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2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第一部分专题一函数的图象与性质
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专题一 函数的图象与性质
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
________
函数图象的辨识·T3
函数图象的辨识·T7
抽象函数的奇偶性与周期性·T11
2017
利用函数的单调性、奇偶性解不等式·T5
________
分段函数、解不等式·T15
2016
函数图象辨识·T7
函数图象的对称性·T12
__________
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年2考，涉及函数图象的识别以及函数的单调性、奇偶性与不等式的综合问题，试题均出现在选择题上，难度适中，预计2019年会重点考查分段函数的有关性质及应用
卷Ⅱ3年3考，涉及函数图象的辨识以及抽象函数的性质，其中函数图象的识别难度较小，而函数性质难度偏大，均出现在选择题中，预计2019年会以选择题的形式考查分段函数、函数的性质等
卷Ⅲ3年2考，涉及函数图象的辨识、分段函数与不等式的综合问题，既有选择题，也有填空题，难度适中，预计2019年会以选择题的形式考查函数的单调性、奇偶性等性质
横向把握重点
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择题、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2.此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
函数的概念及表示
[题组全练]
1．(2018·长春质检)函数y＝＋的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 由题意得
解得－1
2．已知函数f (x)＝则f (－2 018)＝( )
A．1 B．e
C. D．e2
解析：选D 由已知可得，当x>2时，f (x)＝f (x－4)，故f (x)在x>－2时的周期为4，则f (－2 018)＝f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝e2.
3．设f (x)＝若f (a)＝f (a＋1)，则f ＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f (a)＝，f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f (a)＝f (a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，∴f (a)＝2(a－1)，
f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f ＝6.
4．已知函数f (x)＝则f (f (x))<2的解集为________．
解析：因为当x≥1时，f (x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f (x)＝2ex－1<2，所以f (f (x))<2等价于f (x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f (f (x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)．
答案：(－∞，1－ln 2)
5．(2018·成都模拟)设函数f ：R→R满足f (0)＝1，且对任意x，y∈R都有f (xy＋1)＝f (x)f (y)－f (y)－x＋2，则f (2 018)＝________.
解析：令x＝y＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.
令y＝0，则f (1)＝f (x)f (0)－f (0)－x＋2.
将f (0)＝1，f (1)＝2代入，得f (x)＝1＋x，
所以f (2 018)＝2 019.
答案：2 019
[系统方法]
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．
2．分段函数问题的4种常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
函数的图象及应用
[由题知法]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝的图象大致为( )
(2)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m 的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f (t)的图象大致为( )
(3)已知函数f (x)＝若存在x1，x2，当0≤x1
∴f (x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f (1)＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，
∴e－>1，排除C选项．故选B.
(2)如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α.
在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，
cos＝＝1－t，
∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故选 B.
(3)画出函数大致图象如图所示．
由图象知，－≤x1<，≤x2<1，x1＋＝2x2－1，于是x1f (x2)＝x12x2－1＝x1，－≤x1<，转化为关于x1的二次函数在给定区间上的值域问题，易得x1f (x2)的取值范围是.
[答案] (1)B (2)B (3)
[类题通法]
1．由函数解析式识别函数图象的策略
2．根据动点变化过程确定其函数图象的策略
(1)先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．
(2)采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择．
(3)根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势作出判断．
[应用通关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
解析：选D 法一：令f (x)＝－x4＋x2＋2，
则f ′(x)＝－4x3＋2x，
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f ′(x)>0的解集为∪，
f (x)单调递增；f ′(x)<0的解集为∪，＋∞，f (x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f (x)，则y＝f (x)的图象大致为( )
解析：选B 当x∈时，f (x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈时，f ＝f ＝1＋，f ＝2.
∵2<1＋，∴f
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f (x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．
函数的性质及应用
[由题知法]
(1)(2018·石家庄质检)已知函数f (x)为奇函数，当x>0时，f (x)单调递增，且f (1)＝0，若f (x－1)>0，则x的取值范围为( )
A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)(2018·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f (x)，满足f (x＋5)＝f (x)，当x∈(－3,0]时，f (x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f (x)＝log2x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于( )
A．403 B．405
C．806 D．809
(3)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)，且当x∈时，f (x)＝－x3，则f ＝________.
[解析] (1)由于函数f (x)是奇函数，且当x>0时f (x)单调递增，f (1)＝0，所以f (－1)＝0，故由f (x－1)>0，得－11，所以02，故选A.
(2)定义在R上的函数f (x)，满足f (x＋5)＝f (x)，即函数f (x)的周期为5.
又当x∈(0,2]时，f (x)＝log2x，所以f (1)＝log21＝0，f (2)＝log22＝1.
当x∈(－3,0]时，f (x)＝－x－1，
所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，
f (5)＝f (0)＝－1.
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)
＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)
＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.
(3)由f (x＋3)＝f (x)知函数f (x)的周期为3，
又函数f (x)为奇函数，
所以f ＝f ＝－f ＝3＝.
[答案] (1)A (2)B (3)
[类题通法] 函数性质的应用技巧
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x)的性质：f (|x|)＝f (x)
单调性
可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
对称性
利用其轴对称或中心对称可将研究的问题，转化到另一对称区间上研究
[应用通关]
1．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称
B．函数f (x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f (x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选A 因为y＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误．易知函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误．易知函数f (x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.
2．(2019届高三·惠州调研)已知函数y＝f (x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10恒成立；②f (x＋4)＝－f (x)；③y＝f (x＋4)是偶函数．若a＝f (6)，b＝f (11)，c＝f (2 017)，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C 法一：∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (1－x)＝－f (x－1)．
由f (1－x)＝f (1＋x)，得－f (x－1)＝f (x＋1)，
∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数得f (0)＝0.
又∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)
＝0×12＋f (49)＋f (50)
＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f (x)＝2sin，作出f (x)的部分图象如图所示．由图可知，f (x)的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.
重难增分(一)
函数图象与性质的综合应用
[典例细解]
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
[学解题]
法一：利用函数的对称性(学生用书不提供解题过程)
因为f (－x)＝2－f (x)，所以f (－x)＋f (x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.
法二：构造特殊函数(学生用书提供解题过程)
因为f (－x)＝2－f (x)，
所以f (－x)＋f (x)＝2.
因为＝0，＝1，
所以函数y＝f (x)的图象关于点(0,1)对称．
可设y＝f (x)＝x＋1，由得交点(－1,0)，(1,2)，则x1＋y1＋x2＋y2＝2，
结合选项，应选B.
