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2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题十二圆锥曲线的方程与性质
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专题十二 圆锥曲线的方程与性质
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8
双曲线的几何性质·T5
双曲线的几何性质·T11
双曲线的几何性质·T11
直线的方程及椭圆的几何性质·T12
直线与抛物线的位置关系·T16
2017
直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10
双曲线的几何性质·T9
双曲线的渐近线及标准方程·T5
双曲线的几何性质·T15
抛物线的定义及标准方程·T16
椭圆的几何性质·T10
2016
双曲线的几何性质与标准方程·T5
双曲线的定义、离心率问题·T11
直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题·T11
抛物线与圆的综合问题·T10
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年6考，且每年都有2个小题同时出现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容．预计2019年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合
卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质
卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质
横向把握重点
1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.
圆锥曲线的定义与方程
[题组全练]
1.如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 设|PF2|＝m，则|PF1|＋|PF2|＝2a，
即m＋4＝2a.①
在△PF1F2中，由余弦定理得
42＋m2－2×m×4×cos 120°＝4(a2－2)．②
联立①②，解得a＝3.
2．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，
联立
解得或
即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
3．(2018·唐山模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
解析：设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.
答案：4
4．(2018·合肥质检)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，其中x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，
则⇒或(舍去)．
所以点P的坐标为(4,4)．
答案：(4,4)
[系统方法]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
圆锥曲线的几何性质
[由题知法]
(2018·陕西质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C．2 D.
[解析] 因为OM⊥PF，且M为FP的中点，所以△POF为等腰直角三角形，即∠PFO＝45°，则不妨令切线FM的方程为x＋y＝c，由圆心到切线的距离等于半径得＝a，所以e＝＝.
[答案] A
(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，作PB⊥x轴于点 B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
[答案] D
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C. D.
[学解题]
法一：直接法(学生用书不提供解题过程)
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.
法二：性质法(学生用书提供解题过程)
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[答案] C
[类题通法]
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值或范围．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
③利用e＝求离心率．
3．抛物线焦点弦的性质
若线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦半径|AF|＝x1＋；
(3)＋＝；
(4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径．
[应用通关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A. B．3
C．2 D．4
解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选 B.
法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得
所以M，所以|OM|＝ ＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选 B.
2．(2018·贵阳模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若＝λ，且双曲线的离心率e＝，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 如图，|OF|＝c，
|OM|＝a，OM⊥PF，
所以|MF|＝b，
根据射影定理得|PF|＝，
所以|PM|＝－b，
所以λ＝＝＝＝.
因为e2＝＝＝1＋＝2＝，
所以＝.所以λ＝2.
3．已知椭圆x2＋＝1(00时，椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知F，B，C的坐标分别为(－c,0)，(0，b)，(1,0)，则FC，BC的垂直平分线分别为x＝，y－＝，
联立解得
∴m＋n＝＋>0，
即b－bc＋b2－c>0，
整理得(1＋b)(b－c)>0，∴b>c，
从而b2>c2，即a2>2c2，∴e2<，
又e>0，∴0
解析：过点P作PP1垂直准线于P1，
由＝3，得|PM|＝2|PF|，
又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，
所以|PM|＝2|PP1|.
由三角形相似得＝＝＝，
所以|PP1|＝，所以||＝.
答案：
直线与圆锥曲线的位置关系
[多维例析]
角度一 直线与圆锥曲线的交点个数问题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e<.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P(x0，y0)为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x＋4y0y－12＝0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．
[解] (1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由题设条件知，4a＝8，a＝2，
2××2c×b＝2，b2＋c2＝a2＝4，
所以b＝，c＝1或b＝1，c＝(经检验不合题意，舍去)，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：当y0＝0时，由＋＝1，
可得x0＝±2，
当x0＝2，y0＝0时，直线l的方程为x＝2，直线l与椭圆C有且只有一个交点(2,0)．
当x0＝－2，y0＝0时，直线l的方程为x＝－2，直线l与椭圆C有且只有一个交点(－2,0)．
当y0≠0时，直线l的方程为y＝，
联立
消去y，得(4y＋3x)x2－24x0x＋48－16y＝0.①
由点P(x0，y0)为椭圆C上一点，得＋＝1，
可得4y＋3x＝12.
