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2019版二轮复习数学(理·重点生)通用版讲义:第一部分专题一函数的图象与性质
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专题一 函数的图象与性质
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
________
函数图象的辨识·T3
函数图象的辨识·T7
抽象函数的奇偶性与周期性·T11
2017
利用函数的单调性、奇偶性解不等式·T5
________
分段函数、解不等式·T15
2016
函数图象辨识·T7
函数图象的对称性·T12
__________
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年2考,涉及函数图象的识别以及函数的单调性、奇偶性与不等式的综合问题,试题均出现在选择题上,难度适中,预计2019年会重点考查分段函数的有关性质及应用
卷Ⅱ3年3考,涉及函数图象的辨识以及抽象函数的性质,其中函数图象的识别难度较小,而函数性质难度偏大,均出现在选择题中,预计2019年会以选择题的形式考查分段函数、函数的性质等
卷Ⅲ3年2考,涉及函数图象的辨识、分段函数与不等式的综合问题,既有选择题,也有填空题,难度适中,预计2019年会以选择题的形式考查函数的单调性、奇偶性等性质
横向把握重点
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,多以选择题、填空题形式考查,一般出现在第5~10或第13~15题的位置上,难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.
2.此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题结合命题,难度较大.
函数的概念及表示
[题组全练]
1.(2018·长春质检)函数y=+的定义域是( )
A.[-1,0)∪(0,1) B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-1,0)∪(0,1] D.(-1,0)∪(0,1)
解析:选D 由题意得
解得-1
所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).
2.已知函数f (x)=则f (-2 018)=( )
A.1 B.e
C. D.e2
解析:选D 由已知可得,当x>2时,f (x)=f (x-4),故f (x)在x>-2时的周期为4,则f (-2 018)=f (2 018)=f (2 016+2)=f (2)=e2.
3.设f (x)=若f (a)=f (a+1),则f =( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选C 当0<a<1时,a+1>1,f (a)=,f (a+1)=2(a+1-1)=2a,∵f (a)=f (a+1),∴=2a,
解得a=或a=0(舍去).
∴f =f (4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1≥2,∴f (a)=2(a-1),
f (a+1)=2(a+1-1)=2a,∴2(a-1)=2a,无解.
综上,f =6.
4.已知函数f (x)=则f (f (x))<2的解集为________.
解析:因为当x≥1时,f (x)=x3+x≥2,当x<1时,f (x)=2ex-1<2,所以f (f (x))<2等价于f (x)<1,即2ex-1<1,解得x<1-ln 2,所以f (f (x))<2的解集为(-∞,1-ln 2).
答案:(-∞,1-ln 2)
5.(2018·成都模拟)设函数f :R→R满足f (0)=1,且对任意x,y∈R都有f (xy+1)=f (x)f (y)-f (y)-x+2,则f (2 018)=________.
解析:令x=y=0,则f (1)=f (0)f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2.
令y=0,则f (1)=f (x)f (0)-f (0)-x+2.
将f (0)=1,f (1)=2代入,得f (x)=1+x,
所以f (2 018)=2 019.
答案:2 019
[系统方法]
1.函数定义域的求法
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出解集即可.
2.分段函数问题的4种常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
必须依据条件找到函数满足的性质,利用该性质求解
函数的图象及应用
[由题知法]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)=的图象大致为( )
(2)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m 的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f (t)的图象大致为( )
(3)已知函数f (x)=若存在x1,x2,当0≤x1
[解析] (1)∵y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,
∴f (x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.
当x=1时,f (1)=e->0,排除D选项.
又e>2,∴<,
∴e->1,排除C选项.故选B.
(2)如图,设∠MON=α,由弧长公式知x=α.
在Rt△AOM中,|AO|=1-t,
cos==1-t,
∴y=cos x=2cos2-1=2(1-t)2-1.又0≤t≤1,故选 B.
(3)画出函数大致图象如图所示.
由图象知,-≤x1<,≤x2<1,x1+=2x2-1,于是x1f (x2)=x12x2-1=x1,-≤x1<,转化为关于x1的二次函数在给定区间上的值域问题,易得x1f (x2)的取值范围是.
[答案] (1)B (2)B (3)
[类题通法]
1.由函数解析式识别函数图象的策略
2.根据动点变化过程确定其函数图象的策略
(1)先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象.
(2)采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征,从而作出选择.
(3)根据动点中变量变化时,对因变量变化的影响,结合选项中图象的变化趋势作出判断.
[应用通关]
1.(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )
解析:选D 法一:令f (x)=-x4+x2+2,
则f ′(x)=-4x3+2x,
令f ′(x)=0,得x=0或x=±,
则f ′(x)>0的解集为∪,
f (x)单调递增;f ′(x)<0的解集为∪,+∞,f (x)单调递减,结合图象知选D.
法二:当x=1时,y=2,所以排除A、B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=2>2,所以排除C选项.故选D.
2.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则y=f (x)的图象大致为( )
解析:选B 当x∈时,f (x)=tan x+,图象不会是直线段,从而排除A、C.当x∈时,f =f =1+,f =2.
∵2<1+,∴f
3.已知f (x)=2x-1,g(x)=1-x2.规定:当|f (x)|≥g(x)时,h(x)=|f (x)|;当|f (x)|
A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值
C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值
解析:选C 作出函数g(x)=1-x2和函数|f (x)|=|2x-1|的图象如图①所示,得到函数h(x)的图象如图②所示,由图象得函数h(x)有最小值-1,无最大值.
函数的性质及应用
[由题知法]
(1)(2018·石家庄质检)已知函数f (x)为奇函数,当x>0时,f (x)单调递增,且f (1)=0,若f (x-1)>0,则x的取值范围为( )
A.(0,1)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)(2018·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f (x),满足f (x+5)=f (x),当x∈(-3,0]时,f (x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f (x)=log2x,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)的值等于( )
A.403 B.405
C.806 D.809
(3)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+3)=f (x),且当x∈时,f (x)=-x3,则f =________.
[解析] (1)由于函数f (x)是奇函数,且当x>0时f (x)单调递增,f (1)=0,所以f (-1)=0,故由f (x-1)>0,得-11,所以02,故选A.
(2)定义在R上的函数f (x),满足f (x+5)=f (x),即函数f (x)的周期为5.
又当x∈(0,2]时,f (x)=log2x,所以f (1)=log21=0,f (2)=log22=1.
当x∈(-3,0]时,f (x)=-x-1,
所以f (3)=f (-2)=1,f (4)=f (-1)=0,
f (5)=f (0)=-1.
所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)
=403×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)]+f (2 016)+f (2 017)+f (2 018)
=403×1+f (1)+f (2)+f (3)=403+0+1+1=405.
(3)由f (x+3)=f (x)知函数f (x)的周期为3,
又函数f (x)为奇函数,
所以f =f =-f =3=.
[答案] (1)A (2)B (3)
[类题通法] 函数性质的应用技巧
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f (x)的性质:f (|x|)=f (x)
单调性
可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解
对称性
利用其轴对称或中心对称可将研究的问题,转化到另一对称区间上研究
[应用通关]
1.(2018·贵阳模拟)已知函数f (x)=,则下列结论正确的是( )
A.函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称
B.函数f (x)在(-∞,1)上是增函数
C.函数f (x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴
D.函数f (x)的图象关于直线x=1对称
解析:选A 因为y===+2,所以该函数图象可以由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,所以函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称,A正确,D错误.易知函数f (x)在(-∞,1)上单调递减,故B错误.易知函数f (x)的图象是由y=的图象平移得到的,所以不存在两点A,B使得直线AB∥x轴,C错误.故选A.
2.(2019届高三·惠州调研)已知函数y=f (x)的定义域为R,且满足下列三个条件:
①对任意的x1,x2∈[4,8],当x10恒成立;②f (x+4)=-f (x);③y=f (x+4)是偶函数.若a=f (6),b=f (11),c=f (2 017),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a C.a
解析:选B 由①知函数f (x)在区间[4,8]上为单调递增函数;由②知f (x+8)=-f (x+4)=f (x),即函数f (x)的周期为8,所以c=f (2 017)=f (252×8+1)=f (1),b=f (11)=f (3);由③可知函数f (x)的图象关于直线x=4对称,所以b=f (3)=f (5),c=f (1)=f (7).因为函数f (x)在区间[4,8]上为单调递增函数,所以f (5)
3.(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f (1-x)=f (1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=( )
A.-50 B.0
C.2 D.50
解析:选C 法一:∵f (x)是奇函数,∴f (-x)=-f (x),
∴f (1-x)=-f (x-1).
