兰州检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(　　)

A．18种  B．24种

C．36种  D．48种

解析：选C　若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)；

若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)；

若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36(种)．故选C.

二、填空题

13．(2018·贵州模拟)9的展开式中x3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．

解析：二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝arCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，所以a3C＝－84，所以a＝－1，所以二项式为9，令x＝1，则(1－1)9＝0，所以展开式的各项系数之和为0.

答案：0

14．(2018·福州四校联考)在(1－x3)(2＋x)6的展开式中，x5的系数是________(用数字作答)．

解析：二项展开式中，含x5的项是C2x5－x3C24x2＝－228x5，所以x5的系数是－228.

答案：－228

15．(2018·合肥质检)在4的展开式中，常数项为________．

解析：易知4＝4的展开式的通项Tr＋1＝C(－1)4－r·r.又r的展开式的通项Rm＋1＝Cxr－m(－x－1)m＝C(－1)mxr－2m，∴Tr＋1＝C(－1)4－r·C·(－1)mxr－2m，令r－2m＝0，得r＝2m，∵0≤r≤4，∴0≤m≤2，∴当m＝0,1,2时，r＝0,2,4，故常数项为T1＋T3＋T5＝C(－1)4＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0·C(－1)2＝－5.

答案：－5

16．(2018·洛阳模拟)某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．

解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C＝3种报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36种报法．

法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A种方法．由分步乘法计数原理得共有C·A＝36种报法．

答案：36

B级——难度小题强化练

1．(2018·南昌模拟)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)

A．120种  B．156种

C．188种  D．240种

解析：选A　法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．

法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．

2．(2018·洛阳模拟)若a＝sin xdx，则二项式6的展开式中的常数项为(　　)

A．－15  B．15

C．－240  D．240

解析：选D　a＝sin xdx＝(－cos x)|＝(－cos π)－(－cos 0)＝1－(－1)＝2，则6的展开式的通项为Tr＋1＝C26－r(－1)rx，令6－3r＝0得r＝2，所以展开式中的常数项为C·24·(－1)2＝240.故选D.

3．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)

A．18个  B．16个

C．14个  D．12个

解析：选C　由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C＝4(种)；②若 a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.

4．某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为(　　)

A．60  B．40

C．120  D．240

解析：选A　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法，再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A＝60(种)不同的安排方法．故选A.

5．(2018·郑州一模)由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．

解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为C·A＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.

答案：10

6．(2018·济南模拟)已知(1＋ax＋by)5(a，b为常数，a∈N*，b∈N*)的展开式中不含字母x的项的系数和为243，则函数f(x)＝，x∈的最小值为________．

解析：令x＝0，y＝1，得(1＋b)5＝243，解得b＝2.

因为x∈，所以x＋∈，

则sin x＋cos x＝sin∈[1，]，

所以f(x)＝＝

＝

＝sin x＋cos x＋

≥2＝2，

当且仅当sin x＋cos x＝1时取“＝”，

所以f(x)的最小值为2.

答案：2