于是方程①可以化简为x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，
将x＝x0代入方程y＝可得y＝y0，故直线l与椭圆C有且只有一个交点P(x0，y0)，
综上，直线l与椭圆C有且只有一个交点，且交点为P(x0，y0)．
[类题通法]
直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略
判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．
角度二 弦长及面积问题
(2018·兰州检测)已知椭圆K：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求K的方程；
(2)过F2的直线l交K于A，B两点，M为AB的中点，连接OM并延长交K于点C，若四边形OACB的面积S满足：a2＝S，求直线l的斜率．
[解] (1)由题意得解得
故椭圆K的方程为＋y2＝1.
(2)由于直线l的倾斜角不可为零，
所以设直线l的方程为my＝x－1，
与＋y2＝1联立并化简可得
(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
可得y0＝－，x0＝my0＋1＝.
设C(x，y)，又＝λ (λ>0)，
所以x＝λx0，y＝λy0.因为C在K上，
故λ2＝1⇒m2＋2＝λ2.①
设h1为点O到直线l的距离，h2为点C到直线l的距离，则＝＝⇒h2＝(λ－1)h1.
又由点到直线的距离公式得，h1＝＝.
而|AB|＝·
＝＝，
所以S＝|AB|(h1＋h2)＝·＝.
由题意知，S＝＝，所以＝⇒λ＝.
将λ＝代入①式得m＝±1，
所以直线l的斜率为±1.
[类题通法] 弦长问题的解题策略
(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝·＝ ·，其中k为弦AB所在直线的斜率．
角度三 弦的中点问题
已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
[解] 由题意可知F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.
(1)证明：记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0，
记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，
所以k1＝，k2＝＝－b，
又因为ab＋1＝0，
所以k1＝＝＝＝＝－b，
所以k1＝k2，即AR∥FQ.
(2)设直线AB与x轴的交点为D(x1,0)，
所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|×，
又S△PQF＝，
所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF，
即＝2××|a－b|×，
解得x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
又＝，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
[类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略
(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k＝－，k＝，k＝(抛物线y2＝2px)．其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
[综合训练]
1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．
因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，
所以∠B1AB2＝90°，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
由c2＝a2－b2，得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|
＝·b＝b2.
由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，所以a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
又＝(x1－2，y1)， ＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为BF1⊥x轴，所以点B，
所以解得
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)因为＝＝＝λ⇒＝(λ>2)，所以＝－.
由(1)可知P(0，－1)，设直线MN：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立化简得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1＋1)， ＝(x2，y2＋1)，
则x1＝－x2，即＝－，
所以＝＋2＋
＝－＋2－＝－，
即＝.
因为k>，所以＝∈(1,4)，
则1<<4且λ>2⇒4<λ<4＋2.
综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2)．
重难增分
圆锥曲线的定义、方程及性质的综合问题
[典例细解]
(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
[解析] 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
[答案] A
[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A，B为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．
(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
[解析] 法一：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，
则|MN|－|MF|cos 60°＝2，
由抛物线的定义，得|MN|＝|MF|＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
法二：由题意，得F(1,0)，
则直线FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
[答案] C
[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．
(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，
得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝.
[答案] A
[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．
[综合训练]
1．(2018·福州模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在E上，MN∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，线段F2M交E于点Q，且＝，则E的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选B 设双曲线E的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，∵MN∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，
∴|MN|＝c，不妨设M.
∵＝，∴Q是线段F2M的中点，∴Q.
把M，Q分别代入E的方程－＝1(a>0，b>0)，
可得∴＝15，∴e＝.