由f (1-x)=f (1+x),得-f (x-1)=f (x+1),
∴f (x+2)=-f (x),
∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x),
∴函数f (x)是周期为4的周期函数.
由f (x)为奇函数得f (0)=0.
又∵f (1-x)=f (1+x),
∴f (x)的图象关于直线x=1对称,
∴f (2)=f (0)=0,∴f (-2)=0.
又f (1)=2,∴f (-1)=-2,
∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=f (1)+f (2)+f (-1)+f (0)=2+0-2+0=0,
∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (49)+f (50)
=0×12+f (49)+f (50)
=f (1)+f (2)=2+0=2.
法二:由题意可设f (x)=2sin,作出f (x)的部分图象如图所示.由图可知,f (x)的一个周期为4,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=12[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (49)+f (50)=12×0+f (1)+f (2)=2.
重难增分(一)
函数图象与性质的综合应用
[典例细解]
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)(x∈R)满足f (-x)=2-f (x),若函数y=与y=f (x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0 B.m
C.2m D.4m
[学解题]
法一:利用函数的对称性(学生用书不提供解题过程)
因为f (-x)=2-f (x),所以f (-x)+f (x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f (x)的图象关于点(0,1)对称.函数y==1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=与y=f (x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以i=0,i=2×=m,所以(xi+yi)=m.
法二:构造特殊函数(学生用书提供解题过程)
因为f (-x)=2-f (x),
所以f (-x)+f (x)=2.
因为=0,=1,
所以函数y=f (x)的图象关于点(0,1)对称.
可设y=f (x)=x+1,由得交点(-1,0),(1,2),则x1+y1+x2+y2=2,
结合选项,应选B.
[答案] B
[启思维] 本题考查了抽象函数的性质及图象对称性的应用.由于题目条件中的f (x)没有具体的解析式,仅给出了它满足的性质f (-x)=2-f (x),即f (x)(x∈R)为抽象函数,显然我们不可能求出这些交点的坐标,这说明这些交点坐标应满足某种规律,而这种规律必然和这两个函数的性质有关.易知函数y=关于点(0,1)成中心对称,自然而然的让我们有这样的想法:函数f (x)(x∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称?基于这个想法及选择题的特点,那么解题方向不外乎两个:一是判断f (x)的对称性,利用两个函数的对称性求解;二是构造一个具体的函数f (x)来求解.
已知直线l与曲线y=x3-x2+x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|=|AC|,则(xi+yi)=( )
A.4 B.5
C.6 D.7
[解析] 易知y′=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以函数y=x3-x2+x+1在R上单调递增.函数y=x3-x2+x+1的图象如图所示,y=x3-x2+x+1=(x-1)3+,易知曲线关于点对称,因为直线l与y=x3-x2+x+1的图象交于不同的三个点,且满足|AB|=|AC|,故B,C两点一定关于点A对称,故A,则有得故(xi+yi)=x1+y1+x2+y2+x3+y3=1++2+==7,选 D.
[答案] D
[启思维] 本题主要考查函数的图象与性质,解此类问题常利用函数的性质作出函数图象,数形结合法解题.
[知能升级]
1.解决抽象函数问题的2个常用方法
性质法
先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质,这样函数就不再抽象了,而是变得相对具体,我们就可以画出符合性质的草图来解题
特殊值法
根据对题目给出的抽象的函数性质的理解,我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值,把抽象函数问题化为具体的数学问题,从而问题得解
2.解决抽象函数问题常用的几个结论
(1)函数y=f (x)关于x=a对称⇔f (a+x)=f (a-x)⇔f (x)=f (2a-x);
(2)函数y=f (x)关于点(a,0)对称⇔f (a+x)+f (a-x)=0⇔f (2a+x)+f (-x)=0;
(3)y=f (x+a)是偶函数⇔函数y=f (x)关于直线x=a对称;y=f (x+a)是奇函数⇔函数y=f (x)关于(a,0)对称.
(4)对于函数f (x)定义域内任一自变量的值x:
①若f (x+a)=-f (x),则T=2a;
②若f (x+a)=,则T=2a;
③若f (x+a)=-,则T=2a;(a>0)
④若f (x+a)=f (x+b)(a≠b),则T=|a-b|;
⑤若f (2a-x)=f (x)且f (2b-x)=f (x)(a≠b),则T=2|b-a|.
[增分集训]
1.定义在R上的函数y=f (x)为减函数,且函数y=f (x-1)的图象关于点(1,0)对称.若f (x2-2x)+f (2b-b2)≤0,且0≤x≤2,则x-b的取值范围是( )
A.[-2,0] B.[-2,2]
C.[0,2] D.[0,4]
解析:选B 设P(x,y)为函数y=f (x-1)的图象上的任意一点,P关于点(1,0)对称的点为(2-x,-y),∴f (2-x-1)=-f (x-1),即f (1-x)=-f (x-1).∴不等式f (x2-2x)+f (2b-b2)≤0可化为f (x2-2x)≤-f (2b-b2)=f (1-1-2b+b2)=f (b2-2b).∵函数y=f (x)为定义在R上的减函数,∴x2-2x≥b2-2b,即(x-1)2≥(b-1)2.∵0≤x≤2,∴或
画出可行域如图中阴影部分所示.
设x-b=z,则b=x-z,由图可知,当直线b=x-z经过点(0,2)时,z取得最小值-2;当直线b=x-z经过点(2,0)时,z取得最大值2.综上可得,x-b的取值范围是[-2,2].
2.(2018·沈阳模拟)设f (x)是定义在R上的偶函数,F(x)=(x+2)3f (x+2)-17,G(x)=-,若F(x)的图象与G(x)的图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=________.
解析:∵f (x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)=x3f (x)是定义在R上的奇函数,其图象关于原点中心对称,∴函数F(x)=(x+2)3f (x+2)-17=g(x+2)-17的图象关于点(-2,-17)中心对称.又函数G(x)=-=-17的图象也关于点(-2,-17)中心对称,∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(-2,-17)中心对称,∴x1+x2+…+xm=×(-2)×2=-2m,y1+y2+…+ym=×(-17)×2=-17m,∴(xi+yi)=(x1+x2+…+xm)+(y1+y2+…+ym)=-19m.
答案:-19m
重难增分(二)
新定义下的函数问题
[典例细解]
我们将具有性质f =-f (x)的函数,称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:①f (x)=ln;②f (x)=;③f (x)=
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
[解析] 对于①,因为f =ln=ln≠-f (x),所以不满足“倒负”变换;
对于②,因为f ===-f (x),所以满足“倒负”变换;
对于③,因为f =即f =所以f =-f (x),故满足“倒负”变换.综上可知,选C.
[答案] C
[启思维] 本题是在现有函数的图象与性质的基础上定义的一种新的函数性质,考查在新情境下,灵活运用有关函数知识求解“新定义”类数学问题的能力.求解本题的关键是先准确写出f 的表达式,并加以整理,再具体考虑f 与-f (x)是否相等.
设函数f (x)的定义域为D,若f (x)满足条件:存在[a,b]⊆D(a A. B.
C. D.
[解析] f (x)=log2(4x+t)为增函数,且存在[a,b]⊆D(a 则即
所以a,b是方程4x-2x+t=0的两个不等的实根.
设2x=m(m>0),
则方程m2-m+t=0有两个不等的实根,且两根都大于0,所以解得0
[答案] D
[启思维] (1)本题是一个新定义问题,读懂题意后,即可由函数f (x)=log2(4x+t)为“优美函数”,得到关于a,b的方程组,并构造出以a,b为实数根的方程.
(2)在应用换元法解题时,一定要注意挖掘隐含条件,确定新元的取值范围,以防在解题过程中出现非等价转化.
[知能升级]
1.函数新定义问题的常见形式
(1)讨论新函数的性质;
(2)利用新函数进行运算;
(3)判断新函数的图象;
(4)利用新概念判断命题真假等.
