2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第一讲小题考法——平面向量

[全国卷3年考情分析]

第一讲  小题考法——平面向量

[典例感悟]

[典例]　(1)(2018·福州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

(2)(2019届高三·开封模拟)已知平面向量a，b，c，a＝(－1,1)，b＝(2,3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________.

[解析]　(1)法一：根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋ .因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.

法二：如图所示，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m,0)，D(3m,3h)，E(4m,2h)，其中m>0，h>0.

由＝r＋s，得(4m,2h)＝r(4m,0)＋s(3m,3h)，

所以解得

所以2r＋3s＝1＋2＝3，选C.

(2)由题意，得a＋b＝(1,4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8.

[答案]　(1)C　(2)－8

[方法技巧]

解决平面向量问题的常用3种方法

[演练冲关]

1．(2018·合肥二模)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)

A．x＝，y＝  B．x＝，y＝

C．x＝，y＝  D．x＝，y＝

解析：选A　由题意知＝＋，又＝2＝，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.

2．(2018·西安高级中学三模)在△ABC中，＝2，＝3，连接BF，CE，且BF∩CE＝M，＝x＋y，则x－y等于(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选C　因为＝2，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由B，M，F三点共线得x＋y＝1.①

因为＝3，所以＝，所以＝x＋y＝x＋y.由C，M，E三点共线得x＋y＝1.②

联立①②解得所以x－y＝－＝－，故选C.

3．已知A(－1,2)，B(a－1,3)，C(－2，a＋1)，D(2,2a＋1)，若向量与平行且同向，则实数a的值为________．

解析：法一：由已知得＝(a,1)，＝(4，a)，因为与平行且同向，故可设＝λ (λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a)，所以解得故所求实数a＝2.

法二：由已知得＝(a,1)，＝(4，a)，由∥，得a2－4＝0，解得a＝±2.又向量与同向，易知a＝－2不符合题意．故所求实数a＝2.

答案：2

[典例感悟]

[典例]　(1)(2018·南宁、柳州联考)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.  D.

(2)(2018·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为(　　)

A．1  B.

C.  D.

(3)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)

A．－2  B．－

C．－  D．－1

[解析]　(1)因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0.在平面直角坐标系中作出a，b，b－a，如图，易知a与b－a的夹角是，故选D.

(2)法一：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1＝2＋≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.

法二：∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝，则a＋b＝.∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(t∈R)，∴a＋c＝，∴|a＋c|＝ ＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.

(3)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，故当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－.

[答案]　(1)D　(2)D　(3)B

[方法技巧]

解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法

(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．

(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．

[演练冲关]

1．(2018·昆明模拟)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)

A.  B．2

C.  D．10

解析：选C　由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故选C.

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)

A．4  B．3

C．2  D．0

解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.

∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.

3．(2018·陕西宝鸡一模)在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，直线AC的方程为x＋y＝2.

设M(a,2－a)，则0<a<1.

由||＝，得N(a＋1,1－a)，

∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)．

∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋.

∵0<a<1，∴当a＝时，·取得最小值.

当a＝0或a＝1时，·＝2.

∴·的取值范围是.故选C.

4．在△ABC中，·＝8，，的夹角为150°.若M为△ABC内的动点，且△MAB，△MBC，△MCA的面积分别为2，m，n，则＋的最小值是(　　)

A．20  B．18 

C．16  D．8

解析：选D　设△ABC的内角B，C所对的边分别为b，c，因为·＝8，，的夹角为150°，所以8 ＝bc·cos 30°，解得bc＝16，所以S△ABC＝bcsin∠BAC＝×16×sin 30°＝4.依题意得2＋m＋n＝4，解得m＋n＝2.因为＋＝×＝5＋≥5＋×2＝8，所以＋的最小值是8.故选D.

[必备知能·自主补缺]依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干

[主干知识要记牢]

1．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

2．平面向量的性质

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝ .

(4)|a·b|≤|a|·|b|.

[二级结论要用好]

1．三点共线的判定

(1)A，B，C三点共线⇔，共线．

(2)向量，，中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1.

[针对练1]　在▱ABCD中，点E是AD边的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n (m，n∈R)，则＝________.

解析：如图，∵＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋(2n＋1)，∵F，E，B三点共线，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2.

答案：－2

2．中点坐标和三角形的重心坐标

(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为.

(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标是G.

3．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则

(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.

(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.

(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.

[易错易混要明了]

1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0；但不说0与任意非零向量垂直．

2．当a·b＝0时，不一定得到a⊥b，当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，即消去律不成立；(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，(a·b)·c与c平行，而a·(b·c)与a平行．

3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角(钝角)与向量的数量积大于(小于)0不等价．

[针对练2]　已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________________．

解析：依题意，当a与b的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a＝－b，a与b反向共线，此时a与b的夹角为π，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围是∪(2，＋∞)．

答案：∪(2，＋∞)

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．(2018·贵州模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－1)，若a∥b，则实数m的值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B．－

C．3  D．－3

解析：选B　由题意，得1×(－1)－2m＝0，解得m＝－，故选B.

