2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题十七坐标系与参数方程（选修4－4）

专题十七  坐标系与参数方程(选修4－4)

[由题知法]

1．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos θ；

(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin θ.

2．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程：

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.

　(2019届高三·广州七校第一次联考)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．

[解]　(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数)，

∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

将代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.

(2)在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ＋2sin θ，

由得|OA|＝2＋1.

同理可得|OB|＝2＋.

又∠AOB＝，

∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝.

∴△AOB的面积为.

[类题通法]

1．极坐标方程与普通方程的互化技巧

(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．

(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝cos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．

(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．

2．求解与极坐标有关的问题的主要方法

(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用．

(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．

 [应用通关]

1．(2019届高三·南宁模拟)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin，直线l的直角坐标方程为y＝x.

(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；

(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．

解：(1)由曲线C1的参数方程为(θ为参数)，

得曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

易知直线l过原点，且倾斜角为，

故直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，

直线l的极坐标方程为θ＝，

将θ＝代入C1的极坐标方程得ρ1＝1，

将θ＝代入C2的极坐标方程得ρ2＝4，

∴|ρ2－ρ1|＝3.

2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．

当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

 [由题知法]

常见的几种曲线的普通方程和参数方程

　　　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(α为参数)．

(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于，求实数m的取值范围；

(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．

[解]　(1)由直线l的参数方程为(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝mx，

由圆C的参数方程为(α为参数)，

得圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1.

则圆心(0,1)到直线l的距离d＝，

故相交弦长为2 ，

所以2 ≥，

解得m≤－1或m≥1.

所以实数m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．

(2)设P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)，

则x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)，

消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程为

(x－1)2＋2＝.

[类题通法]

1．参数方程化为普通方程消去参数的方法

(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．

(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．

(3)常见消参数的关系式：

①t·＝1；

②2－2＝4；

③2＋2＝1.

2．与参数方程有关问题的求解方法

(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，|t|等于直线上的点P到点P0(x0，y0)的距离．若直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．

(2)解决与直线、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．

[应用通关]

1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，

当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，

所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.

又由①得t1＋t2＝－，

故2cos α＋sin α＝0，

于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.

2．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－.

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

解：(1)由消去参数t，

得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，

所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.

由ρcos＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，

化为极坐标为A(2，π)，B，

设点P的坐标为(－5＋cos t,3＋sin t)，

则点P到直线l的距离为

d＝

＝.

所以dmin＝＝2，又|AB|＝2.

所以△PAB面积的最小值是S＝×2×2＝4.

[由题知法]

　　　(2018·郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若α＝，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．

[解]　(1)由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)．

∵曲线C的极坐标方程为ρ＝，

∴ρsin2θ＝8cos θ，

∴ρ2sin2θ＝8ρcos θ，

即曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.

(2)法一：当α＝时，直线l的参数方程为

(t为参数)，

代入y2＝8x可得t2－8t－16＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝8，t1t2＝－16，

∴|AB|＝|t1－t2|＝＝8.

又点O到直线AB的距离d＝1×sin＝，

∴S△AOB＝×|AB|×d＝×8×＝2.

法二：当α＝时，直线l的方程为y＝x－1，

设M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得y2－8y－8＝0，

则y1＋y2＝8，y1y2＝－8，

∴S△AOB＝|OM||y1－y2|＝×1×＝×＝×4＝2.

[类题通法]　解极坐标方程与参数方程综合问题的策略

(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．

(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．

(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

[应用通关]

1．(2018·合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cos θ＝0.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值．

解：(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0.

∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，

即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.

(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1.

设曲线C1上的动点M(3cos θ，2sin θ)，

由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.

∵|MC2|＝

＝，

∴当cos θ＝时，|MC2|min＝，

∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1.

2．(2018·陕西质检)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t＞0，α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝3.

(1)当t＝1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；

(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围．

解：(1)由ρsin＝3，得ρsin θ＋ρcos θ＝3，

把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，

当t＝1时，曲线C的参数方程为(α为参数)，

消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝1，

∴曲线C为圆，且圆心为O，半径r＝1，

则点O到直线l的距离d＝＝，

∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1＋.

(2)∵曲线C上的所有点均在直线l的下方，

∴对任意的α∈R，tcos α＋sin α－3＜0恒成立，

即cos(α－φ)＜3恒成立，

∴ ＜3，

又t＞0，∴0＜t＜2.