2.函数新定义问题的解题思路
理解定义
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件,将定义、性质等与所求之间建立联系
合理转化
将题目中的新函数与已学函数联系起来,仔细阅读已知条件进行分析,通过类比已学函数的性质、图象解决问题,或将新函数转化为已学函数的复合函数等形式解决问题
特值思想
如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立,那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式,进而解决问题
[增分集训]
1.(2018·武汉模拟)若存在正实数a,b,使得∀x∈R有f (x+a)≤f (x)+b恒成立,则称f (x)为“限增函数”.给出以下三个函数:①f (x)=x2+x+1;②f (x)=;③f (x)=sin(x2),其中是“限增函数”的是( )
A.①② B.②③
C.①③ D.③
解析:选B 对于①,f (x+a)≤f (x)+b,即(x+a)2+(x+a)+1≤x2+x+1+b,即2ax≤-a2-a+b,x≤对一切x∈R恒成立,显然不存在这样的正实数a,b.对于②,f (x)=,即≤+b,|x+a|≤|x|+b2+2b,而|x+a|≤|x|+a,∴|x|+a≤|x|+b2+2b,则≥,显然,当a≤b2时式子恒成立,∴f (x)=是“限增函数”.对于③,f (x)=sin(x2),-1≤f (x)=sin(x2)≤1,故f (x+a)-f (x)≤2,当b≥2时,对于任意的正实数a,b都成立.故选B.
2.对于函数f (x)和g(x),设α∈{x|f (x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f (x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f (x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是( )
A.[2,4] B.
C. D.[2,3]
解析:选D ∵f ′(x)=ex-1+1>0,∴f (x)=ex-1+x-2是增函数.又f (1)=0,∴函数f (x)的零点为x=1,∴α=1,∴|1-β|≤1,∴0≤β≤2,∴函数g(x)=x2-ax-a+3在区间[0,2]上有零点.由g(x)=0,得a=(0≤x≤2),即a==(x+1)+-2(0≤x≤2),设x+1=t(1≤t≤3),则a=t+-2(1≤t≤3),令h(t)=t+-2(1≤t≤3),易知h(t)在区间[1,2)上是减函数,在区间(2,3]上是增函数,∴2≤h(t)≤3,即2≤a≤3,故选D.
3.对任意实数a,b定义运算“⊗”:a⊗b=设f (x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f (x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,1) B.[0,1]
C.[-2,0) D.[-2,1)
解析:选D 当x2-1≥4+x+1,即x≤-2或x≥3时,f (x)=4+x;当x2-1<4+x+1,即-2
[专题跟踪检测]
一、全练保分考法——保大分
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=-x3 B.y=ln |x|
C.y=cos x D.y=2-|x|
解析:选D 显然函数y=2-|x|是偶函数,当x>0时,y=2-|x|=|x|=x,函数y=x在区间(0,+∞)上是减函数.故选D.
2.(2018·贵阳模拟)若函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f (x)=log2(x+2)-1,则f (-6)=( )
A.2 B.4
C.-2 D.-4
解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log2(6+2)=1-log28=-2.故选C.
3.(2018·长春质检)已知函数f (x)=则函数f (x)的值域为( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C. D.R
解析:选B 法一:当x<-1时,f (x)=x2-2∈(-1,+∞);当x≥-1时,f (x)=2x-1∈,综上可知,函数f (x)的值域为(-1,+∞).故选B.
法二:作出分段函数f (x)的图象(图略)可知,该函数的值域为(-1,+∞),故选B.
4.(2018·陕西质检)设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f (x)=|x|sgn x的图象大致是( )
解析:选C 由符号函数解析式和绝对值运算,可得f (x)=x,选C.
5.(2018·濮阳二模)若f (x)=是奇函数,则f (g(-2))的值为( )
A. B.-
C.1 D.-1
解析:选C ∵f (x)=是奇函数,
∴x<0时,g(x)=-+3,
∴g(-2)=-+3=-1,
f (g(-2))=f (-1)=-f (1)=1.故选C.
6.(2018·葫芦岛一模)设偶函数f (x)对任意x∈R,都有f (x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f (x)=4x,则f (107.5)=( )
A.10 B.
C.-10 D.-
解析:选B 因为f (x+3)=-,所以f (x+6)=-=-=f (x),所以函数f (x)是以6为周期的函数,f (107.5)=f (6×17+5.5)=f (5.5)=-=-=-=.故选B.
7.(2019届高三·合肥调研)函数f (x)=(ex-e-x)的图象大致是( )
解析:选D 因为f (x)=(ex-e-x)(x≠0),所以f (-x)=(e-x-ex)=(ex-e-x)·=f (x),所以f (x)是偶函数,排除选项A、C;因为函数f (x)在(0,+∞)上是增函数,所以排除选项B,故选D.
8.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿ABCM运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f (x)的图象的形状大致是图中的( )
解析:选A 根据题意得
f (x)=
画出分段函数图象可知A正确.
9.(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知奇函数f (x)满足f (x+1)=f (1-x),若当x∈(-1,1)时,f (x)=lg,且f (2 018-a)=1,则实数a的值可以是( )
A. B.
C.- D.-
解析:选A ∵f (x+1)=f (1-x),∴f (x)=f (2-x).又函数f (x)为奇函数,∴f (-x)=-f (x),∴f (-x)=-f (2-x),∴f (2+x)=-f (x),∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x),∴函数f (x)为周期函数,且周期为4.当x∈(-1,1)时,令f (x)=lg=1,得x=,又f (2 018-a)=f (2-a)=f (a),∴a可以是.
10.已知函数f (x)=则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=( )
A.2 018 B.1 513
C.1 009 D.
解析:选D ∵函数f (x)=
∴f (1)=f (-1)=2-1,f (2)=f (0)=20,f (3)=f (1)=2-1,…,
∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=1 009×f (-1)+1 009×f (0)=1 009×2-1+1 009×20=.故选D.
11.(2018·郴州二模)已知函数f (x)=ex-,其中e是自然对数的底数.则关于x的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为( )
A.∪(2,+∞) B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞) D.(-∞,2)
解析:选B ∵函数f (x)=ex-=ex-e-x满足f (-x)=-f (x),
∴f (x)为奇函数且是单调递增函数,
关于x的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0,
即为f (2x-1)>f (x+1),
∴2x-1>x+1,
解得x>2,故选B.
12.(2018·陕西二模)已知函数f (x)=ex+2(x<0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A. B.(-∞,e)
C. D.
解析:选B 由题意知,方程f (-x)-g(x)=0在(0,+∞)上有解,
即e-x+2-ln(x+a)-2=0在(0,+∞)上有解,
即函数y=e-x的图象与y=ln(x+a)
的图象在(0,+∞)上有交点,
函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象向左平移a个单位得到的,当y=ln x向左平移且平移到过点(0,1)后开始,两函数的图象有交点,
把点(0,1)代入y=ln(x+a)得,1=ln a,
∴a=e,∴a
13.已知f (x)是定义在R上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x∈[-3,0]时,f (x)=6-x,则f (919)=________.
解析:∵f (x+4)=f (x-2),∴f (x+6)=f (x),
∴f (x)的周期为6,
∵919=153×6+1,∴f (919)=f (1).
又f (x)为偶函数,
∴f (919)=f (1)=f (-1)=6.
答案:6
14.(2018·陕西质检)若函数f (x)=ax+b,x∈[a-4,a]的图象关于原点对称,则函数g(x)=bx+,x∈[-4,-1]的值域为________.
解析:由函数f (x)的图象关于原点对称,可得a-4+a=0,即a=2,则函数f (x)=2x+b,其定义域为[-2,2],所以f (0)=0,所以b=0,所以g(x)=,易知g(x)在[-4,-1]上单调递减,故值域为[g(-1),g(-4)],即.
答案:
15.(2018·青岛一模)定义在R上的函数f (x)满足f (x)=
则f (2 009)的值为______.
解析:∵f (2 009)=f (2 008)-f (2 007)=[f (2 007)-f (2 006)]-f (2 007)=-f (2 006),
即当x>3时满足f (x)=-f (x-3)=f (x-6),函数f (x)的周期为6.
