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2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第三讲小题考法——三角恒等变换与解三角形
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第三讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形
考点(一)
三角恒等变换与求值
主要考查利用三角恒等变换解决化简求值问题.多涉及两角和与差的正弦、 余弦、正切公式以及二倍角公式.
[典例感悟]
[典例] (1)已知α为第一象限角，cos α＝，则＝( )
A. B.
C. D．－
(2)(2019届高三·浦东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] (1)由α为第一象限角，cos α＝，得sin α＝，＝＝＝2(cos α＋sin α)＝.
(2)因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以＝5，所以log2＝log52＝4.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
1．三角恒等变换的策略
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
2．解决条件求值问题的关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
2．(2018·河南郑州一模)若tan 20°＋msin 20°＝，则m的值为________．
解析：由于tan 20°＋msin 20°＝，
可得m＝＝
＝
＝
＝4.
答案：4
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
考点(二)
利用正、余弦定理解三角形
主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及
面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2018·宜昌模拟)在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为____________．
(3)(2018·南昌模拟)已知△ABC的面积为2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，则a的最小值为________．
[解析] (1)∵S＝absin C＝＝＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵sin2＝＝，
∴cos A＝，∴cos A＝＝，
整理得a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
(3)因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝8，cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，即≤，
所以a2≥8，所以a≥2，
即a的最小值为2.
[答案] (1)C (2)直角三角形 (3)2
[方法技巧]
解三角形问题的求解策略
已知条件
解题思路
两角A，B
与一边a
由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c
两边b，c及
其夹角A
由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C
三边a，b，c
由余弦定理可求出角A，B，C
两边a，b及其
中一边a的对
角A
由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，注意通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况
[演练冲关]
1．(2018·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C－2ccos B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选B ∵2bcos C－2ccos B＝a，∴2sin Bcos C－2sin Ccos B＝sin A＝sin(B＋C)，即sin Bcos C＝3cos Bsin C，∴tan B＝3tan C，又B＝2C，∴＝3tan C，得tan C＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．
2．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C．又sin Bsin C>0，∴sin A＝.由余弦定理得cos A＝＝＝>0，∴cos A＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
3．(2018·石家庄模拟)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．
解析：设∠ACB＝θ，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即AC＝DC＝＝2cos θ，
BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，
即BD2＝4cos2θ＋1－2×1×2cos θcos
＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3.
由0<θ<，可得<2θ＋<，
则(BD2)max＝2＋3，此时θ＝，
因此(BD)max＝＋1.
答案：＋1
4．(2018·长春模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由cos A＝sin Acos C，
得bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
则bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，即bcos A＝sin B，
又＝，所以sin B＝，
所以bcos A＝，
由a＝2，得tan A＝，则A＝.
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bccos，
则b2＋c2＝12＋bc≥2bc，所以bc≤12，
当且仅当b＝c时取等号，
则S△ABC＝bcsin≤×12×＝3，
所以△ABC面积的最大值为3.
答案：3
考点(三)
正、余弦定理的实际应用
主要是以实际生活为背景所命制的与测量和几何计算有关的问题，考查正弦、
余弦定理等知识和方法的运用.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
(2)(2018·广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30)n mile，CD＝250 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现有一艘轮船从城市A出发以50 n mile/h的速度向城市D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ＝________.
[解析] (1)由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°.
在△ABD中，由正弦定理可得＝，
即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)
＝25(－1)．
在△BCD中，∠DCB＝90°＋θ，
所以＝，即＝，
解得cos θ＝－1.
(2)设轮船行驶至F时收到指令，则AF＝50 n mile.
如图所示，连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，
则AE＝ABsin 60°＝40(n mile)，BE＝ABcos 60°＝40(n mile)，CE＝BC－BE＝30(n mile)，AC＝＝50(n mile)，
所以cos∠ACE＝，sin∠ACE＝，
所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝×＋×＝＝，
所以∠CAD＝90°.
因为AF＝50 n mile，AC＝50 n mile，可得∠AFC＝60°，
所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sin θ＝.