[答案] B
[启思维] 本题考查了抽象函数的性质及图象对称性的应用．由于题目条件中的f (x)没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x)＝2－f (x)，即f (x)(x∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些交点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．易知函数y＝关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x)(x∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x)的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x)来求解．
已知直线l与曲线y＝x3－x2＋x＋1有三个不同的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且|AB|＝|AC|，则(xi＋yi)＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 易知y′＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数y＝x3－x2＋x＋1在R上单调递增．函数y＝x3－x2＋x＋1的图象如图所示，y＝x3－x2＋x＋1＝(x－1)3＋，易知曲线关于点对称，因为直线l与y＝x3－x2＋x＋1的图象交于不同的三个点，且满足|AB|＝|AC|，故B，C两点一定关于点A对称，故A，则有得故(xi＋yi)＝x1＋y1＋x2＋y2＋x3＋y3＝1＋＋2＋＝＝7，选 D.
[答案] D
[启思维] 本题主要考查函数的图象与性质，解此类问题常利用函数的性质作出函数图象，数形结合法解题．
[知能升级]
1．解决抽象函数问题的2个常用方法
性质法
先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题
特殊值法
根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解
2.解决抽象函数问题常用的几个结论
(1)函数y＝f (x)关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)；
(2)函数y＝f (x)关于点(a,0)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝0⇔f (2a＋x)＋f (－x)＝0；
(3)y＝f (x＋a)是偶函数⇔函数y＝f (x)关于直线x＝a对称；y＝f (x＋a)是奇函数⇔函数y＝f (x)关于(a,0)对称．
(4)对于函数f (x)定义域内任一自变量的值x：
①若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a；
②若f (x＋a)＝，则T＝2a；
③若f (x＋a)＝－，则T＝2a；(a>0)
④若f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；
⑤若f (2a－x)＝f (x)且f (2b－x)＝f (x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.
[增分集训]
1．定义在R上的函数y＝f (x)为减函数，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1,0)对称．若f (x2－2x)＋f (2b－b2)≤0，且0≤x≤2，则x－b的取值范围是( )
A．[－2,0] B．[－2,2]
C．[0,2] D．[0,4]
解析：选B 设P(x，y)为函数y＝f (x－1)的图象上的任意一点，P关于点(1,0)对称的点为(2－x，－y)，∴f (2－x－1)＝－f (x－1)，即f (1－x)＝－f (x－1)．∴不等式f (x2－2x)＋f (2b－b2)≤0可化为f (x2－2x)≤－f (2b－b2)＝f (1－1－2b＋b2)＝f (b2－2b)．∵函数y＝f (x)为定义在R上的减函数，∴x2－2x≥b2－2b，即(x－1)2≥(b－1)2.∵0≤x≤2，∴或
画出可行域如图中阴影部分所示．
设x－b＝z，则b＝x－z，由图可知，当直线b＝x－z经过点(0,2)时，z取得最小值－2；当直线b＝x－z经过点(2,0)时，z取得最大值2.综上可得，x－b的取值范围是[－2,2]．
2．(2018·沈阳模拟)设f (x)是定义在R上的偶函数，F(x)＝(x＋2)3f (x＋2)－17，G(x)＝－，若F(x)的图象与G(x)的图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________.
解析：∵f (x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)＝x3f (x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F(x)＝(x＋2)3f (x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．又函数G(x)＝－＝－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x1＋x2＋…＋xm＝×(－2)×2＝－2m，y1＋y2＋…＋ym＝×(－17)×2＝－17m，∴(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝－19m.
答案：－19m
重难增分(二)
新定义下的函数问题
[典例细解]
我们将具有性质f ＝－f (x)的函数，称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：①f (x)＝ln；②f (x)＝；③f (x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[解析] 对于①，因为f ＝ln＝ln≠－f (x)，所以不满足“倒负”变换；
对于②，因为f ＝＝＝－f (x)，所以满足“倒负”变换；
对于③，因为f ＝即f ＝所以f ＝－f (x)，故满足“倒负”变换．综上可知，选C.
[答案] C
[启思维] 本题是在现有函数的图象与性质的基础上定义的一种新的函数性质，考查在新情境下，灵活运用有关函数知识求解“新定义”类数学问题的能力．求解本题的关键是先准确写出f 的表达式，并加以整理，再具体考虑f 与－f (x)是否相等．
设函数f (x)的定义域为D，若f (x)满足条件：存在[a，b]⊆D(a
C. D.
[解析] f (x)＝log2(4x＋t)为增函数，且存在[a，b]⊆D(a
所以a，b是方程4x－2x＋t＝0的两个不等的实根．
设2x＝m(m>0)，
则方程m2－m＋t＝0有两个不等的实根，且两根都大于0，所以解得0
[启思维] (1)本题是一个新定义问题，读懂题意后，即可由函数f (x)＝log2(4x＋t)为“优美函数”，得到关于a，b的方程组，并构造出以a，b为实数根的方程．
(2)在应用换元法解题时，一定要注意挖掘隐含条件，确定新元的取值范围，以防在解题过程中出现非等价转化．
[知能升级]
1．函数新定义问题的常见形式
(1)讨论新函数的性质；
(2)利用新函数进行运算；
(3)判断新函数的图象；
(4)利用新概念判断命题真假等．
2．函数新定义问题的解题思路
理解定义
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系
合理转化
将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已学函数的复合函数等形式解决问题
特值思想
如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题
[增分集训]
1．(2018·武汉模拟)若存在正实数a，b，使得∀x∈R有f (x＋a)≤f (x)＋b恒成立，则称f (x)为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x)＝x2＋x＋1；②f (x)＝；③f (x)＝sin(x2)，其中是“限增函数”的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③
解析：选B 对于①，f (x＋a)≤f (x)＋b，即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于②，f (x)＝，即≤＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，则≥，显然，当a≤b2时式子恒成立，∴f (x)＝是“限增函数”．对于③，f (x)＝sin(x2)，－1≤f (x)＝sin(x2)≤1，故f (x＋a)－f (x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，b都成立．故选B.
2．对于函数f (x)和g(x)，设α∈{x|f (x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f (x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B.
C. D．[2,3]
解析：选D ∵f ′(x)＝ex－1＋1>0，∴f (x)＝ex－1＋x－2是增函数．又f (1)＝0，∴函数f (x)的零点为x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g(x)＝x2－ax－a＋3在区间[0,2]上有零点．由g(x)＝0，得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，设x＋1＝t(1≤t≤3)，则a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤3，故选D.