∴f (2 009)=f (334×6+5)=f (5)=f (-1).
∵当x≤0时f (x)=log2(1-x),∴f (-1)=1,
∴f (2 009)=f (-1)=1.
答案:1
16.已知函数f (x)=e|x|,函数g(x)=对任意的x∈[1,m](m>1),都有f (x-2)≤g(x),则m的取值范围是__________.
解析:作出函数y=h(x)=e|x-2|和y=g(x)的图象,如图所示,由图可知当x=1时,h(1)=g(1),又当x=4时,h(4)=e24时,由ex-2≤4e5-x,得e2x-7≤4,即2x-7≤ln 4,解得x≤+ln 2,又m>1,∴1
答案:
17.设函数f (x)=若函数f (x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为________.
解析:画出函数f (x)的图象如图所示,结合图象易得,当m∈[-8,-1]时,f (x)∈[-1,2],故实数m的取值范围为[-8,-1].
答案:[-8,-1]
18.设函数f (x)=1-,g(x)=ln(ax2-2x+1),若对任意的x1∈R,都存在实数x2,使得f (x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围为________.
解析:设g(x)=ln(ax2-2x+1)的值域为A,
∵f (x)=1-在R上的值域为(-∞,0],
∴(-∞,0]⊆A,
∴h(x)=ax2-2x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h(0)=1,
∴实数a需要满足a≤0或解得a≤1.
∴实数a的取值范围是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
19.已知函数f (x)=(p>1),若对于任意a,b,c∈R,都有f (a)+f (b)>f (c)成立,则实数m的取值范围是________.
解析:因为f (x)==1+,
所以当m>1时,函数f (x)在R上是减函数,函数f (x)的值域为(1,m),
所以f (a)+f (b)>2,f (c)
因为f (a)+f (b)>f (c)对任意的a,b,c∈R恒成立,所以m≤2,所以1
当m=1时,f (x)=1,f (a)+f (b)=2>f (c)=1,满足题意.
当m<1时,函数f (x)在R上是增函数,函数f (x)的值域为(m,1),
所以f (a)+f (b)>2m,f (c)<1,所以2m≥1,
所以m≥,所以≤m<1.
综上可知,≤m≤2,故所求实数m的取值范围是.
答案:
20.已知函数f (x)=若f (x)的值域为R,则实数a的取值范围是________.
解析:依题意,当x≥1时,f (x)=1+log2x单调递增,f (x)=1+log2x在区间[1,+∞)上的值域是[1,+∞).因此,要使函数f (x)的值域是R,则需函数f (x)在(-∞,1)上的值域M⊇(-∞,1).
①当a-1<0,即a<1时,函数f (x)在(-∞,1)上单调递减,函数f (x)在(-∞,1)上的值域M=(-a+3,+∞),显然此时不能满足M⊇(-∞,1),因此a<1不满足题意;
②当a-1=0,即a=1时,函数f (x)在(-∞,1)上的值域M={2},此时不能满足M⊇(-∞,1),因此a=1不满足题意;
③当a-1>0,即a>1时,函数f (x)在(-∞,1)上单调递增,函数f (x)在(-∞,1)上的值域M=(-∞,-a+3),由M⊇(-∞,1)得解得1 综上所述,满足题意的实数a的取值范围是(1,2].
答案:(1,2]
二、强化压轴考法——拉开分
1.(2018·惠州第一次调研)已知定义域为R的偶函数f (x)在(-∞,0]上是减函数,且f (1)=2,则不等式f (log2x)>2的解集为( )
A.(2,+∞) B.∪(2,+∞)
C.∪(,+∞) D.(,+∞)
解析:选B 因为f (x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f (x)在[0,+∞)上是增函数.因为f (1)=2,所以f (-1)=2,所以f (log2x)>2⇔f (|log2x|)>f (1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<-1⇔x>2或0
2.(2019届高三·太原模拟)已知函数f (x)是偶函数,f (x+1)是奇函数,且对于任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f (x1)-f (x2)]<0,设a=f ,b=-f ,c=f ,则下列结论正确的是( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
解析:选B 法一:因为函数f (x)是偶函数,f (x+1)是奇函数,所以f (-x)=f (x),f (-x+1)=-f (x+1),所以f (x-1)=-f (x+1),所以f (x)=-f (x+2),所以f (x)=f (x+4),所以a=f =f =f ,b=-f =f ,c=f =f ,又对于任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)·[f (x1)-f (x2)]<0,所以f (x)在[0,1]上是减函数,因为<<,所以b>a>c,故选B.
法二:因为函数f (x)是偶函数,f (x+1)是奇函数,且对于任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f (x1)-f (x2)]<0,即f (x)在[0,1]上是减函数,不妨取f (x)=cosx,则a=f =cos=cos,b=-f =-cos=cos,c=f =cos=cos,因为函数y=cos x在[0,1]上是减函数,且<<<1,所以b>a>c,故选B.
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)=则满足f (x+1)
A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
解析:选D 法一:①当即x≤-1时,
f (x+1)
即-(x+1)<-2x,解得x<1.
因此不等式的解集为(-∞,-1].
②当时,不等式组无解.
③当即-1
f (x+1)
因此不等式的解集为(-1,0).
④当即x>0时,f (x+1)=1,f (2x)=1,不合题意.
综上,不等式f (x+1)
法二:∵f (x)=
∴函数f (x)的图象如图所示.
结合图象知,要使f (x+1)
则需或
∴x<0,故选D.
4.已知函数y=f (x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f (x+4)=f (x)+f (2)成立,且f (3)=-1,当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有>0.给出下列命题:①f (221)=-1;②函数y=f (x)图象的一条对称轴方程为x=-4;③函数y=f (x)在[-6,-4]上为减函数;④方程f (x)=0在[-6,6]上有4个根.
其中正确的命题个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选D 令x=-2,由f (x+4)=f (x)+f (2)得f (-2)=0.因为函数y=f (x)是R上的偶函数,所以f (2)=f (-2)=0,所以f (x+4)=f (x),即函数y=f (x)是以4为周期的周期函数,所以f (221)=f (55×4+1)=f (1).因为f (3)=-1,所以f (-3)=f (1)=-1,从而f (221)=-1,①正确.因为函数图象关于y轴对称,函数的周期为4,所以函数y=f (x)图象的一条对称轴方程为x=-4,②正确.因为当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有>0,设x1
综上所述,四个命题都正确.故选D.
5.(2018·长沙模拟)定义运算:xy=例如:34=3,(-2)4=4,则函数f (x)=x2(2x-x2)的最大值为________.
解析:由已知得f (x)=x2(2x-x2)=
=
画出函数f (x)的大致图象(图略)可知,函数f (x)的最大值为4.
答案:4
6.(2019届高三·石家庄检测)已知定义域为R的函数f (x)是奇函数,当x≥0时,f (x)=|x-a2|-a2,且对x∈R,恒有f (x+1)≥f (x),则实数a的取值范围为________.
解析:定义域为R的函数f (x)是奇函数,
当x≥0时,f (x)=|x-a2|-a2=
作出函数f (x)的图象如图所示.
当x<0时,函数的最大值为a2,
∵对x∈R,恒有f (x+1)≥f (x),
要满足f (x+1)≥f (x),1要大于等于[-a2,3a2]的区间长度3a2-(-a2),
∴1≥3a2-(-a2),解得-≤a≤.
答案:
7.已知函数y=f (x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f (x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y=f (x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f (x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是________.
解析:∵函数y=f (x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,∴F(x)=f (-x)=|2-x-t|.
∵区间[1,2]为函数f (x)=|2x-t|的“不动区间”,
∴函数f (x)=|2x-t|和函数F(x)=|2-x-t|在[1,2]上单调性相同.
∵y=2x-t和函数y=2-x-t的单调性相反.
∴(2x-t)(2-x-t)≤0在[1,2]上恒成立,
即2-x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,
即≤t≤2.
答案:
8.定义在R上的函数f (x)在(-∞,-2)上是增函数,且f (x-2)是偶函数,若对一切实数x,不等式f (2sin x-2)>f (sin x-1-m)恒成立,则实数m的取值范围为______________.
解析:因为f (x-2)是偶函数,
所以函数f (x)的图象关于x=-2对称.