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，
因为点A(－2,3)在准线上，
所以－＝－2，即p＝4，
从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．
设切线方程为y－3＝k(x＋2)，
代入y2＝8x，消去x，
化简得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由Δ＝1－4××(2k＋3)＝0，得k＝－2或k＝，
因为切点在第一象限，所以k＝.
将k＝代入①中得y＝8，
再将y＝8代入y2＝8x中，得x＝8，
所以点B的坐标为(8,8)，
所以直线BF的斜率为＝.
3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为＋＝1(a>b>0)和＋＝1(a>b>0，m>1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC，BD，若AC，BD的斜率之积恒为－，则大椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为＋＝1，则A(ma,0)，B(0，mb)，设切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，
联立
消去y，得(a2k＋b2)x2－2mka3x＋m2ka4－a2b2＝0，
由Δ＝(－2mka3)2－4(ka2＋b2)(m2ka4－a2b2)＝0，
化简得ka2－m2ka2＋b2＝0⇒k＝·，
设直线BD的斜率为k2，
同理可得k＝(m2－1)，
∴kk＝··(m2－1)＝＝2，
∴＝，∴e＝ ＝.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)
一、全练保分考法——保大分
1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选 B.
2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，＝tan ＝，双曲线C的离心率e＝ ＝2.
3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c＝2，且双曲线的焦点在x轴上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．(2018·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的倾斜角为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：选B 分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，Q，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°.
5．(2018·南昌模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B 如图，设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化简得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，∴＋＝4，
又＋≥2＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
6．(2018·长春质检)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝( )
A．1 B．2
C．4 D.
解析：选A 不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M，故△PF1M为等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H为F1M的中点，所以OH为△MF1F2的中位线，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.
7．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
解析：抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.
答案：6
8．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________．
解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
因为AB的中点M(－4,1)，
所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.
易知直线AB的斜率k＝＝1.
由两式相减得，
＋＝0，
所以＝－·，所以＝，
于是椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：
9．(2019届高三·惠州调研)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立
解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2
10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为 B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x＝m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．
解：(1)由题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，
则2a＋2c＝6.①
直线BF2的方程为bx＋cy－bc＝0，
所以＝b，即2c＝a.②
又a2＝b2＋c2，③
所以由①②③可得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)不妨设A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，
则直线A1P的方程为y＝(x＋2)，
所以M.
又点P在椭圆C上，所以y＝3.
若以MP为直径的圆过点A2，则A2M⊥A2P，
即·＝0，
所以·(x0－2，y0)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(x0－2)＝0.
又点P不同于点A1，A2，所以x0≠±2，
所以m－＝0，解得m＝14.
11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，＝ .记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．
解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝kx＋1，
代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，
解得k2＝2.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
又原点到直线AB的距离d＝＝，
所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.
12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线n的横、纵截距分别为a，－1，且原点O到直线n的距离为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足＋ －2 ＝0，求直线l的方程．
解：(1)∵椭圆E的短轴长为2，∴b＝1.
依题意设直线n的方程为－y＝1，
由＝，解得a＝，
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
当直线l的斜率为0时，显然不符合题意．
当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为x＝ty＋，
由消去x，得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，①
∵＋ －2＝0，
∴x3＝x1＋x2，y3＝y1＋y2，
又点C在椭圆E上，
∴＋y＝2＋2＝＋＋＝1，
又＋y＝1，＋y＝1，
∴x1x2＋y1y2＝0，②
将x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，
即t＝1或t＝－1.
故直线l的方程为x＋y－＝0或x－y－＝0.
二、强化压轴考法——拉开分
1．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.
2．(2018·合肥质检)已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：选D 由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3
A．24 B．16
C．8 D．－16
解析：选B 由＝2知G是线段AB的中点，
∴＝(＋)，
∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.
由A，B是动直线l与抛物线C：x2＝4y的交点，
不妨设A，B，
∴－4·＝－4
＝－4 ＝16－42≤16，
∴(－)2－42的最大值为16.