3．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f (x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f (x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A．(－2,1) B．[0,1]
C．[－2,0) D．[－2,1)
解析：选D 当x2－1≥4＋x＋1，即x≤－2或x≥3时，f (x)＝4＋x；当x2－1<4＋x＋1，即－2
[专题跟踪检测]
一、全练保分考法——保大分
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝－x3 B．y＝ln |x|
C．y＝cos x D．y＝2－|x|
解析：选D 显然函数y＝2－|x|是偶函数，当x>0时，y＝2－|x|＝|x|＝x，函数y＝x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D.
2．(2018·贵阳模拟)若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝log2(x＋2)－1，则f (－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log2(6＋2)＝1－log28＝－2.故选C.
3．(2018·长春质检)已知函数f (x)＝则函数f (x)的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C. D．R
解析：选B 法一：当x<－1时，f (x)＝x2－2∈(－1，＋∞)；当x≥－1时，f (x)＝2x－1∈，综上可知，函数f (x)的值域为(－1，＋∞)．故选B.
法二：作出分段函数f (x)的图象(图略)可知，该函数的值域为(－1，＋∞)，故选B.
4．(2018·陕西质检)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f (x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
解析：选C 由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x)＝x，选C.
5．(2018·濮阳二模)若f (x)＝是奇函数，则f (g(－2))的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选C ∵f (x)＝是奇函数，
∴x<0时，g(x)＝－＋3，
∴g(－2)＝－＋3＝－1，
f (g(－2))＝f (－1)＝－f (1)＝1.故选C.
6．(2018·葫芦岛一模)设偶函数f (x)对任意x∈R，都有f (x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f (x)＝4x，则f (107.5)＝( )
A．10 B.
C．－10 D．－
解析：选B 因为f (x＋3)＝－，所以f (x＋6)＝－＝－＝f (x)，所以函数f (x)是以6为周期的函数，f (107.5)＝f (6×17＋5.5)＝f (5.5)＝－＝－＝－＝.故选B.
7．(2019届高三·合肥调研)函数f (x)＝(ex－e－x)的图象大致是( )
解析：选D 因为f (x)＝(ex－e－x)(x≠0)，所以f (－x)＝(e－x－ex)＝(ex－e－x)·＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除选项A、C；因为函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，所以排除选项B，故选D.
8.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f (x)的图象的形状大致是图中的( )
解析：选A 根据题意得
f (x)＝
画出分段函数图象可知A正确．
9．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (1－x)，若当x∈(－1,1)时，f (x)＝lg，且f (2 018－a)＝1，则实数a的值可以是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A ∵f (x＋1)＝f (1－x)，∴f (x)＝f (2－x)．又函数f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，∴f (－x)＝－f (2－x)，∴f (2＋x)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函数f (x)为周期函数，且周期为4.当x∈(－1,1)时，令f (x)＝lg＝1，得x＝，又f (2 018－a)＝f (2－a)＝f (a)，∴a可以是.
10．已知函数f (x)＝则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )
A．2 018 B．1 513
C．1 009 D.
解析：选D ∵函数f (x)＝
∴f (1)＝f (－1)＝2－1，f (2)＝f (0)＝20，f (3)＝f (1)＝2－1，…，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝1 009×f (－1)＋1 009×f (0)＝1 009×2－1＋1 009×20＝.故选D.
11．(2018·郴州二模)已知函数f (x)＝ex－，其中e是自然对数的底数．则关于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)>0的解集为( )
A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
解析：选B ∵函数f (x)＝ex－＝ex－e－x满足f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数且是单调递增函数，
关于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)>0，
即为f (2x－1)>f (x＋1)，
∴2x－1>x＋1，
解得x>2，故选B.
12．(2018·陕西二模)已知函数f (x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B．(－∞，e)
C. D.
解析：选B 由题意知，方程f (－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x的图象与y＝ln(x＋a)
的图象在(0，＋∞)上有交点，
函数y＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位得到的，当y＝ln x向左平移且平移到过点(0,1)后开始，两函数的图象有交点，
把点(0,1)代入y＝ln(x＋a)得，1＝ln a，
∴a＝e，∴a
解析：∵f (x＋4)＝f (x－2)，∴f (x＋6)＝f (x)，
∴f (x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．
又f (x)为偶函数，
∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.
答案：6
14．(2018·陕西质检)若函数f (x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
解析：由函数f (x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f (x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.
答案：
15．(2018·青岛一模)定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝
则f (2 009)的值为______．
解析：∵f (2 009)＝f (2 008)－f (2 007)＝[f (2 007)－f (2 006)]－f (2 007)＝－f (2 006)，
即当x>3时满足f (x)＝－f (x－3)＝f (x－6)，函数f (x)的周期为6.
∴f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)＝f (－1)．
∵当x≤0时f (x)＝log2(1－x)，∴f (－1)＝1，
∴f (2 009)＝f (－1)＝1.
答案：1
16．已知函数f (x)＝e|x|，函数g(x)＝对任意的x∈[1，m](m>1)，都有f (x－2)≤g(x)，则m的取值范围是__________．
解析：作出函数y＝h(x)＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，h(1)＝g(1)，又当x＝4时，h(4)＝e24时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，∴1
17．设函数f (x)＝若函数f (x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．
解析：画出函数f (x)的图象如图所示，结合图象易得，当m∈[－8，－1]时，f (x)∈[－1,2]，故实数m的取值范围为[－8，－1]．
答案：[－8，－1]
18．设函数f (x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－2x＋1)，若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．
解析：设g(x)＝ln(ax2－2x＋1)的值域为A，
∵f (x)＝1－在R上的值域为(－∞，0]，
∴(－∞，0]⊆A，
∴h(x)＝ax2－2x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，
∴实数a需要满足a≤0或解得a≤1.
∴实数a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
19．已知函数f (x)＝(p>1)，若对于任意a，b，c∈R，都有f (a)＋f (b)>f (c)成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f (x)＝＝1＋，
所以当m>1时，函数f (x)在R上是减函数，函数f (x)的值域为(1，m)，
所以f (a)＋f (b)>2，f (c)
当m<1时，函数f (x)在R上是增函数，函数f (x)的值域为(m,1)，
所以f (a)＋f (b)>2m，f (c)<1，所以2m≥1，
所以m≥，所以≤m<1.
综上可知，≤m≤2，故所求实数m的取值范围是.