又f (x)在(-∞,-2)上为增函数,
则f (x)在(-2,+∞)上为减函数,
所以不等式f (2sin x-2)>f (sin x-1-m)恒成立等价于|2sin x-2+2|<|sin x-1-m+2|,
即|2sin x|<|sin x+1-m|,两边同时平方,
得3sin2x-2(1-m)sin x-(1-m)2<0,
即(3sin x+1-m)(sin x-1+m)<0,
即或
即或
即或
即m<-2或m>4,
故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(4,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)
专题一 函数的图象与性质
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
________
函数图象的辨识·T3
函数图象的辨识·T7
抽象函数的奇偶性与周期性·T11
2017
利用函数的单调性、奇偶性解不等式·T5
________
分段函数、解不等式·T15
2016
函数图象辨识·T7
函数图象的对称性·T12
__________
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年2考,涉及函数图象的识别以及函数的单调性、奇偶性与不等式的综合问题,试题均出现在选择题上,难度适中,预计2019年会重点考查分段函数的有关性质及应用
卷Ⅱ3年3考,涉及函数图象的辨识以及抽象函数的性质,其中函数图象的识别难度较小,而函数性质难度偏大,均出现在选择题中,预计2019年会以选择题的形式考查分段函数、函数的性质等
卷Ⅲ3年2考,涉及函数图象的辨识、分段函数与不等式的综合问题,既有选择题,也有填空题,难度适中,预计2019年会以选择题的形式考查函数的单调性、奇偶性等性质
横向把握重点
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,多以选择题、填空题形式考查,一般出现在第5~10或第13~15题的位置上,难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断.
2.此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题结合命题,难度较大.
函数的概念及表示
[题组全练]
1.(2018·长春质检)函数y=+的定义域是( )
A.[-1,0)∪(0,1) B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-1,0)∪(0,1] D.(-1,0)∪(0,1)
解析:选D 由题意得
解得-1
2.已知函数f (x)=则f (-2 018)=( )
A.1 B.e
C. D.e2
解析:选D 由已知可得,当x>2时,f (x)=f (x-4),故f (x)在x>-2时的周期为4,则f (-2 018)=f (2 018)=f (2 016+2)=f (2)=e2.
3.设f (x)=若f (a)=f (a+1),则f =( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:选C 当0<a<1时,a+1>1,f (a)=,f (a+1)=2(a+1-1)=2a,∵f (a)=f (a+1),∴=2a,
解得a=或a=0(舍去).
∴f =f (4)=2×(4-1)=6.
当a≥1时,a+1≥2,∴f (a)=2(a-1),
f (a+1)=2(a+1-1)=2a,∴2(a-1)=2a,无解.
综上,f =6.
4.已知函数f (x)=则f (f (x))<2的解集为________.
解析:因为当x≥1时,f (x)=x3+x≥2,当x<1时,f (x)=2ex-1<2,所以f (f (x))<2等价于f (x)<1,即2ex-1<1,解得x<1-ln 2,所以f (f (x))<2的解集为(-∞,1-ln 2).
答案:(-∞,1-ln 2)
5.(2018·成都模拟)设函数f :R→R满足f (0)=1,且对任意x,y∈R都有f (xy+1)=f (x)f (y)-f (y)-x+2,则f (2 018)=________.
解析:令x=y=0,则f (1)=f (0)f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2.
令y=0,则f (1)=f (x)f (0)-f (0)-x+2.
将f (0)=1,f (1)=2代入,得f (x)=1+x,
所以f (2 018)=2 019.
答案:2 019
[系统方法]
1.函数定义域的求法
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出解集即可.
2.分段函数问题的4种常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
必须依据条件找到函数满足的性质,利用该性质求解
函数的图象及应用
[由题知法]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)=的图象大致为( )
(2)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m 的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f (t)的图象大致为( )
(3)已知函数f (x)=若存在x1,x2,当0≤x1
∴f (x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.
当x=1时,f (1)=e->0,排除D选项.
又e>2,∴<,
∴e->1,排除C选项.故选B.
(2)如图,设∠MON=α,由弧长公式知x=α.
在Rt△AOM中,|AO|=1-t,
cos==1-t,
∴y=cos x=2cos2-1=2(1-t)2-1.又0≤t≤1,故选 B.
(3)画出函数大致图象如图所示.
由图象知,-≤x1<,≤x2<1,x1+=2x2-1,于是x1f (x2)=x12x2-1=x1,-≤x1<,转化为关于x1的二次函数在给定区间上的值域问题,易得x1f (x2)的取值范围是.
[答案] (1)B (2)B (3)
[类题通法]
1.由函数解析式识别函数图象的策略
2.根据动点变化过程确定其函数图象的策略
(1)先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象.
(2)采用“以静观动”,即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征,从而作出选择.
(3)根据动点中变量变化时,对因变量变化的影响,结合选项中图象的变化趋势作出判断.
[应用通关]
1.(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )
解析:选D 法一:令f (x)=-x4+x2+2,
则f ′(x)=-4x3+2x,
令f ′(x)=0,得x=0或x=±,
则f ′(x)>0的解集为∪,
f (x)单调递增;f ′(x)<0的解集为∪,+∞,f (x)单调递减,结合图象知选D.
法二:当x=1时,y=2,所以排除A、B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=2>2,所以排除C选项.故选D.
2.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f (x),则y=f (x)的图象大致为( )
解析:选B 当x∈时,f (x)=tan x+,图象不会是直线段,从而排除A、C.当x∈时,f =f =1+,f =2.
∵2<1+,∴f
C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值
解析:选C 作出函数g(x)=1-x2和函数|f (x)|=|2x-1|的图象如图①所示,得到函数h(x)的图象如图②所示,由图象得函数h(x)有最小值-1,无最大值.
函数的性质及应用
[由题知法]
(1)(2018·石家庄质检)已知函数f (x)为奇函数,当x>0时,f (x)单调递增,且f (1)=0,若f (x-1)>0,则x的取值范围为( )
A.(0,1)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)∪(3,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
(2)(2018·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f (x),满足f (x+5)=f (x),当x∈(-3,0]时,f (x)=-x-1,当x∈(0,2]时,f (x)=log2x,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)的值等于( )
A.403 B.405
C.806 D.809
(3)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+3)=f (x),且当x∈时,f (x)=-x3,则f =________.
[解析] (1)由于函数f (x)是奇函数,且当x>0时f (x)单调递增,f (1)=0,所以f (-1)=0,故由f (x-1)>0,得-1
(2)定义在R上的函数f (x),满足f (x+5)=f (x),即函数f (x)的周期为5.
又当x∈(0,2]时,f (x)=log2x,所以f (1)=log21=0,f (2)=log22=1.
当x∈(-3,0]时,f (x)=-x-1,
所以f (3)=f (-2)=1,f (4)=f (-1)=0,
f (5)=f (0)=-1.
所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)
=403×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)]+f (2 016)+f (2 017)+f (2 018)
=403×1+f (1)+f (2)+f (3)=403+0+1+1=405.
(3)由f (x+3)=f (x)知函数f (x)的周期为3,
又函数f (x)为奇函数,
所以f =f =-f =3=.
[答案] (1)A (2)B (3)
[类题通法] 函数性质的应用技巧
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f (x)的性质:f (|x|)=f (x)
单调性
可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解
对称性
利用其轴对称或中心对称可将研究的问题,转化到另一对称区间上研究
[应用通关]
1.(2018·贵阳模拟)已知函数f (x)=,则下列结论正确的是( )
A.函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称
B.函数f (x)在(-∞,1)上是增函数
C.函数f (x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴
D.函数f (x)的图象关于直线x=1对称
解析:选A 因为y===+2,所以该函数图象可以由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,所以函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称,A正确,D错误.易知函数f (x)在(-∞,1)上单调递减,故B错误.易知函数f (x)的图象是由y=的图象平移得到的,所以不存在两点A,B使得直线AB∥x轴,C错误.故选A.
2.(2019届高三·惠州调研)已知函数y=f (x)的定义域为R,且满足下列三个条件:
①对任意的x1,x2∈[4,8],当x1
A.a C.a
A.-50 B.0
C.2 D.50
解析:选C 法一:∵f (x)是奇函数,∴f (-x)=-f (x),
∴f (1-x)=-f (x-1).