4．(2018·合肥检测)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|FB|.直线l1，l2分别过点A，B，且与x轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N(M，N分别在点A，B的右侧)，分别作∠ABN和∠BAM的角平分线并相交于点P，则△PAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为抛物线方程为y2＝4x，所以其焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，如图所示，不妨设点B在x轴上方，过点B向l1作垂线，垂足为C.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，因为|AF|＝3|FB|，所以xA＋1＝3(xB＋1)，所以xA－xB＝2(xB＋1)＝2|FB|，所以cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°，因为AP，BP分别为∠BAM与∠ABN的角平分线，所以∠BAP＝60°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝90°，所以|AP|＝2|FB|＝2xB＋2，所以S△PAB＝|AP||AB|sin 60°＝×2(xB＋1)×4(xB＋1)×＝2(xB＋1)2.由∠BAC＝60°，F(1,0)可得直线AB的方程为y＝－(x－1)，联立解得x＝或x＝3，易知xB＝，所以S△PAB＝2×2＝.
5．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点O，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2,0)，B(2,0)，C(1，)．设以A，B为焦点的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝4－a2，当x＝1时，y2＝a2＋－5.要使双曲线与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则a2＋－5≥3，解得a2≥4＋2或0＜a2≤4－2，由a2≥4＋2得a≥＋1＞2，舍去，∴a2≤4－2，即0＜a≤－1.∴双曲线的离心率e＝≥＝＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞)．
答案：[＋1，＋∞)
6．(2018·洛阳统考)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P(x0，y0)是双曲线C右支上的一点，连接PF1并过F1作垂直于PF1的直线交双曲线左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P为等腰三角形，则双曲线C的离心率为________．
解析：设O为坐标原点，连接OP，OR，F2P，F2R，
因为P，R关于原点对称，所以|OP|＝|OR|，
又|OF1|＝|OF2|，PF1⊥RQ，
故四边形F1RF2P为矩形．
设|PF1|＝m，由双曲线的定义，得|PF2|＝m－2a.
法一：因为△QF1P为等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝m，
连接QF2，则|QF2|＝m＋2a.
在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°，
由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(m)2－2(m－2a)·m·cos 135°，化简得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即双曲线的离心率为.
法二：因为△QF1P为等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，连接QF2，
则在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a，
|RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a，
由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，
化简得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即双曲线的离心率为.
答案：
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的运算·T8
双曲线的几何性质·T5
双曲线的几何性质·T11
双曲线的几何性质·T11
直线的方程及椭圆的几何性质·T12
直线与抛物线的位置关系·T16
2017
直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基本不等式的应用·T10
双曲线的几何性质·T9
双曲线的渐近线及标准方程·T5
双曲线的几何性质·T15
抛物线的定义及标准方程·T16
椭圆的几何性质·T10
2016
双曲线的几何性质与标准方程·T5
双曲线的定义、离心率问题·T11
直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率问题·T11
抛物线与圆的综合问题·T10
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年6考，且每年都有2个小题同时出现，涉及双曲线、抛物线的几何性质，特别是双曲线的几何性质及抛物线属每年必考内容．预计2019年仍会延续以上命题方式，注意圆锥曲线与其他问题的综合
卷Ⅱ3年5考，且3年均考查了双曲线的几何性质．在2018年高考中考查了椭圆的几何性质，且难度较大．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线的几何性质或椭圆的几何性质
卷Ⅲ3年5考，涉及双曲线的几何性质、椭圆的几何性质、直线与抛物线的位置关系，既有选择题，也有填空题，难度适中．预计2019年仍会以选择题或填空题的形式考查双曲线或椭圆的方程及性质
横向把握重点
1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
2.直线与圆锥曲线的位置关系中与交点个数，弦长、面积中点弦有关的问题，一般难度中等.