答案：
20．已知函数f (x)＝若f (x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，当x≥1时，f (x)＝1＋log2x单调递增，f (x)＝1＋log2x在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x)的值域是R，则需函数f (x)在(－∞，1)上的值域M⊇(－∞，1)．
①当a－1<0，即a<1时，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，函数f (x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，显然此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a<1不满足题意；
②当a－1＝0，即a＝1时，函数f (x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a＝1不满足题意；
③当a－1>0，即a>1时，函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，函数f (x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M⊇(－∞，1)得解得1
答案：(1,2]
二、强化压轴考法——拉开分
1．(2018·惠州第一次调研)已知定义域为R的偶函数f (x)在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
解析：选B 因为f (x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x)在[0，＋∞)上是增函数．因为f (1)＝2，所以f (－1)＝2，所以f (log2x)>2⇔f (|log2x|)>f (1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：选B 法一：因为函数f (x)是偶函数，f (x＋1)是奇函数，所以f (－x)＝f (x)，f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以f (x－1)＝－f (x＋1)，所以f (x)＝－f (x＋2)，所以f (x)＝f (x＋4)，所以a＝f ＝f ＝f ，b＝－f ＝f ，c＝f ＝f ，又对于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]<0，所以f (x)在[0,1]上是减函数，因为<<，所以b>a>c，故选B.
法二：因为函数f (x)是偶函数，f (x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0，即f (x)在[0,1]上是减函数，不妨取f (x)＝cosx，则a＝f ＝cos＝cos，b＝－f ＝－cos＝cos，c＝f ＝cos＝cos，因为函数y＝cos x在[0,1]上是减函数，且<<<1，所以b>a>c，故选B.
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝则满足f (x＋1)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
解析：选D 法一：①当即x≤－1时，
f (x＋1)
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1
④当即x>0时，f (x＋1)＝1，f (2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f (x＋1)
∴函数f (x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f (x＋1)
∴x<0，故选D.
4．已知函数y＝f (x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f (x＋4)＝f (x)＋f (2)成立，且f (3)＝－1，当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有>0.给出下列命题：①f (221)＝－1；②函数y＝f (x)图象的一条对称轴方程为x＝－4；③函数y＝f (x)在[－6，－4]上为减函数；④方程f (x)＝0在[－6,6]上有4个根．
其中正确的命题个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 令x＝－2，由f (x＋4)＝f (x)＋f (2)得f (－2)＝0.因为函数y＝f (x)是R上的偶函数，所以f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x＋4)＝f (x)，即函数y＝f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (221)＝f (55×4＋1)＝f (1)．因为f (3)＝－1，所以f (－3)＝f (1)＝－1，从而f (221)＝－1，①正确．因为函数图象关于y轴对称，函数的周期为4，所以函数y＝f (x)图象的一条对称轴方程为x＝－4，②正确．因为当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有>0，设x1
5．(2018·长沙模拟)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．
解析：由已知得f (x)＝x2(2x－x2)＝
＝
画出函数f (x)的大致图象(图略)可知，函数f (x)的最大值为4.
答案：4
6．(2019届高三·石家庄检测)已知定义域为R的函数f (x)是奇函数，当x≥0时，f (x)＝|x－a2|－a2，且对x∈R，恒有f (x＋1)≥f (x)，则实数a的取值范围为________．
解析：定义域为R的函数f (x)是奇函数，
当x≥0时，f (x)＝|x－a2|－a2＝
作出函数f (x)的图象如图所示．
当x<0时，函数的最大值为a2，
∵对x∈R，恒有f (x＋1)≥f (x)，
要满足f (x＋1)≥f (x)，1要大于等于[－a2,3a2]的区间长度3a2－(－a2)，
∴1≥3a2－(－a2)，解得－≤a≤.
答案：
7．已知函数y＝f (x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f (x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f (x)的“不动区间”．若区间[1,2]为函数f (x)＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．
解析：∵函数y＝f (x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，∴F(x)＝f (－x)＝|2－x－t|.
∵区间[1,2]为函数f (x)＝|2x－t|的“不动区间”，
∴函数f (x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同．
∵y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反．
∴(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立，
即2－x≤t≤2x在[1,2]上恒成立，
即≤t≤2.
答案：
8．定义在R上的函数f (x)在(－∞，－2)上是增函数，且f (x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f (2sin x－2)>f (sin x－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为______________．
解析：因为f (x－2)是偶函数，
所以函数f (x)的图象关于x＝－2对称．
又f (x)在(－∞，－2)上为增函数，
则f (x)在(－2，＋∞)上为减函数，
所以不等式f (2sin x－2)>f (sin x－1－m)恒成立等价于|2sin x－2＋2|<|sin x－1－m＋2|，
即|2sin x|<|sin x＋1－m|，两边同时平方，
得3sin2x－2(1－m)sin x－(1－m)2<0，
即(3sin x＋1－m)(sin x－1＋m)<0，
即或
即或
即或
即m<－2或m>4，
故实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)
专题一 函数的图象与性质
卷Ⅰ
卷Ⅱ
卷Ⅲ
2018
________
函数图象的辨识·T3
函数图象的辨识·T7
抽象函数的奇偶性与周期性·T11
2017
利用函数的单调性、奇偶性解不等式·T5
________
分段函数、解不等式·T15
2016
函数图象辨识·T7
函数图象的对称性·T12
__________
纵向把握趋势
卷Ⅰ3年2考，涉及函数图象的识别以及函数的单调性、奇偶性与不等式的综合问题，试题均出现在选择题上，难度适中，预计2019年会重点考查分段函数的有关性质及应用
卷Ⅱ3年3考，涉及函数图象的辨识以及抽象函数的性质，其中函数图象的识别难度较小，而函数性质难度偏大，均出现在选择题中，预计2019年会以选择题的形式考查分段函数、函数的性质等
卷Ⅲ3年2考，涉及函数图象的辨识、分段函数与不等式的综合问题，既有选择题，也有填空题，难度适中，预计2019年会以选择题的形式考查函数的单调性、奇偶性等性质
横向把握重点
1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择题、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域、分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2.此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.
函数的概念及表示
[题组全练]
1．(2018·长春质检)函数y＝＋的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选D 由题意得
解得－1
2．已知函数f (x)＝则f (－2 018)＝( )
A．1 B．e
C. D．e2
解析：选D 由已知可得，当x>2时，f (x)＝f (x－4)，故f (x)在x>－2时的周期为4，则f (－2 018)＝f (2 018)＝f (2 016＋2)＝f (2)＝e2.
3．设f (x)＝若f (a)＝f (a＋1)，则f ＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f (a)＝，f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f (a)＝f (a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，∴f (a)＝2(a－1)，
f (a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f ＝6.