∴实数t的取值范围为(0,2)．

[专题跟踪检测](对应配套卷P207)

1．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.

l与⊙O交于两点需满足<1，

解得k<－1或k>1，

即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为（t为参数，<α<）.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，

则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

（α为参数，<α<）.

2．(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求△OAB的最大面积．

解：(1)由(t为参数)，得曲线C1的普通方程为y＝xtan α，故曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－2)2＋y2＝4，得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A的坐标为(4cos α，α)(也可写出直角坐标)．

(2)由题意知，点B的极坐标为.

∴S△OAB＝＝

，

当sin＝－1时，(S△OAB)max＝2＋2，

故△OAB的最大面积是2＋2.

3．(2018·辽宁五校协作体联考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数)的距离最短，写出D点的直角坐标．

解：(1)由ρ＝2sin θ，可得ρ2＝2ρsin θ，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

(2)由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t得l的普通方程为x＋y－5＝0，

由(1)得曲线C的圆心为(0,1)，半径为1，

又点(0,1)到直线l的距离为＝2＞1，

所以曲线C与l相离．

因为点D在曲线C上，

所以可设D(cos α，1＋sin α)，则点D到直线l的距离d＝＝，

当sin＝1时，点D到直线l的距离d最短，此时α＝，故点D的直角坐标为.

4．(2019届高三·昆明调研)在平面直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．

(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若|PQ|2＝|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.

解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，

曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y.

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0，

由Δ＝(4cos α)2－4×3＞0，得cos2α＞，

则t1＋t2＝－4cos α，t1·t2＝3，

由参数的几何意义知，

|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|，

|PQ|＝|t1－t2|，

由题意知，(t1－t2)2＝t1·t2，

则(t1＋t2)2＝5t1·t2，得(－4cos α)2＝5×3，

解得cos2α＝，满足cos2α＞，

所以sin2α＝，tan2α＝，

所以直线l的斜率k＝tan α＝±.

5．已知曲线C：(α为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求直线AF2的极坐标方程；

(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求||MF1|－|NF1||的值．

解：(1)曲线C：可化为＋＝1，

故曲线C为椭圆，则焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．

所以经过点A(0，)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x＋＝1，即x＋y－＝0，

所以直线AF2的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝.

(2)由(1)知，直线AF2的斜率为－，因为l⊥AF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30°，

所以直线l的参数方程为(t为参数)，

代入椭圆C的方程中，得13t2－12t－36＝0.

则t1＋t2＝.

因为点M，N在点F1的两侧，

所以||MF1|－|NF1||＝|t1＋t2|＝.

6．(2018·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ(ρ≥0,0≤θ＜π)．

(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；

(2)射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围．

解：(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，

联立得4sin θcos2θ＝sin θ，此时0≤θ＜π，

①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；

②当sin θ≠0时，cos2θ＝，得cos θ＝±，

当cos θ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

当cos θ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

∴C1与C2交点的极坐标为(0,0)，，.

(2)将θ＝β代入C1的极坐标方程中，得ρ1＝4sin β，

代入C2的极坐标方程中，得ρ2＝，

∴＝＝4cos2β.

∵≤β≤，∴1≤4cos2β≤3，

∴的取值范围为[1,3]．

7．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t＞0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos ＝.

 (1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．

解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝2.

因为曲线C的参数方程为(α为参数，t＞0)，

所以曲线C的普通方程为＋y2＝1(t＞0)，

由消去x，得(1＋t2)y2－4y＋4－t2＝0，

所以Δ＝16－4(1＋t2)(4－t2)＜0，

又t＞0，所以0＜t＜，

故t的取值范围为(0，)．

(2)由(1)知直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离

d＝，

故d的最大值为，

由题设得＝＋，

解得t＝±.

又t＞0，所以t＝.

8．(2019届高三·成都诊断)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，θ)，其中θ∈.

(1)求θ的值；

(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值．

解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

∴曲线C的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，

即ρ＝4sin θ.

由ρ＝2，得sin θ＝，

∵θ∈，∴θ＝.

(2)易知直线l的普通方程为x＋y－4＝0，

∴直线l的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0.

又射线OA的极坐标方程为θ＝(ρ≥0)，

联立解得ρ＝4.

∴点B的极坐标为，

∴|AB|＝|ρB－ρA|＝4－2＝2.