由f (1-x)=f (1+x),得-f (x-1)=f (x+1),
∴f (x+2)=-f (x),
∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x),
∴函数f (x)是周期为4的周期函数.
由f (x)为奇函数得f (0)=0.
又∵f (1-x)=f (1+x),
∴f (x)的图象关于直线x=1对称,
∴f (2)=f (0)=0,∴f (-2)=0.
又f (1)=2,∴f (-1)=-2,
∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=f (1)+f (2)+f (-1)+f (0)=2+0-2+0=0,
∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (49)+f (50)
=0×12+f (49)+f (50)
=f (1)+f (2)=2+0=2.
法二:由题意可设f (x)=2sin,作出f (x)的部分图象如图所示.由图可知,f (x)的一个周期为4,所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (50)=12[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (49)+f (50)=12×0+f (1)+f (2)=2.
重难增分(一)
函数图象与性质的综合应用
[典例细解]
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)(x∈R)满足f (-x)=2-f (x),若函数y=与y=f (x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=( )
A.0 B.m
C.2m D.4m
[学解题]
法一:利用函数的对称性(学生用书不提供解题过程)
因为f (-x)=2-f (x),所以f (-x)+f (x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f (x)的图象关于点(0,1)对称.函数y==1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=与y=f (x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称,所以i=0,i=2×=m,所以(xi+yi)=m.
法二:构造特殊函数(学生用书提供解题过程)
因为f (-x)=2-f (x),
所以f (-x)+f (x)=2.
因为=0,=1,
所以函数y=f (x)的图象关于点(0,1)对称.
可设y=f (x)=x+1,由得交点(-1,0),(1,2),则x1+y1+x2+y2=2,
结合选项,应选B.
[答案] B
[启思维] 本题考查了抽象函数的性质及图象对称性的应用.由于题目条件中的f (x)没有具体的解析式,仅给出了它满足的性质f (-x)=2-f (x),即f (x)(x∈R)为抽象函数,显然我们不可能求出这些交点的坐标,这说明这些交点坐标应满足某种规律,而这种规律必然和这两个函数的性质有关.易知函数y=关于点(0,1)成中心对称,自然而然的让我们有这样的想法:函数f (x)(x∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称?基于这个想法及选择题的特点,那么解题方向不外乎两个:一是判断f (x)的对称性,利用两个函数的对称性求解;二是构造一个具体的函数f (x)来求解.
已知直线l与曲线y=x3-x2+x+1有三个不同的交点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且|AB|=|AC|,则(xi+yi)=( )
A.4 B.5
C.6 D.7
[解析] 易知y′=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以函数y=x3-x2+x+1在R上单调递增.函数y=x3-x2+x+1的图象如图所示,y=x3-x2+x+1=(x-1)3+,易知曲线关于点对称,因为直线l与y=x3-x2+x+1的图象交于不同的三个点,且满足|AB|=|AC|,故B,C两点一定关于点A对称,故A,则有得故(xi+yi)=x1+y1+x2+y2+x3+y3=1++2+==7,选 D.
[答案] D
[启思维] 本题主要考查函数的图象与性质,解此类问题常利用函数的性质作出函数图象,数形结合法解题.
[知能升级]
1.解决抽象函数问题的2个常用方法
性质法
先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质,这样函数就不再抽象了,而是变得相对具体,我们就可以画出符合性质的草图来解题
特殊值法
根据对题目给出的抽象的函数性质的理解,我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值,把抽象函数问题化为具体的数学问题,从而问题得解
2.解决抽象函数问题常用的几个结论
(1)函数y=f (x)关于x=a对称⇔f (a+x)=f (a-x)⇔f (x)=f (2a-x);
(2)函数y=f (x)关于点(a,0)对称⇔f (a+x)+f (a-x)=0⇔f (2a+x)+f (-x)=0;
(3)y=f (x+a)是偶函数⇔函数y=f (x)关于直线x=a对称;y=f (x+a)是奇函数⇔函数y=f (x)关于(a,0)对称.
(4)对于函数f (x)定义域内任一自变量的值x:
①若f (x+a)=-f (x),则T=2a;
②若f (x+a)=,则T=2a;
③若f (x+a)=-,则T=2a;(a>0)
④若f (x+a)=f (x+b)(a≠b),则T=|a-b|;
⑤若f (2a-x)=f (x)且f (2b-x)=f (x)(a≠b),则T=2|b-a|.
[增分集训]
1.定义在R上的函数y=f (x)为减函数,且函数y=f (x-1)的图象关于点(1,0)对称.若f (x2-2x)+f (2b-b2)≤0,且0≤x≤2,则x-b的取值范围是( )
A.[-2,0] B.[-2,2]
C.[0,2] D.[0,4]
解析:选B 设P(x,y)为函数y=f (x-1)的图象上的任意一点,P关于点(1,0)对称的点为(2-x,-y),∴f (2-x-1)=-f (x-1),即f (1-x)=-f (x-1).∴不等式f (x2-2x)+f (2b-b2)≤0可化为f (x2-2x)≤-f (2b-b2)=f (1-1-2b+b2)=f (b2-2b).∵函数y=f (x)为定义在R上的减函数,∴x2-2x≥b2-2b,即(x-1)2≥(b-1)2.∵0≤x≤2,∴或
画出可行域如图中阴影部分所示.
设x-b=z,则b=x-z,由图可知,当直线b=x-z经过点(0,2)时,z取得最小值-2;当直线b=x-z经过点(2,0)时,z取得最大值2.综上可得,x-b的取值范围是[-2,2].
2.(2018·沈阳模拟)设f (x)是定义在R上的偶函数,F(x)=(x+2)3f (x+2)-17,G(x)=-,若F(x)的图象与G(x)的图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=________.
解析:∵f (x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)=x3f (x)是定义在R上的奇函数,其图象关于原点中心对称,∴函数F(x)=(x+2)3f (x+2)-17=g(x+2)-17的图象关于点(-2,-17)中心对称.又函数G(x)=-=-17的图象也关于点(-2,-17)中心对称,∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(-2,-17)中心对称,∴x1+x2+…+xm=×(-2)×2=-2m,y1+y2+…+ym=×(-17)×2=-17m,∴(xi+yi)=(x1+x2+…+xm)+(y1+y2+…+ym)=-19m.
答案:-19m
重难增分(二)
新定义下的函数问题
[典例细解]
我们将具有性质f =-f (x)的函数,称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数:①f (x)=ln;②f (x)=;③f (x)=
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
[解析] 对于①,因为f =ln=ln≠-f (x),所以不满足“倒负”变换;
对于②,因为f ===-f (x),所以满足“倒负”变换;
对于③,因为f =即f =所以f =-f (x),故满足“倒负”变换.综上可知,选C.
[答案] C
[启思维] 本题是在现有函数的图象与性质的基础上定义的一种新的函数性质,考查在新情境下,灵活运用有关函数知识求解“新定义”类数学问题的能力.求解本题的关键是先准确写出f 的表达式,并加以整理,再具体考虑f 与-f (x)是否相等.
设函数f (x)的定义域为D,若f (x)满足条件:存在[a,b]⊆D(a A. B.
C. D.
[解析] f (x)=log2(4x+t)为增函数,且存在[a,b]⊆D(a 则即
所以a,b是方程4x-2x+t=0的两个不等的实根.
设2x=m(m>0),
则方程m2-m+t=0有两个不等的实根,且两根都大于0,所以解得0
[启思维] (1)本题是一个新定义问题,读懂题意后,即可由函数f (x)=log2(4x+t)为“优美函数”,得到关于a,b的方程组,并构造出以a,b为实数根的方程.
(2)在应用换元法解题时,一定要注意挖掘隐含条件,确定新元的取值范围,以防在解题过程中出现非等价转化.
[知能升级]
1.函数新定义问题的常见形式
(1)讨论新函数的性质;
(2)利用新函数进行运算;
(3)判断新函数的图象;
(4)利用新概念判断命题真假等.