4．已知函数f (x)＝则f (f (x))<2的解集为________．
解析：因为当x≥1时，f (x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f (x)＝2ex－1<2，所以f (f (x))<2等价于f (x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f (f (x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)．
答案：(－∞，1－ln 2)
5．(2018·成都模拟)设函数f ：R→R满足f (0)＝1，且对任意x，y∈R都有f (xy＋1)＝f (x)f (y)－f (y)－x＋2，则f (2 018)＝________.
解析：令x＝y＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.
令y＝0，则f (1)＝f (x)f (0)－f (0)－x＋2.
将f (0)＝1，f (1)＝2代入，得f (x)＝1＋x，
所以f (2 018)＝2 019.
答案：2 019
[系统方法]
1．函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．
2．分段函数问题的4种常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
求函数值
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
解不等式
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数
性质求值
必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
函数的图象及应用
[由题知法]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝的图象大致为( )
(2)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m 的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f (t)的图象大致为( )
(3)已知函数f (x)＝若存在x1，x2，当0≤x1
∴f (x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．
当x＝1时，f (1)＝e－>0，排除D选项．
又e>2，∴<，
∴e－>1，排除C选项．故选B.
(2)如图，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α.
在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，
cos＝＝1－t，
∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(1－t)2－1.又0≤t≤1，故选 B.
(3)画出函数大致图象如图所示．
由图象知，－≤x1<，≤x2<1，x1＋＝2x2－1，于是x1f (x2)＝x12x2－1＝x1，－≤x1<，转化为关于x1的二次函数在给定区间上的值域问题，易得x1f (x2)的取值范围是.
[答案] (1)B (2)B (3)
[类题通法]
1．由函数解析式识别函数图象的策略
2．根据动点变化过程确定其函数图象的策略
(1)先根据已知条件求出函数解析式后再判断其对应的函数的图象．
(2)采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考查图象的变化特征，从而作出选择．
(3)根据动点中变量变化时，对因变量变化的影响，结合选项中图象的变化趋势作出判断．
[应用通关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
解析：选D 法一：令f (x)＝－x4＋x2＋2，
则f ′(x)＝－4x3＋2x，
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f ′(x)>0的解集为∪，
f (x)单调递增；f ′(x)<0的解集为∪，＋∞，f (x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
2.如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f (x)，则y＝f (x)的图象大致为( )
解析：选B 当x∈时，f (x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈时，f ＝f ＝1＋，f ＝2.
∵2<1＋，∴f
C．有最小值－1，无最大值 D．有最大值－1，无最小值
解析：选C 作出函数g(x)＝1－x2和函数|f (x)|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h(x)的图象如图②所示，由图象得函数h(x)有最小值－1，无最大值．
函数的性质及应用
[由题知法]
(1)(2018·石家庄质检)已知函数f (x)为奇函数，当x>0时，f (x)单调递增，且f (1)＝0，若f (x－1)>0，则x的取值范围为( )
A．(0,1)∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)(2018·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f (x)，满足f (x＋5)＝f (x)，当x∈(－3,0]时，f (x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f (x)＝log2x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值等于( )
A．403 B．405
C．806 D．809
(3)已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋3)＝f (x)，且当x∈时，f (x)＝－x3，则f ＝________.
[解析] (1)由于函数f (x)是奇函数，且当x>0时f (x)单调递增，f (1)＝0，所以f (－1)＝0，故由f (x－1)>0，得－1
(2)定义在R上的函数f (x)，满足f (x＋5)＝f (x)，即函数f (x)的周期为5.
又当x∈(0,2]时，f (x)＝log2x，所以f (1)＝log21＝0，f (2)＝log22＝1.
当x∈(－3,0]时，f (x)＝－x－1，
所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，
f (5)＝f (0)＝－1.
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)
＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)
＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝403＋0＋1＋1＝405.
(3)由f (x＋3)＝f (x)知函数f (x)的周期为3，
又函数f (x)为奇函数，
所以f ＝f ＝－f ＝3＝.
[答案] (1)A (2)B (3)
[类题通法] 函数性质的应用技巧
奇偶性
具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x)的性质：f (|x|)＝f (x)
单调性
可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性
周期性
利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解
对称性
利用其轴对称或中心对称可将研究的问题，转化到另一对称区间上研究
[应用通关]
1．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称
B．函数f (x)在(－∞，1)上是增函数
C．函数f (x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴
D．函数f (x)的图象关于直线x＝1对称
解析：选A 因为y＝＝＝＋2，所以该函数图象可以由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x)的图象关于点(1,2)中心对称，A正确，D错误．易知函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，故B错误．易知函数f (x)的图象是由y＝的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选A.
2．(2019届高三·惠州调研)已知函数y＝f (x)的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1
A．a
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C 法一：∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，
∴f (1－x)＝－f (x－1)．
由f (1－x)＝f (1＋x)，得－f (x－1)＝f (x＋1)，
∴f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数．
由f (x)为奇函数得f (0)＝0.
又∵f (1－x)＝f (1＋x)，
∴f (x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.
又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)
＝0×12＋f (49)＋f (50)
＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f (x)＝2sin，作出f (x)的部分图象如图所示．由图可知，f (x)的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.
重难增分(一)
函数图象与性质的综合应用
[典例细解]
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝2－f (x)，若函数y＝与y＝f (x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
[学解题]
法一：利用函数的对称性(学生用书不提供解题过程)
因为f (－x)＝2－f (x)，所以f (－x)＋f (x)＝2.因为＝0，＝1，所以函数y＝f (x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝＝1＋，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝与y＝f (x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝0，i＝2×＝m，所以(xi＋yi)＝m.
法二：构造特殊函数(学生用书提供解题过程)
因为f (－x)＝2－f (x)，
所以f (－x)＋f (x)＝2.
因为＝0，＝1，
所以函数y＝f (x)的图象关于点(0,1)对称．
可设y＝f (x)＝x＋1，由得交点(－1,0)，(1,2)，则x1＋y1＋x2＋y2＝2，
结合选项，应选B.