圆锥曲线的定义与方程
[题组全练]
1.如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 设|PF2|＝m，则|PF1|＋|PF2|＝2a，
即m＋4＝2a.①
在△PF1F2中，由余弦定理得
42＋m2－2×m×4×cos 120°＝4(a2－2)．②
联立①②，解得a＝3.
2．已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，
联立
解得或
即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
3．(2018·唐山模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
解析：设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，所以y1y2＝－p2,4x1x2＝p2.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所以(x1＋x2)2－(x1－x2)2＝4x1x2＝p2，即18p－72＝0，解得p＝4.
答案：4
4．(2018·合肥质检)抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，其中x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，
则⇒或(舍去)．
所以点P的坐标为(4,4)．
答案：(4,4)
[系统方法]
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
圆锥曲线的几何性质
[由题知法]
(2018·陕西质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C．2 D.
[解析] 因为OM⊥PF，且M为FP的中点，所以△POF为等腰直角三角形，即∠PFO＝45°，则不妨令切线FM的方程为x＋y＝c，由圆心到切线的距离等于半径得＝a，所以e＝＝.
[答案] A
(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，作PB⊥x轴于点 B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.
[答案] D
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C. D.
[学解题]
法一：直接法(学生用书不提供解题过程)
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.
法二：性质法(学生用书提供解题过程)
如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[答案] C
[类题通法]
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值或范围．
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为0，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值．
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
③利用e＝求离心率．
3．抛物线焦点弦的性质
若线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)焦半径|AF|＝x1＋；
(3)＋＝；
(4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径．
[应用通关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A. B．3
C．2 D．4
解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.
在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选 B.
法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得
所以M，所以|OM|＝ ＝，
所以|MN|＝|OM|＝3，故选 B.
2．(2018·贵阳模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM，切点为M，交y轴于点P，若＝λ，且双曲线的离心率e＝，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 如图，|OF|＝c，
|OM|＝a，OM⊥PF，
所以|MF|＝b，
根据射影定理得|PF|＝，
所以|PM|＝－b，
所以λ＝＝＝＝.
因为e2＝＝＝1＋＝2＝，
所以＝.所以λ＝2.
3．已知椭圆x2＋＝1(0
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意知F，B，C的坐标分别为(－c,0)，(0，b)，(1,0)，则FC，BC的垂直平分线分别为x＝，y－＝，
联立解得
∴m＋n＝＋>0，
即b－bc＋b2－c>0，
整理得(1＋b)(b－c)>0，∴b>c，
从而b2>c2，即a2>2c2，∴e2<，
又e>0，∴0
解析：过点P作PP1垂直准线于P1，
由＝3，得|PM|＝2|PF|，
又由抛物线的定义知|PF|＝|PP1|，
所以|PM|＝2|PP1|.
由三角形相似得＝＝＝，
所以|PP1|＝，所以||＝.
答案：
直线与圆锥曲线的位置关系
[多维例析]
角度一 直线与圆锥曲线的交点个数问题
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e<.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P(x0，y0)为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x＋4y0y－12＝0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．
[解] (1)依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，
由题设条件知，4a＝8，a＝2，
2××2c×b＝2，b2＋c2＝a2＝4，
所以b＝，c＝1或b＝1，c＝(经检验不合题意，舍去)，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：当y0＝0时，由＋＝1，
可得x0＝±2，
当x0＝2，y0＝0时，直线l的方程为x＝2，直线l与椭圆C有且只有一个交点(2,0)．
当x0＝－2，y0＝0时，直线l的方程为x＝－2，直线l与椭圆C有且只有一个交点(－2,0)．
当y0≠0时，直线l的方程为y＝，
联立
消去y，得(4y＋3x)x2－24x0x＋48－16y＝0.①
由点P(x0，y0)为椭圆C上一点，得＋＝1，
可得4y＋3x＝12.