2.函数新定义问题的解题思路
理解定义
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件,将定义、性质等与所求之间建立联系
合理转化
将题目中的新函数与已学函数联系起来,仔细阅读已知条件进行分析,通过类比已学函数的性质、图象解决问题,或将新函数转化为已学函数的复合函数等形式解决问题
特值思想
如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立,那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式,进而解决问题
[增分集训]
1.(2018·武汉模拟)若存在正实数a,b,使得∀x∈R有f (x+a)≤f (x)+b恒成立,则称f (x)为“限增函数”.给出以下三个函数:①f (x)=x2+x+1;②f (x)=;③f (x)=sin(x2),其中是“限增函数”的是( )
A.①② B.②③
C.①③ D.③
解析:选B 对于①,f (x+a)≤f (x)+b,即(x+a)2+(x+a)+1≤x2+x+1+b,即2ax≤-a2-a+b,x≤对一切x∈R恒成立,显然不存在这样的正实数a,b.对于②,f (x)=,即≤+b,|x+a|≤|x|+b2+2b,而|x+a|≤|x|+a,∴|x|+a≤|x|+b2+2b,则≥,显然,当a≤b2时式子恒成立,∴f (x)=是“限增函数”.对于③,f (x)=sin(x2),-1≤f (x)=sin(x2)≤1,故f (x+a)-f (x)≤2,当b≥2时,对于任意的正实数a,b都成立.故选B.
2.对于函数f (x)和g(x),设α∈{x|f (x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,则称f (x)与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数f (x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点相邻函数”,则实数a的取值范围是( )
A.[2,4] B.
C. D.[2,3]
解析:选D ∵f ′(x)=ex-1+1>0,∴f (x)=ex-1+x-2是增函数.又f (1)=0,∴函数f (x)的零点为x=1,∴α=1,∴|1-β|≤1,∴0≤β≤2,∴函数g(x)=x2-ax-a+3在区间[0,2]上有零点.由g(x)=0,得a=(0≤x≤2),即a==(x+1)+-2(0≤x≤2),设x+1=t(1≤t≤3),则a=t+-2(1≤t≤3),令h(t)=t+-2(1≤t≤3),易知h(t)在区间[1,2)上是减函数,在区间(2,3]上是增函数,∴2≤h(t)≤3,即2≤a≤3,故选D.
3.对任意实数a,b定义运算“⊗”:a⊗b=设f (x)=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=f (x)+k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,1) B.[0,1]
C.[-2,0) D.[-2,1)
解析:选D 当x2-1≥4+x+1,即x≤-2或x≥3时,f (x)=4+x;当x2-1<4+x+1,即-2
[专题跟踪检测]
一、全练保分考法——保大分
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( )
A.y=-x3 B.y=ln |x|
C.y=cos x D.y=2-|x|
解析:选D 显然函数y=2-|x|是偶函数,当x>0时,y=2-|x|=|x|=x,函数y=x在区间(0,+∞)上是减函数.故选D.
2.(2018·贵阳模拟)若函数f (x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f (x)=log2(x+2)-1,则f (-6)=( )
A.2 B.4
C.-2 D.-4
解析:选C 根据题意得f (-6)=-f (6)=1-log2(6+2)=1-log28=-2.故选C.
3.(2018·长春质检)已知函数f (x)=则函数f (x)的值域为( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C. D.R
解析:选B 法一:当x<-1时,f (x)=x2-2∈(-1,+∞);当x≥-1时,f (x)=2x-1∈,综上可知,函数f (x)的值域为(-1,+∞).故选B.
法二:作出分段函数f (x)的图象(图略)可知,该函数的值域为(-1,+∞),故选B.
4.(2018·陕西质检)设x∈R,定义符号函数sgn x=则函数f (x)=|x|sgn x的图象大致是( )
解析:选C 由符号函数解析式和绝对值运算,可得f (x)=x,选C.
5.(2018·濮阳二模)若f (x)=是奇函数,则f (g(-2))的值为( )
A. B.-
C.1 D.-1
解析:选C ∵f (x)=是奇函数,
∴x<0时,g(x)=-+3,
∴g(-2)=-+3=-1,
f (g(-2))=f (-1)=-f (1)=1.故选C.
6.(2018·葫芦岛一模)设偶函数f (x)对任意x∈R,都有f (x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f (x)=4x,则f (107.5)=( )
A.10 B.
C.-10 D.-
解析:选B 因为f (x+3)=-,所以f (x+6)=-=-=f (x),所以函数f (x)是以6为周期的函数,f (107.5)=f (6×17+5.5)=f (5.5)=-=-=-=.故选B.
7.(2019届高三·合肥调研)函数f (x)=(ex-e-x)的图象大致是( )
解析:选D 因为f (x)=(ex-e-x)(x≠0),所以f (-x)=(e-x-ex)=(ex-e-x)·=f (x),所以f (x)是偶函数,排除选项A、C;因为函数f (x)在(0,+∞)上是增函数,所以排除选项B,故选D.
8.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,则当P沿ABCM运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f (x)的图象的形状大致是图中的( )
解析:选A 根据题意得
f (x)=
画出分段函数图象可知A正确.
9.(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知奇函数f (x)满足f (x+1)=f (1-x),若当x∈(-1,1)时,f (x)=lg,且f (2 018-a)=1,则实数a的值可以是( )
A. B.
C.- D.-
解析:选A ∵f (x+1)=f (1-x),∴f (x)=f (2-x).又函数f (x)为奇函数,∴f (-x)=-f (x),∴f (-x)=-f (2-x),∴f (2+x)=-f (x),∴f (x+4)=-f (x+2)=f (x),∴函数f (x)为周期函数,且周期为4.当x∈(-1,1)时,令f (x)=lg=1,得x=,又f (2 018-a)=f (2-a)=f (a),∴a可以是.
10.已知函数f (x)=则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=( )
A.2 018 B.1 513
C.1 009 D.
解析:选D ∵函数f (x)=
∴f (1)=f (-1)=2-1,f (2)=f (0)=20,f (3)=f (1)=2-1,…,
∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 018)=1 009×f (-1)+1 009×f (0)=1 009×2-1+1 009×20=.故选D.
11.(2018·郴州二模)已知函数f (x)=ex-,其中e是自然对数的底数.则关于x的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0的解集为( )
A.∪(2,+∞) B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞) D.(-∞,2)
解析:选B ∵函数f (x)=ex-=ex-e-x满足f (-x)=-f (x),
∴f (x)为奇函数且是单调递增函数,
关于x的不等式f (2x-1)+f (-x-1)>0,
即为f (2x-1)>f (x+1),
∴2x-1>x+1,
解得x>2,故选B.
12.(2018·陕西二模)已知函数f (x)=ex+2(x<0)与g(x)=ln(x+a)+2的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是( )
A. B.(-∞,e)
C. D.
解析:选B 由题意知,方程f (-x)-g(x)=0在(0,+∞)上有解,
即e-x+2-ln(x+a)-2=0在(0,+∞)上有解,
即函数y=e-x的图象与y=ln(x+a)
的图象在(0,+∞)上有交点,
函数y=ln(x+a)的图象是由函数y=ln x的图象向左平移a个单位得到的,当y=ln x向左平移且平移到过点(0,1)后开始,两函数的图象有交点,
把点(0,1)代入y=ln(x+a)得,1=ln a,
∴a=e,∴a
解析:∵f (x+4)=f (x-2),∴f (x+6)=f (x),
∴f (x)的周期为6,
∵919=153×6+1,∴f (919)=f (1).
又f (x)为偶函数,
∴f (919)=f (1)=f (-1)=6.
答案:6
14.(2018·陕西质检)若函数f (x)=ax+b,x∈[a-4,a]的图象关于原点对称,则函数g(x)=bx+,x∈[-4,-1]的值域为________.
解析:由函数f (x)的图象关于原点对称,可得a-4+a=0,即a=2,则函数f (x)=2x+b,其定义域为[-2,2],所以f (0)=0,所以b=0,所以g(x)=,易知g(x)在[-4,-1]上单调递减,故值域为[g(-1),g(-4)],即.
答案:
15.(2018·青岛一模)定义在R上的函数f (x)满足f (x)=
则f (2 009)的值为______.
解析:∵f (2 009)=f (2 008)-f (2 007)=[f (2 007)-f (2 006)]-f (2 007)=-f (2 006),
即当x>3时满足f (x)=-f (x-3)=f (x-6),函数f (x)的周期为6.