[答案] B
[启思维] 本题考查了抽象函数的性质及图象对称性的应用．由于题目条件中的f (x)没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x)＝2－f (x)，即f (x)(x∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些交点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．易知函数y＝关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x)(x∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x)的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x)来求解．
已知直线l与曲线y＝x3－x2＋x＋1有三个不同的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，且|AB|＝|AC|，则(xi＋yi)＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 易知y′＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以函数y＝x3－x2＋x＋1在R上单调递增．函数y＝x3－x2＋x＋1的图象如图所示，y＝x3－x2＋x＋1＝(x－1)3＋，易知曲线关于点对称，因为直线l与y＝x3－x2＋x＋1的图象交于不同的三个点，且满足|AB|＝|AC|，故B，C两点一定关于点A对称，故A，则有得故(xi＋yi)＝x1＋y1＋x2＋y2＋x3＋y3＝1＋＋2＋＝＝7，选 D.
[答案] D
[启思维] 本题主要考查函数的图象与性质，解此类问题常利用函数的性质作出函数图象，数形结合法解题．
[知能升级]
1．解决抽象函数问题的2个常用方法
性质法
先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题
特殊值法
根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解
2.解决抽象函数问题常用的几个结论
(1)函数y＝f (x)关于x＝a对称⇔f (a＋x)＝f (a－x)⇔f (x)＝f (2a－x)；
(2)函数y＝f (x)关于点(a,0)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝0⇔f (2a＋x)＋f (－x)＝0；
(3)y＝f (x＋a)是偶函数⇔函数y＝f (x)关于直线x＝a对称；y＝f (x＋a)是奇函数⇔函数y＝f (x)关于(a,0)对称．
(4)对于函数f (x)定义域内任一自变量的值x：
①若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a；
②若f (x＋a)＝，则T＝2a；
③若f (x＋a)＝－，则T＝2a；(a>0)
④若f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；
⑤若f (2a－x)＝f (x)且f (2b－x)＝f (x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.
[增分集训]
1．定义在R上的函数y＝f (x)为减函数，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1,0)对称．若f (x2－2x)＋f (2b－b2)≤0，且0≤x≤2，则x－b的取值范围是( )
A．[－2,0] B．[－2,2]
C．[0,2] D．[0,4]
解析：选B 设P(x，y)为函数y＝f (x－1)的图象上的任意一点，P关于点(1,0)对称的点为(2－x，－y)，∴f (2－x－1)＝－f (x－1)，即f (1－x)＝－f (x－1)．∴不等式f (x2－2x)＋f (2b－b2)≤0可化为f (x2－2x)≤－f (2b－b2)＝f (1－1－2b＋b2)＝f (b2－2b)．∵函数y＝f (x)为定义在R上的减函数，∴x2－2x≥b2－2b，即(x－1)2≥(b－1)2.∵0≤x≤2，∴或
画出可行域如图中阴影部分所示．
设x－b＝z，则b＝x－z，由图可知，当直线b＝x－z经过点(0,2)时，z取得最小值－2；当直线b＝x－z经过点(2,0)时，z取得最大值2.综上可得，x－b的取值范围是[－2,2]．
2．(2018·沈阳模拟)设f (x)是定义在R上的偶函数，F(x)＝(x＋2)3f (x＋2)－17，G(x)＝－，若F(x)的图象与G(x)的图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________.
解析：∵f (x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)＝x3f (x)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点中心对称，∴函数F(x)＝(x＋2)3f (x＋2)－17＝g(x＋2)－17的图象关于点(－2，－17)中心对称．又函数G(x)＝－＝－17的图象也关于点(－2，－17)中心对称，∴F(x)和G(x)的图象的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x1＋x2＋…＋xm＝×(－2)×2＝－2m，y1＋y2＋…＋ym＝×(－17)×2＝－17m，∴(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝－19m.
答案：－19m
重难增分(二)
新定义下的函数问题
[典例细解]
我们将具有性质f ＝－f (x)的函数，称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：①f (x)＝ln；②f (x)＝；③f (x)＝
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[解析] 对于①，因为f ＝ln＝ln≠－f (x)，所以不满足“倒负”变换；
对于②，因为f ＝＝＝－f (x)，所以满足“倒负”变换；
对于③，因为f ＝即f ＝所以f ＝－f (x)，故满足“倒负”变换．综上可知，选C.
[答案] C
[启思维] 本题是在现有函数的图象与性质的基础上定义的一种新的函数性质，考查在新情境下，灵活运用有关函数知识求解“新定义”类数学问题的能力．求解本题的关键是先准确写出f 的表达式，并加以整理，再具体考虑f 与－f (x)是否相等．
设函数f (x)的定义域为D，若f (x)满足条件：存在[a，b]⊆D(a
C. D.
[解析] f (x)＝log2(4x＋t)为增函数，且存在[a，b]⊆D(a
所以a，b是方程4x－2x＋t＝0的两个不等的实根．
设2x＝m(m>0)，
则方程m2－m＋t＝0有两个不等的实根，且两根都大于0，所以解得0
[启思维] (1)本题是一个新定义问题，读懂题意后，即可由函数f (x)＝log2(4x＋t)为“优美函数”，得到关于a，b的方程组，并构造出以a，b为实数根的方程．
(2)在应用换元法解题时，一定要注意挖掘隐含条件，确定新元的取值范围，以防在解题过程中出现非等价转化．
[知能升级]
1．函数新定义问题的常见形式
(1)讨论新函数的性质；
(2)利用新函数进行运算；
(3)判断新函数的图象；
(4)利用新概念判断命题真假等．
2．函数新定义问题的解题思路
理解定义
深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系
合理转化
将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已学函数的复合函数等形式解决问题
特值思想
如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题
[增分集训]
1．(2018·武汉模拟)若存在正实数a，b，使得∀x∈R有f (x＋a)≤f (x)＋b恒成立，则称f (x)为“限增函数”．给出以下三个函数：①f (x)＝x2＋x＋1；②f (x)＝；③f (x)＝sin(x2)，其中是“限增函数”的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③
解析：选B 对于①，f (x＋a)≤f (x)＋b，即(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b，x≤对一切x∈R恒成立，显然不存在这样的正实数a，b.对于②，f (x)＝，即≤＋b，|x＋a|≤|x|＋b2＋2b，而|x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b，则≥，显然，当a≤b2时式子恒成立，∴f (x)＝是“限增函数”．对于③，f (x)＝sin(x2)，－1≤f (x)＝sin(x2)≤1，故f (x＋a)－f (x)≤2，当b≥2时，对于任意的正实数a，b都成立．故选B.
2．对于函数f (x)和g(x)，设α∈{x|f (x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f (x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B.