于是方程①可以化简为x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，
将x＝x0代入方程y＝可得y＝y0，故直线l与椭圆C有且只有一个交点P(x0，y0)，
综上，直线l与椭圆C有且只有一个交点，且交点为P(x0，y0)．
[类题通法]
直线与圆锥曲线交点个数问题的解题策略
判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．
角度二 弦长及面积问题
(2018·兰州检测)已知椭圆K：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
(1)求K的方程；
(2)过F2的直线l交K于A，B两点，M为AB的中点，连接OM并延长交K于点C，若四边形OACB的面积S满足：a2＝S，求直线l的斜率．
[解] (1)由题意得解得
故椭圆K的方程为＋y2＝1.
(2)由于直线l的倾斜角不可为零，
所以设直线l的方程为my＝x－1，
与＋y2＝1联立并化简可得
(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
设M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
可得y0＝－，x0＝my0＋1＝.
设C(x，y)，又＝λ (λ>0)，
所以x＝λx0，y＝λy0.因为C在K上，
故λ2＝1⇒m2＋2＝λ2.①
设h1为点O到直线l的距离，h2为点C到直线l的距离，则＝＝⇒h2＝(λ－1)h1.
又由点到直线的距离公式得，h1＝＝.
而|AB|＝·
＝＝，
所以S＝|AB|(h1＋h2)＝·＝.
由题意知，S＝＝，所以＝⇒λ＝.
将λ＝代入①式得m＝±1，
所以直线l的斜率为±1.
[类题通法] 弦长问题的解题策略
(1)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝·＝ ·，其中k为弦AB所在直线的斜率．
角度三 弦的中点问题
已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
[解] 由题意可知F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.
(1)证明：记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0，
记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，
所以k1＝，k2＝＝－b，
又因为ab＋1＝0，
所以k1＝＝＝＝＝－b，
所以k1＝k2，即AR∥FQ.
(2)设直线AB与x轴的交点为D(x1,0)，
所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|×，
又S△PQF＝，
所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF，
即＝2××|a－b|×，
解得x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
又＝，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以所求轨迹方程为y2＝x－1.
[类题通法] 弦中点及弦问题的解题策略
(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)圆锥曲线以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k＝－，k＝，k＝(抛物线y2＝2px)．其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标．
[综合训练]
1．(2019届高三·山西八校联考)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2⊥QB2，求直线l的方程．
解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．
因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，
所以∠B1AB2＝90°，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
由c2＝a2－b2，得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|
＝·b＝b2.
由题设条件S△AB1B2＝4，得b2＝4，所以a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
又＝(x1－2，y1)， ＝(x2－2，y2)，
所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
2.(2018·惠州调研)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围．
解：(1)因为BF1⊥x轴，所以点B，
所以解得
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)因为＝＝＝λ⇒＝(λ>2)，所以＝－.
由(1)可知P(0，－1)，设直线MN：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立化简得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1＋1)， ＝(x2，y2＋1)，
则x1＝－x2，即＝－，
所以＝＋2＋
＝－＋2－＝－，
即＝.
因为k>，所以＝∈(1,4)，
则1<<4且λ>2⇒4<λ<4＋2.
综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2)．
重难增分
圆锥曲线的定义、方程及性质的综合问题
[典例细解]
(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
[解析] 当0＜m＜3时，焦点在x轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
当m＞3时，焦点在y轴上，
要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，
则≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．
[答案] A
[启思维] 本题考查椭圆的标准方程及椭圆的对称性，求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴，题目中只说A，B为椭圆长轴的两个端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴，因此，需要根据m与3的大小关系，讨论椭圆长轴所在的坐标轴．
(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
[解析] 法一：依题意，得直线FM的倾斜角为60°，
则|MN|－|MF|cos 60°＝2，
由抛物线的定义，得|MN|＝|MF|＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
法二：由题意，得F(1,0)，
则直线FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x轴的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是边长为4的等边三角形，
所以点M到直线NF的距离为4×＝2.