[答案] (1)－1 (2)
[方法技巧]
解三角形实际问题的常见类型及解题思路
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
[演练冲关]
1．从气球A上测得正前方的河流两岸B，C的俯角分别为60°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．30 m B．30(－1)m
C．40 m D．40(－1)m
解析：选C 如图所示，设A在直线BC上的射影为H.由题意得，∠BAH＝30°，∠CAH＝60°.在Rt△AHB中，HB＝AHtan 30°＝AH＝×60＝20(m)．在Rt△AHC中，HC＝AHtan 60°＝AH＝×60＝60(m)．所以BC＝HC－HB＝60－20＝40(m)．故选C.
2．(2018·山西三区八校二模)为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1 m，且AC比AB长0.5 m．为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( )
A. m B．2 m
C．(1＋) m D．(2＋) m
解析：选D 由题意设BC＝x(x>1)，AC＝t(t>0)，依题意得AB＝AC－0.5＝(t－0.5)．在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝＝x－1＋＋2(x>1)．因为x>1，所以t＝x－1＋＋2≥2＋，故AC最短为(2＋) m，应选D.
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．两组三角公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
③tan(α±β)＝ .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)．
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α＝2sin αcos α.
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
③tan 2α＝ .
2．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
3．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
4．三角形面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
[二级结论要用好]
1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
2．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.
3．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．
4．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．
[易错易混要明了]
1．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
[针对练1] 若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α＋β＝________.
解析：∵α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝，cos β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案：
2．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.
[针对练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________.
解析：由＝，得sin C＝＝，得C＝或.当C＝时，B＝，可得b＝2；当C＝时，B＝，可得b＝1.
答案：2或1
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·河北保定一模)已知cos＝sin，则tan α的值为( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选B 由已知得cos α－sin α＝sin α－cos α，整理得sin α＝cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.
2．(2018·福州模拟)cos 15°－4sin215°cos 15°＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
解析：选A ∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.
4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且所以cos α＝－ ＝－，sin α＝－，则sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×－×＝－，选C.
5．(2018·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，又sin C≠0，所以cos B＝－，又0
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由题意知3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)，由于α∈，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝2，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－.
7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
8．(2018·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，故A＝.对于b2＝ac，由正弦定理，得sin2B＝sin Asin C＝·sin C，由正弦定理，得＝＝＝.故选B.
9．(2019届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan＝( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选A 由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，∴tan＝＝.
10．(2018·广东佛山二模)已知tan＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由tan＝＝，解得tan α＝－，所以cos2＝＝＝＋sin αcos α，又sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.
11．(2018·福州模拟)已知m＝，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2.
12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A．2＋ B．2＋
C．3 D．3＋
解析：选A 由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝.故△ABC的周长为2＋.故选A.
二、填空题
13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan α＝________.
解析：tan＝tan＝＝，
解得tan α＝.
答案：
14．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里．
解析：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝＝＝a.即灯塔A与灯塔B的距离为a海里．
答案：a
15．(2018·贵州模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asin B＝bcos A，若△ABC的面积S＝4，则b＋c＝________.
解析：由正弦定理，得sin Asin B＝sin Bcos A，
又sin B≠0，∴tan A＝，∴A＝.
由S＝bc×＝4，得bc＝16，由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，∴c2＋b2＝32，∴b＋c＝8.
答案：8
16.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE的长度为________．
解析：易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝⇒CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin 60°，所以DE＝CEsin 60°＝×＝×＝6.
答案：6
B级——难度小题强化练
1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin2β，则( )
A．cos β＝2cos α B．cos2β＝2cos2α
C．cos 2β＝2cos 2α D．cos 2β＝－2cos 2α
解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin2θ＋cos2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β.由二倍角公式可得4×＝1＋2×，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.
2．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)
C. D.
解析：选D 由题意得sin2A0，则cos A＝>0.因为0，即角A的取值范围为.故选D.