C. D．[2,3]
解析：选D ∵f ′(x)＝ex－1＋1>0，∴f (x)＝ex－1＋x－2是增函数．又f (1)＝0，∴函数f (x)的零点为x＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g(x)＝x2－ax－a＋3在区间[0,2]上有零点．由g(x)＝0，得a＝(0≤x≤2)，即a＝＝(x＋1)＋－2(0≤x≤2)，设x＋1＝t(1≤t≤3)，则a＝t＋－2(1≤t≤3)，令h(t)＝t＋－2(1≤t≤3)，易知h(t)在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h(t)≤3，即2≤a≤3，故选D.
3．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f (x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f (x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A．(－2,1) B．[0,1]
C．[－2,0) D．[－2,1)
解析：选D 当x2－1≥4＋x＋1，即x≤－2或x≥3时，f (x)＝4＋x；当x2－1<4＋x＋1，即－2
[专题跟踪检测]
一、全练保分考法——保大分
1．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝－x3 B．y＝ln |x|
C．y＝cos x D．y＝2－|x|
解析：选D 显然函数y＝2－|x|是偶函数，当x>0时，y＝2－|x|＝|x|＝x，函数y＝x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D.
2．(2018·贵阳模拟)若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝log2(x＋2)－1，则f (－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log2(6＋2)＝1－log28＝－2.故选C.
3．(2018·长春质检)已知函数f (x)＝则函数f (x)的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C. D．R
解析：选B 法一：当x<－1时，f (x)＝x2－2∈(－1，＋∞)；当x≥－1时，f (x)＝2x－1∈，综上可知，函数f (x)的值域为(－1，＋∞)．故选B.
法二：作出分段函数f (x)的图象(图略)可知，该函数的值域为(－1，＋∞)，故选B.
4．(2018·陕西质检)设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f (x)＝|x|sgn x的图象大致是( )
解析：选C 由符号函数解析式和绝对值运算，可得f (x)＝x，选C.
5．(2018·濮阳二模)若f (x)＝是奇函数，则f (g(－2))的值为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选C ∵f (x)＝是奇函数，
∴x<0时，g(x)＝－＋3，
∴g(－2)＝－＋3＝－1，
f (g(－2))＝f (－1)＝－f (1)＝1.故选C.
6．(2018·葫芦岛一模)设偶函数f (x)对任意x∈R，都有f (x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f (x)＝4x，则f (107.5)＝( )
A．10 B.
C．－10 D．－
解析：选B 因为f (x＋3)＝－，所以f (x＋6)＝－＝－＝f (x)，所以函数f (x)是以6为周期的函数，f (107.5)＝f (6×17＋5.5)＝f (5.5)＝－＝－＝－＝.故选B.
7．(2019届高三·合肥调研)函数f (x)＝(ex－e－x)的图象大致是( )
解析：选D 因为f (x)＝(ex－e－x)(x≠0)，所以f (－x)＝(e－x－ex)＝(ex－e－x)·＝f (x)，所以f (x)是偶函数，排除选项A、C；因为函数f (x)在(0，＋∞)上是增函数，所以排除选项B，故选D.
8.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f (x)的图象的形状大致是图中的( )
解析：选A 根据题意得
f (x)＝
画出分段函数图象可知A正确．
9．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (1－x)，若当x∈(－1,1)时，f (x)＝lg，且f (2 018－a)＝1，则实数a的值可以是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A ∵f (x＋1)＝f (1－x)，∴f (x)＝f (2－x)．又函数f (x)为奇函数，∴f (－x)＝－f (x)，∴f (－x)＝－f (2－x)，∴f (2＋x)＝－f (x)，∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，∴函数f (x)为周期函数，且周期为4.当x∈(－1,1)时，令f (x)＝lg＝1，得x＝，又f (2 018－a)＝f (2－a)＝f (a)，∴a可以是.
10．已知函数f (x)＝则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )
A．2 018 B．1 513
C．1 009 D.
解析：选D ∵函数f (x)＝
∴f (1)＝f (－1)＝2－1，f (2)＝f (0)＝20，f (3)＝f (1)＝2－1，…，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝1 009×f (－1)＋1 009×f (0)＝1 009×2－1＋1 009×20＝.故选D.
11．(2018·郴州二模)已知函数f (x)＝ex－，其中e是自然对数的底数．则关于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)>0的解集为( )
A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D．(－∞，2)
解析：选B ∵函数f (x)＝ex－＝ex－e－x满足f (－x)＝－f (x)，
∴f (x)为奇函数且是单调递增函数，
关于x的不等式f (2x－1)＋f (－x－1)>0，
即为f (2x－1)>f (x＋1)，
∴2x－1>x＋1，
解得x>2，故选B.
12．(2018·陕西二模)已知函数f (x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A. B．(－∞，e)
C. D.
解析：选B 由题意知，方程f (－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，
即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，
即函数y＝e－x的图象与y＝ln(x＋a)
的图象在(0，＋∞)上有交点，
函数y＝ln(x＋a)的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位得到的，当y＝ln x向左平移且平移到过点(0,1)后开始，两函数的图象有交点，
把点(0,1)代入y＝ln(x＋a)得，1＝ln a，
∴a＝e，∴a
解析：∵f (x＋4)＝f (x－2)，∴f (x＋6)＝f (x)，
∴f (x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．
又f (x)为偶函数，
∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.
答案：6
14．(2018·陕西质检)若函数f (x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
解析：由函数f (x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f (x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.
答案：
15．(2018·青岛一模)定义在R上的函数f (x)满足f (x)＝
则f (2 009)的值为______．
解析：∵f (2 009)＝f (2 008)－f (2 007)＝[f (2 007)－f (2 006)]－f (2 007)＝－f (2 006)，
即当x>3时满足f (x)＝－f (x－3)＝f (x－6)，函数f (x)的周期为6.
∴f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)＝f (－1)．
∵当x≤0时f (x)＝log2(1－x)，∴f (－1)＝1，
∴f (2 009)＝f (－1)＝1.
答案：1
16．已知函数f (x)＝e|x|，函数g(x)＝对任意的x∈[1，m](m>1)，都有f (x－2)≤g(x)，则m的取值范围是__________．
解析：作出函数y＝h(x)＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，h(1)＝g(1)，又当x＝4时，h(4)＝e2
17．设函数f (x)＝若函数f (x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．
解析：画出函数f (x)的图象如图所示，结合图象易得，当m∈[－8，－1]时，f (x)∈[－1,2]，故实数m的取值范围为[－8，－1]．
答案：[－8，－1]
18．设函数f (x)＝1－，g(x)＝ln(ax2－2x＋1)，若对任意的x1∈R，都存在实数x2，使得f (x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．
解析：设g(x)＝ln(ax2－2x＋1)的值域为A，
∵f (x)＝1－在R上的值域为(－∞，0]，
∴(－∞，0]⊆A，
∴h(x)＝ax2－2x＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h(0)＝1，
∴实数a需要满足a≤0或解得a≤1.