∴f (2 009)=f (334×6+5)=f (5)=f (-1).
∵当x≤0时f (x)=log2(1-x),∴f (-1)=1,
∴f (2 009)=f (-1)=1.
答案:1
16.已知函数f (x)=e|x|,函数g(x)=对任意的x∈[1,m](m>1),都有f (x-2)≤g(x),则m的取值范围是__________.
解析:作出函数y=h(x)=e|x-2|和y=g(x)的图象,如图所示,由图可知当x=1时,h(1)=g(1),又当x=4时,h(4)=e2
17.设函数f (x)=若函数f (x)在区间[m,4]上的值域为[-1,2],则实数m的取值范围为________.
解析:画出函数f (x)的图象如图所示,结合图象易得,当m∈[-8,-1]时,f (x)∈[-1,2],故实数m的取值范围为[-8,-1].
答案:[-8,-1]
18.设函数f (x)=1-,g(x)=ln(ax2-2x+1),若对任意的x1∈R,都存在实数x2,使得f (x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围为________.
解析:设g(x)=ln(ax2-2x+1)的值域为A,
∵f (x)=1-在R上的值域为(-∞,0],
∴(-∞,0]⊆A,
∴h(x)=ax2-2x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h(0)=1,
∴实数a需要满足a≤0或解得a≤1.
∴实数a的取值范围是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
19.已知函数f (x)=(p>1),若对于任意a,b,c∈R,都有f (a)+f (b)>f (c)成立,则实数m的取值范围是________.
解析:因为f (x)==1+,
所以当m>1时,函数f (x)在R上是减函数,函数f (x)的值域为(1,m),
所以f (a)+f (b)>2,f (c)
当m<1时,函数f (x)在R上是增函数,函数f (x)的值域为(m,1),
所以f (a)+f (b)>2m,f (c)<1,所以2m≥1,
所以m≥,所以≤m<1.
综上可知,≤m≤2,故所求实数m的取值范围是.
答案:
20.已知函数f (x)=若f (x)的值域为R,则实数a的取值范围是________.
解析:依题意,当x≥1时,f (x)=1+log2x单调递增,f (x)=1+log2x在区间[1,+∞)上的值域是[1,+∞).因此,要使函数f (x)的值域是R,则需函数f (x)在(-∞,1)上的值域M⊇(-∞,1).
①当a-1<0,即a<1时,函数f (x)在(-∞,1)上单调递减,函数f (x)在(-∞,1)上的值域M=(-a+3,+∞),显然此时不能满足M⊇(-∞,1),因此a<1不满足题意;
②当a-1=0,即a=1时,函数f (x)在(-∞,1)上的值域M={2},此时不能满足M⊇(-∞,1),因此a=1不满足题意;
③当a-1>0,即a>1时,函数f (x)在(-∞,1)上单调递增,函数f (x)在(-∞,1)上的值域M=(-∞,-a+3),由M⊇(-∞,1)得解得1 综上所述,满足题意的实数a的取值范围是(1,2].
答案:(1,2]
二、强化压轴考法——拉开分
1.(2018·惠州第一次调研)已知定义域为R的偶函数f (x)在(-∞,0]上是减函数,且f (1)=2,则不等式f (log2x)>2的解集为( )
A.(2,+∞) B.∪(2,+∞)
C.∪(,+∞) D.(,+∞)
解析:选B 因为f (x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f (x)在[0,+∞)上是增函数.因为f (1)=2,所以f (-1)=2,所以f (log2x)>2⇔f (|log2x|)>f (1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<-1⇔x>2或0
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>a>b
解析:选B 法一:因为函数f (x)是偶函数,f (x+1)是奇函数,所以f (-x)=f (x),f (-x+1)=-f (x+1),所以f (x-1)=-f (x+1),所以f (x)=-f (x+2),所以f (x)=f (x+4),所以a=f =f =f ,b=-f =f ,c=f =f ,又对于任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)·[f (x1)-f (x2)]<0,所以f (x)在[0,1]上是减函数,因为<<,所以b>a>c,故选B.
法二:因为函数f (x)是偶函数,f (x+1)是奇函数,且对于任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f (x1)-f (x2)]<0,即f (x)在[0,1]上是减函数,不妨取f (x)=cosx,则a=f =cos=cos,b=-f =-cos=cos,c=f =cos=cos,因为函数y=cos x在[0,1]上是减函数,且<<<1,所以b>a>c,故选B.
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)=则满足f (x+1)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
解析:选D 法一:①当即x≤-1时,
f (x+1)
因此不等式的解集为(-∞,-1].
②当时,不等式组无解.
③当即-1
④当即x>0时,f (x+1)=1,f (2x)=1,不合题意.
综上,不等式f (x+1)
∴函数f (x)的图象如图所示.
结合图象知,要使f (x+1)
∴x<0,故选D.
4.已知函数y=f (x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f (x+4)=f (x)+f (2)成立,且f (3)=-1,当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有>0.给出下列命题:①f (221)=-1;②函数y=f (x)图象的一条对称轴方程为x=-4;③函数y=f (x)在[-6,-4]上为减函数;④方程f (x)=0在[-6,6]上有4个根.
其中正确的命题个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选D 令x=-2,由f (x+4)=f (x)+f (2)得f (-2)=0.因为函数y=f (x)是R上的偶函数,所以f (2)=f (-2)=0,所以f (x+4)=f (x),即函数y=f (x)是以4为周期的周期函数,所以f (221)=f (55×4+1)=f (1).因为f (3)=-1,所以f (-3)=f (1)=-1,从而f (221)=-1,①正确.因为函数图象关于y轴对称,函数的周期为4,所以函数y=f (x)图象的一条对称轴方程为x=-4,②正确.因为当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有>0,设x1
5.(2018·长沙模拟)定义运算:xy=例如:34=3,(-2)4=4,则函数f (x)=x2(2x-x2)的最大值为________.
解析:由已知得f (x)=x2(2x-x2)=
=
画出函数f (x)的大致图象(图略)可知,函数f (x)的最大值为4.
答案:4
6.(2019届高三·石家庄检测)已知定义域为R的函数f (x)是奇函数,当x≥0时,f (x)=|x-a2|-a2,且对x∈R,恒有f (x+1)≥f (x),则实数a的取值范围为________.
解析:定义域为R的函数f (x)是奇函数,
当x≥0时,f (x)=|x-a2|-a2=
作出函数f (x)的图象如图所示.
当x<0时,函数的最大值为a2,
∵对x∈R,恒有f (x+1)≥f (x),
要满足f (x+1)≥f (x),1要大于等于[-a2,3a2]的区间长度3a2-(-a2),
∴1≥3a2-(-a2),解得-≤a≤.
答案:
7.已知函数y=f (x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f (x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫作函数y=f (x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f (x)=|2x-t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是________.
解析:∵函数y=f (x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,∴F(x)=f (-x)=|2-x-t|.
∵区间[1,2]为函数f (x)=|2x-t|的“不动区间”,
∴函数f (x)=|2x-t|和函数F(x)=|2-x-t|在[1,2]上单调性相同.
∵y=2x-t和函数y=2-x-t的单调性相反.
∴(2x-t)(2-x-t)≤0在[1,2]上恒成立,
即2-x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,
即≤t≤2.
答案:
8.定义在R上的函数f (x)在(-∞,-2)上是增函数,且f (x-2)是偶函数,若对一切实数x,不等式f (2sin x-2)>f (sin x-1-m)恒成立,则实数m的取值范围为______________.
解析:因为f (x-2)是偶函数,
所以函数f (x)的图象关于x=-2对称.
又f (x)在(-∞,-2)上为增函数,
则f (x)在(-2,+∞)上为减函数,
所以不等式f (2sin x-2)>f (sin x-1-m)恒成立等价于|2sin x-2+2|<|sin x-1-m+2|,
即|2sin x|<|sin x+1-m|,两边同时平方,
得3sin2x-2(1-m)sin x-(1-m)2<0,
即(3sin x+1-m)(sin x-1+m)<0,
即或
即或
即或
即m<-2或m>4,
故实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(4,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(4,+∞)
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