3．(2018·唐山统考)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图，设物体的运动速度为v，则PQ＝v，QR＝2v，因为∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，所以∠POR＝120°，P＋R＝60°，所以R＝60°－P.在Rt△OPQ中，OQ＝vsin P．在△OQR中，由正弦定理得OQ＝＝4v·sin R＝4vsin(60°－P)＝2vcos P－2vsin P．所以有2vcos P－2vsin P＝vsin P，即2vcos P＝3vsin P，所以tan P＝，所以选B.
4．(2018·成都模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由正弦定理，得＝＝＝2，所以sin A＝，sin B＝，sin C＝，将其代入2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝＝，又0
解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.
答案：
6.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围为________．
解析：设∠ACD＝θ，则∠CAD＝－θ，根据条件及余弦定理计算得AC＝2.在△ACD中，由正弦定理得＝＝＝4，
∴AD＝4sin θ，CD＝4sin，
∴DA＋DC＝4
＝4＝4
＝4＝4sin.
∵△ACD是锐角三角形，
∴θ和－θ均为锐角，∴θ∈，
∴θ＋∈，∴sin∈.
∴DA＋DC＝4sin∈.
答案：(6,4 ]
考点(一)
三角恒等变换与求值
主要考查利用三角恒等变换解决化简求值问题.多涉及两角和与差的正弦、 余弦、正切公式以及二倍角公式.
[典例感悟]
[典例] (1)已知α为第一象限角，cos α＝，则＝( )
A. B.
C. D．－
(2)(2019届高三·浦东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] (1)由α为第一象限角，cos α＝，得sin α＝，＝＝＝2(cos α＋sin α)＝.
(2)因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以＝5，所以log2＝log52＝4.
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
1．三角恒等变换的策略
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
2．解决条件求值问题的关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
2．(2018·河南郑州一模)若tan 20°＋msin 20°＝，则m的值为________．
解析：由于tan 20°＋msin 20°＝，
可得m＝＝
＝
＝
＝4.
答案：4
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
考点(二)
利用正、余弦定理解三角形
主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及
面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝( )
A. B.
C. D.
(2)(2018·宜昌模拟)在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为____________．
(3)(2018·南昌模拟)已知△ABC的面积为2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，则a的最小值为________．
[解析] (1)∵S＝absin C＝＝＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵sin2＝＝，
∴cos A＝，∴cos A＝＝，
整理得a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
(3)因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝8，cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，即≤，
所以a2≥8，所以a≥2，
即a的最小值为2.
[答案] (1)C (2)直角三角形 (3)2
[方法技巧]
解三角形问题的求解策略
已知条件
解题思路
两角A，B
与一边a
由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c
两边b，c及
其夹角A
由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C
三边a，b，c
由余弦定理可求出角A，B，C
两边a，b及其
中一边a的对
角A
由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，注意通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况
[演练冲关]
1．(2018·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C－2ccos B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选B ∵2bcos C－2ccos B＝a，∴2sin Bcos C－2sin Ccos B＝sin A＝sin(B＋C)，即sin Bcos C＝3cos Bsin C，∴tan B＝3tan C，又B＝2C，∴＝3tan C，得tan C＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．
2．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C．又sin Bsin C>0，∴sin A＝.由余弦定理得cos A＝＝＝>0，∴cos A＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
3．(2018·石家庄模拟)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．
解析：设∠ACB＝θ，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即AC＝DC＝＝2cos θ，
BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，
即BD2＝4cos2θ＋1－2×1×2cos θcos
＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3.
由0<θ<，可得<2θ＋<，
则(BD2)max＝2＋3，此时θ＝，
因此(BD)max＝＋1.
答案：＋1
4．(2018·长春模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝sin Acos C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________．
解析：由cos A＝sin Acos C，
得bcos A－sin Ccos A＝sin Acos C，
则bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，即bcos A＝sin B，
又＝，所以sin B＝，
所以bcos A＝，
由a＝2，得tan A＝，则A＝.