[答案] C
[启思维] 本题考查抛物线的标准方程及其几何性质．涉及抛物线焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．本题中直线的倾斜角为特殊角60°，通过解三角形更快捷．
(2016·全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，
得＝，
则|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝.②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝.
[答案] A
[启思维] 本题考查椭圆的标准方程、性质及直线与圆锥曲线的位置关系，解决本题时，要注意数形结合思想的应用．
[综合训练]
1．(2018·福州模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在E上，MN∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，线段F2M交E于点Q，且＝，则E的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选B 设双曲线E的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，∵MN∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，
∴|MN|＝c，不妨设M.
∵＝，∴Q是线段F2M的中点，∴Q.
把M，Q分别代入E的方程－＝1(a>0，b>0)，
可得∴＝15，∴e＝.
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，
因为点A(－2,3)在准线上，
所以－＝－2，即p＝4，
从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．
设切线方程为y－3＝k(x＋2)，
代入y2＝8x，消去x，
化简得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由Δ＝1－4××(2k＋3)＝0，得k＝－2或k＝，
因为切点在第一象限，所以k＝.
将k＝代入①中得y＝8，
再将y＝8代入y2＝8x中，得x＝8，
所以点B的坐标为(8,8)，
所以直线BF的斜率为＝.
3.(2018·石家庄模拟)如图，两个椭圆的方程分别为＋＝1(a>b>0)和＋＝1(a>b>0，m>1)，从大椭圆的两个顶点分别向小椭圆引切线AC，BD，若AC，BD的斜率之积恒为－，则大椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 易知大椭圆和小椭圆的离心率相等．大椭圆的方程为＋＝1，则A(ma,0)，B(0，mb)，设切线AC的方程为y＝k1(x－ma)，
联立
消去y，得(a2k＋b2)x2－2mka3x＋m2ka4－a2b2＝0，
由Δ＝(－2mka3)2－4(ka2＋b2)(m2ka4－a2b2)＝0，
化简得ka2－m2ka2＋b2＝0⇒k＝·，
设直线BD的斜率为k2，
同理可得k＝(m2－1)，
∴kk＝··(m2－1)＝＝2，
∴＝，∴e＝ ＝.[专题跟踪检测](对应配套卷P193)
一、全练保分考法——保大分
1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选 B.
2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，＝tan ＝，双曲线C的离心率e＝ ＝2.
3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
解析：选B 由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c＝2，且双曲线的焦点在x轴上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4．(2018·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的倾斜角为( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：选B 分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，Q，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°.
5．(2018·南昌模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B 如图，设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化简得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，∴＋＝4，
又＋≥2＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
6．(2018·长春质检)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝( )
A．1 B．2
C．4 D.
解析：选A 不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M，故△PF1M为等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H为F1M的中点，所以OH为△MF1F2的中位线，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.
7．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
解析：抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.
答案：6
8．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________．
解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
因为AB的中点M(－4,1)，
所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.
易知直线AB的斜率k＝＝1.
由两式相减得，
＋＝0，
所以＝－·，所以＝，
于是椭圆的离心率e＝＝＝.
答案：
9．(2019届高三·惠州调研)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立
解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2
10．(2018·辽宁五校协作体联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为 B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线x＝m于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值．
解：(1)由题意得F1(－c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，
则2a＋2c＝6.①
直线BF2的方程为bx＋cy－bc＝0，
所以＝b，即2c＝a.②
又a2＝b2＋c2，③
所以由①②③可得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)不妨设A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，
则直线A1P的方程为y＝(x＋2)，
所以M.
又点P在椭圆C上，所以y＝3.
若以MP为直径的圆过点A2，则A2M⊥A2P，
即·＝0，
所以·(x0－2，y0)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(x0－2)＝0.
又点P不同于点A1，A2，所以x0≠±2，
所以m－＝0，解得m＝14.
11．(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，＝ .记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，＝＋，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．
解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．
由题意知，直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y＝kx＋1，
代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，
解得k2＝2.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
又原点到直线AB的距离d＝＝，
所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.