∴实数a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
19．已知函数f (x)＝(p>1)，若对于任意a，b，c∈R，都有f (a)＋f (b)>f (c)成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为f (x)＝＝1＋，
所以当m>1时，函数f (x)在R上是减函数，函数f (x)的值域为(1，m)，
所以f (a)＋f (b)>2，f (c)
当m<1时，函数f (x)在R上是增函数，函数f (x)的值域为(m,1)，
所以f (a)＋f (b)>2m，f (c)<1，所以2m≥1，
所以m≥，所以≤m<1.
综上可知，≤m≤2，故所求实数m的取值范围是.
答案：
20．已知函数f (x)＝若f (x)的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，当x≥1时，f (x)＝1＋log2x单调递增，f (x)＝1＋log2x在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x)的值域是R，则需函数f (x)在(－∞，1)上的值域M⊇(－∞，1)．
①当a－1<0，即a<1时，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，函数f (x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，显然此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a<1不满足题意；
②当a－1＝0，即a＝1时，函数f (x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a＝1不满足题意；
③当a－1>0，即a>1时，函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，函数f (x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M⊇(－∞，1)得解得1
答案：(1,2]
二、强化压轴考法——拉开分
1．(2018·惠州第一次调研)已知定义域为R的偶函数f (x)在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log2x)>2的解集为( )
A．(2，＋∞) B.∪(2，＋∞)
C.∪(，＋∞) D．(，＋∞)
解析：选B 因为f (x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x)在[0，＋∞)上是增函数．因为f (1)＝2，所以f (－1)＝2，所以f (log2x)>2⇔f (|log2x|)>f (1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：选B 法一：因为函数f (x)是偶函数，f (x＋1)是奇函数，所以f (－x)＝f (x)，f (－x＋1)＝－f (x＋1)，所以f (x－1)＝－f (x＋1)，所以f (x)＝－f (x＋2)，所以f (x)＝f (x＋4)，所以a＝f ＝f ＝f ，b＝－f ＝f ，c＝f ＝f ，又对于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]<0，所以f (x)在[0,1]上是减函数，因为<<，所以b>a>c，故选B.
法二：因为函数f (x)是偶函数，f (x＋1)是奇函数，且对于任意x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0，即f (x)在[0,1]上是减函数，不妨取f (x)＝cosx，则a＝f ＝cos＝cos，b＝－f ＝－cos＝cos，c＝f ＝cos＝cos，因为函数y＝cos x在[0,1]上是减函数，且<<<1，所以b>a>c，故选B.
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝则满足f (x＋1)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
解析：选D 法一：①当即x≤－1时，
f (x＋1)
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当时，不等式组无解．
③当即－1
④当即x>0时，f (x＋1)＝1，f (2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f (x＋1)
∴函数f (x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f (x＋1)
∴x<0，故选D.
4．已知函数y＝f (x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f (x＋4)＝f (x)＋f (2)成立，且f (3)＝－1，当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有>0.给出下列命题：①f (221)＝－1；②函数y＝f (x)图象的一条对称轴方程为x＝－4；③函数y＝f (x)在[－6，－4]上为减函数；④方程f (x)＝0在[－6,6]上有4个根．
其中正确的命题个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D 令x＝－2，由f (x＋4)＝f (x)＋f (2)得f (－2)＝0.因为函数y＝f (x)是R上的偶函数，所以f (2)＝f (－2)＝0，所以f (x＋4)＝f (x)，即函数y＝f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (221)＝f (55×4＋1)＝f (1)．因为f (3)＝－1，所以f (－3)＝f (1)＝－1，从而f (221)＝－1，①正确．因为函数图象关于y轴对称，函数的周期为4，所以函数y＝f (x)图象的一条对称轴方程为x＝－4，②正确．因为当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有>0，设x1
5．(2018·长沙模拟)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f (x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．
解析：由已知得f (x)＝x2(2x－x2)＝
＝
画出函数f (x)的大致图象(图略)可知，函数f (x)的最大值为4.
答案：4
6．(2019届高三·石家庄检测)已知定义域为R的函数f (x)是奇函数，当x≥0时，f (x)＝|x－a2|－a2，且对x∈R，恒有f (x＋1)≥f (x)，则实数a的取值范围为________．
解析：定义域为R的函数f (x)是奇函数，
当x≥0时，f (x)＝|x－a2|－a2＝
作出函数f (x)的图象如图所示．
当x<0时，函数的最大值为a2，
∵对x∈R，恒有f (x＋1)≥f (x)，
要满足f (x＋1)≥f (x)，1要大于等于[－a2,3a2]的区间长度3a2－(－a2)，
∴1≥3a2－(－a2)，解得－≤a≤.
答案：
7．已知函数y＝f (x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，当函数y＝f (x)和y＝F(x)在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫作函数y＝f (x)的“不动区间”．若区间[1,2]为函数f (x)＝|2x－t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．
解析：∵函数y＝f (x)与y＝F(x)的图象关于y轴对称，∴F(x)＝f (－x)＝|2－x－t|.
∵区间[1,2]为函数f (x)＝|2x－t|的“不动区间”，
∴函数f (x)＝|2x－t|和函数F(x)＝|2－x－t|在[1,2]上单调性相同．
∵y＝2x－t和函数y＝2－x－t的单调性相反．
∴(2x－t)(2－x－t)≤0在[1,2]上恒成立，
即2－x≤t≤2x在[1,2]上恒成立，
即≤t≤2.
答案：
8．定义在R上的函数f (x)在(－∞，－2)上是增函数，且f (x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式f (2sin x－2)>f (sin x－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为______________．
解析：因为f (x－2)是偶函数，
所以函数f (x)的图象关于x＝－2对称．
又f (x)在(－∞，－2)上为增函数，
则f (x)在(－2，＋∞)上为减函数，
所以不等式f (2sin x－2)>f (sin x－1－m)恒成立等价于|2sin x－2＋2|<|sin x－1－m＋2|，
即|2sin x|<|sin x＋1－m|，两边同时平方，
得3sin2x－2(1－m)sin x－(1－m)2<0，
即(3sin x＋1－m)(sin x－1＋m)<0，
即或
即或
即或
即m<－2或m>4，
故实数m的取值范围为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－2)∪(4，＋∞)
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