由余弦定理得(2)2＝b2＋c2－2bccos，
则b2＋c2＝12＋bc≥2bc，所以bc≤12，
当且仅当b＝c时取等号，
则S△ABC＝bcsin≤×12×＝3，
所以△ABC面积的最大值为3.
答案：3
考点(三)
正、余弦定理的实际应用
主要是以实际生活为背景所命制的与测量和几何计算有关的问题，考查正弦、
余弦定理等知识和方法的运用.
[典例感悟]
[典例] (1)(2018·广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
(2)(2018·广东佛山二模)某沿海四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋30)n mile，CD＝250 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现有一艘轮船从城市A出发以50 n mile/h的速度向城市D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ＝________.
[解析] (1)由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°.
在△ABD中，由正弦定理可得＝，
即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)
＝25(－1)．
在△BCD中，∠DCB＝90°＋θ，
所以＝，即＝，
解得cos θ＝－1.
(2)设轮船行驶至F时收到指令，则AF＝50 n mile.
如图所示，连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，
则AE＝ABsin 60°＝40(n mile)，BE＝ABcos 60°＝40(n mile)，CE＝BC－BE＝30(n mile)，AC＝＝50(n mile)，
所以cos∠ACE＝，sin∠ACE＝，
所以cos∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝×＋×＝＝，
所以∠CAD＝90°.
因为AF＝50 n mile，AC＝50 n mile，可得∠AFC＝60°，
所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sin θ＝.
[答案] (1)－1 (2)
[方法技巧]
解三角形实际问题的常见类型及解题思路
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
[演练冲关]
1．从气球A上测得正前方的河流两岸B，C的俯角分别为60°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．30 m B．30(－1)m
C．40 m D．40(－1)m
解析：选C 如图所示，设A在直线BC上的射影为H.由题意得，∠BAH＝30°，∠CAH＝60°.在Rt△AHB中，HB＝AHtan 30°＝AH＝×60＝20(m)．在Rt△AHC中，HC＝AHtan 60°＝AH＝×60＝60(m)．所以BC＝HC－HB＝60－20＝40(m)．故选C.
2．(2018·山西三区八校二模)为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1 m，且AC比AB长0.5 m．为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为( )
A. m B．2 m
C．(1＋) m D．(2＋) m
解析：选D 由题意设BC＝x(x>1)，AC＝t(t>0)，依题意得AB＝AC－0.5＝(t－0.5)．在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝＝x－1＋＋2(x>1)．因为x>1，所以t＝x－1＋＋2≥2＋，故AC最短为(2＋) m，应选D.
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．两组三角公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
③tan(α±β)＝ .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)．
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α＝2sin αcos α.
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
③tan 2α＝ .
2．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
3．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
4．三角形面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
[二级结论要用好]
1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
2．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.
3．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．
4．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．
[易错易混要明了]
1．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
[针对练1] 若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α＋β＝________.
解析：∵α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝，cos β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案：
2．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解．在△ABC中，A>B⇔sin A>sin B.
[针对练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________.
解析：由＝，得sin C＝＝，得C＝或.当C＝时，B＝，可得b＝2；当C＝时，B＝，可得b＝1.
答案：2或1
A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·河北保定一模)已知cos＝sin，则tan α的值为( )
A．－1 B．1
C. D．－
解析：选B 由已知得cos α－sin α＝sin α－cos α，整理得sin α＝cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.
2．(2018·福州模拟)cos 15°－4sin215°cos 15°＝( )
A. B.
C．1 D.
解析：选D cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B.
C. D．2
解析：选A ∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.
4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C 因为α是第三象限的角，tan α＝2，且所以cos α＝－ ＝－，sin α＝－，则sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×－×＝－，选C.
5．(2018·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则B＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，又sin C≠0，所以cos B＝－，又0
A. B．－
C. D．－
解析：选D 由题意知3(cos2α－sin2α)＝2(cos α－sin α)，由于α∈，因而cos α≠sin α，则3(cos α＋sin α)＝2，那么9(1＋sin 2α)＝8，sin 2α＝－.