12．(2019届高三·洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E：＋＝1(a>b>0)，直线n的横、纵截距分别为a，－1，且原点O到直线n的距离为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足＋ －2 ＝0，求直线l的方程．
解：(1)∵椭圆E的短轴长为2，∴b＝1.
依题意设直线n的方程为－y＝1，
由＝，解得a＝，
故椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
当直线l的斜率为0时，显然不符合题意．
当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为x＝ty＋，
由消去x，得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，①
∵＋ －2＝0，
∴x3＝x1＋x2，y3＝y1＋y2，
又点C在椭圆E上，
∴＋y＝2＋2＝＋＋＝1，
又＋y＝1，＋y＝1，
∴x1x2＋y1y2＝0，②
将x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，
即t＝1或t＝－1.
故直线l的方程为x＋y－＝0或x－y－＝0.
二、强化压轴考法——拉开分
1．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为( )
A. B．2
C. D.
解析：选C 法一：不妨设一条渐近线的方程为y＝x，
则F2到y＝x的距离d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，
根据余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.
2．(2018·合肥质检)已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：选D 由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3
A．24 B．16
C．8 D．－16
解析：选B 由＝2知G是线段AB的中点，
∴＝(＋)，
∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.
由A，B是动直线l与抛物线C：x2＝4y的交点，
不妨设A，B，
∴－4·＝－4
＝－4 ＝16－42≤16，
∴(－)2－42的最大值为16.
4．(2018·合肥检测)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点F交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|FB|.直线l1，l2分别过点A，B，且与x轴平行，在直线l1，l2上分别取点M，N(M，N分别在点A，B的右侧)，分别作∠ABN和∠BAM的角平分线并相交于点P，则△PAB的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为抛物线方程为y2＝4x，所以其焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，如图所示，不妨设点B在x轴上方，过点B向l1作垂线，垂足为C.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，因为|AF|＝3|FB|，所以xA＋1＝3(xB＋1)，所以xA－xB＝2(xB＋1)＝2|FB|，所以cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°，因为AP，BP分别为∠BAM与∠ABN的角平分线，所以∠BAP＝60°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝90°，所以|AP|＝2|FB|＝2xB＋2，所以S△PAB＝|AP||AB|sin 60°＝×2(xB＋1)×4(xB＋1)×＝2(xB＋1)2.由∠BAC＝60°，F(1,0)可得直线AB的方程为y＝－(x－1)，联立解得x＝或x＝3，易知xB＝，所以S△PAB＝2×2＝.
5．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点O，过点O且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2,0)，B(2,0)，C(1，)．设以A，B为焦点的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝4－a2，当x＝1时，y2＝a2＋－5.要使双曲线与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则a2＋－5≥3，解得a2≥4＋2或0＜a2≤4－2，由a2≥4＋2得a≥＋1＞2，舍去，∴a2≤4－2，即0＜a≤－1.∴双曲线的离心率e＝≥＝＋1.即该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞)．
答案：[＋1，＋∞)
6．(2018·洛阳统考)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P(x0，y0)是双曲线C右支上的一点，连接PF1并过F1作垂直于PF1的直线交双曲线左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P为等腰三角形，则双曲线C的离心率为________．
解析：设O为坐标原点，连接OP，OR，F2P，F2R，
因为P，R关于原点对称，所以|OP|＝|OR|，
又|OF1|＝|OF2|，PF1⊥RQ，
故四边形F1RF2P为矩形．
设|PF1|＝m，由双曲线的定义，得|PF2|＝m－2a.
法一：因为△QF1P为等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝m，
连接QF2，则|QF2|＝m＋2a.
在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°，
由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(m)2－2(m－2a)·m·cos 135°，化简得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即双曲线的离心率为.
法二：因为△QF1P为等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，连接QF2，
则在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a，
|RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a，
由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，
化简得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即双曲线的离心率为.
答案：
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