7．(2019届高三·昆明三中、玉溪一中联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C 因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，由面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)．
8．(2018·洛阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，故A＝.对于b2＝ac，由正弦定理，得sin2B＝sin Asin C＝·sin C，由正弦定理，得＝＝＝.故选B.
9．(2019届高三·广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan＝( )
A. B．－
C．3 D．－3
解析：选A 由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴tan x＝2，∴tan＝＝.
10．(2018·广东佛山二模)已知tan＝，则cos2＝( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由tan＝＝，解得tan α＝－，所以cos2＝＝＝＋sin αcos α，又sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.
11．(2018·福州模拟)已知m＝，若sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，则m＝( )
A. B.
C. D．2
解析：选D 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B，因为sin [2(α＋γ)]＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin Acos B＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos Asin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2.
12．(2018·南宁、柳州联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc＝1，b＋2ccos A＝0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A．2＋ B．2＋
C．3 D．3＋
解析：选A 由已知b＋2ccos A＝0，得b＋2c·＝0，整理得2b2＝a2－c2.由余弦定理，得cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时等号成立，此时角B取得最大值，将a＝c代入2b2＝a2－c2可得b＝c.又bc＝1，所以b＝c＝1，a＝.故△ABC的周长为2＋.故选A.
二、填空题
13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan α＝________.
解析：tan＝tan＝＝，
解得tan α＝.
答案：
14．(2018·贵州模拟)如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为________海里．
解析：依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝＝＝a.即灯塔A与灯塔B的距离为a海里．
答案：a
15．(2018·贵州模拟)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asin B＝bcos A，若△ABC的面积S＝4，则b＋c＝________.
解析：由正弦定理，得sin Asin B＝sin Bcos A，
又sin B≠0，∴tan A＝，∴A＝.
由S＝bc×＝4，得bc＝16，由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，∴c2＋b2＝32，∴b＋c＝8.
答案：8
16.(2018·成都模拟)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC ＝45°，则线段DE的长度为________．
解析：易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝⇒CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin 60°，所以DE＝CEsin 60°＝×＝×＝6.
答案：6
B级——难度小题强化练
1．已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin 2θ＝2sin2β，则( )
A．cos β＝2cos α B．cos2β＝2cos2α
C．cos 2β＝2cos 2α D．cos 2β＝－2cos 2α
解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin2θ＋cos2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin2β，即4sin2α＝1＋2sin2β.由二倍角公式可得4×＝1＋2×，整理得cos 2β＝2cos 2α.故选C.
2．在不等边三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a为最大边，如果sin2(B＋C)
C. D.
解析：选D 由题意得sin2A
3．(2018·唐山统考)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 如图，设物体的运动速度为v，则PQ＝v，QR＝2v，因为∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，所以∠POR＝120°，P＋R＝60°，所以R＝60°－P.在Rt△OPQ中，OQ＝vsin P．在△OQR中，由正弦定理得OQ＝＝4v·sin R＝4vsin(60°－P)＝2vcos P－2vsin P．所以有2vcos P－2vsin P＝vsin P，即2vcos P＝3vsin P，所以tan P＝，所以选B.
4．(2018·成都模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，△ABC的外接圆半径为.则△ABC面积的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由正弦定理，得＝＝＝2，所以sin A＝，sin B＝，sin C＝，将其代入2(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝＝，又0
解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.
答案：
6.(2018·四川成都模拟)如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围为________．
解析：设∠ACD＝θ，则∠CAD＝－θ，根据条件及余弦定理计算得AC＝2.在△ACD中，由正弦定理得＝＝＝4，
∴AD＝4sin θ，CD＝4sin，
∴DA＋DC＝4
＝4＝4
＝4＝4sin.
∵△ACD是锐角三角形，
∴θ和－θ均为锐角，∴θ∈，
∴θ＋∈，∴sin∈.
∴DA＋DC＝4sin∈.
答案：(6,4 ]
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