2．(2018·福州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(－1,1)，c＝2a－b，则|c|＝(　　)

A.  B．3

C.  D.

解析：选B　因为c＝2a－b＝2(1,2)－(－1,1)＝(3,3)，

所以|c|＝＝3.故选B.

3．(2019届高三·广西五校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　　)

A．＝－   B．＝－

C．＝－   D．＝－

解析：选A　＝＋＝－＝－－＝－.

4．(2018·云南调研)在▱ABCD中，＝8，＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝(　　)

A．48  B．36

C．24  D．12

解析：选C　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.

5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)

A.  B．－

C．3  D．－3

解析：选C　依题意得，＝(2,1)，＝(5,5)，·＝(2,1)·(5,5)＝15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝3.

6．(2019届高三·湖南五市十校联考)△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则向量a，b的夹角为(　　)

A．30°  B．60°

C．120°  D．150°

解析：选C　＝－＝2a＋b－2a＝b，则向量a，b的夹角即为向量与的夹角，故向量a，b的夹角为120°.

7．(2018·西工大附中四模)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G在△ABC内，且满足＋＋＝0，·＝0，若a2＋b2＝λc2(λ∈R)，则λ＝(　　)

A．－5  B．－2

C．2  D．5

解析：选D　设BC的中点为D，连接GD(图略)，则＋＝2.

又＋＋＝0，所以2＝，

所以A，G，D三点共线，且AG＝2GD.

故＝＝×(＋)＝(＋)．

同理可得BG―→＝(＋)．

由·＝0，得(＋)·(＋)＝0，

所以(＋)·(－2)＝0，

即||2－2||2－·＝0，

所以b2－2c2－bc·＝0，

化简得a2＋b2＝5c2.

又a2＋b2＝λc2(λ∈R)，所以λ＝5.故选D.

8．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，∴＝(2,0)，＝(1，)，又＝λ，＝(1－λ)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，∴·＝(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.

9．(2018·西安八十三中二模)称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则(　　)

A．a⊥b  B．a⊥(a－b)

C．b⊥(a－b)  D．(a＋b)⊥(a－b)

解析：选C　由d(a，tb)≥d(a，b)，可知|a－tb|≥|a－b|，所以(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以t2－2(a·b)t＋2(a·b)－1≥0.因为上式对任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4[2(a·b)－1]≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b)．故选C.

10．(2018·河南林州检测)已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：＝m＋n,4m＋3n＝2，且||＝4，||＝6，则·＝(　　)

A．36  B．24

C．24  D．12

解析：选A　·＝m2＋n·，因为O为△ABC的外心，所以2＝m2＋n||·||·cos∠BCA，所以24＝48m＋24n·cos∠BCA，因为4m＋3n＝2，所以24＝12(2－3n)＋24n·cos∠BCA，又n≠0，即cos∠BCA＝，所以·＝||·||cos∠BCA＝4×6×＝36.

11．设e1，e2，e3为单位向量，且e3＝e1＋ke2(k>0)，若以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，则k的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　设e1，e2的夹角为θ，则由以向量e1，e2为两边的三角形的面积为，得×1×1×sin θ＝，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e1·e2＝0.从而将e3＝e1＋ke2两边平方得1＝＋k2，解得k＝或k＝－(舍去)．

12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点M，若＝m＋n (m>0，n>0)，m＋n＝2，则∠AOB的最小值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　将＝m＋n平方得1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，

cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(当且仅当m＝n＝1时等号成立)，

∵0<∠AOB<π，∴∠AOB的最小值为.

二、填空题

13．(2018·汕头模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(3，m)．若(a＋2b)∥(3b－a)，则实数m的值是________．

解析：a＋2b＝(2,1)＋(6,2m)＝(8,1＋2m)，3b－a＝(9,3m)－(2,1)＝(7,3m－1)，由(a＋2b)∥(3b－a)，得8(3m－1)－7(1＋2m)＝0，解得m＝.

答案：

14．(2018·长春模拟)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________.

解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×cos＝4，所以|a＋b＋c|＝2.

答案：2

15．(2018·河北衡水中学三调)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．

解析：法一：如图所示，作平行四边形OB1CA1，则＝1＋1，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△B1OC中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.

法二：以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6.

答案：6

16．(2018·渭南一模)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝30°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．

解析：因为四边形ABCD是平行四边形，E为CD的中点，所以＝＋，＝＋CE―→＝－，所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1，

又2＝1，·＝1×||×cos 30°＝||，

所以1－2＋||＝1，

解得||＝或||＝0(舍去)．

答案：

B级——难度小题强化练

1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)

A.－   B.－

C.＋   D.＋

解析：选A　法一：作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.

法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－.

2．已知点P是△ABC内一点，且＋＝6，则 ＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　设点D为AC的中点，在△ABC中，＋＝2，即2＝6，所以＝3，即P为BD的三等分点，所以＝，又＝，所以＝.

3．(2018·嘉兴一模)设平面向量＝(2,0)，＝(0,1)，点P满足＝＋，其中m>0，n>0，O为坐标原点，则点P的轨迹的长度为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选D　设P(x，y)，因为＝(2,0)，＝(0,1)，＝＋＝，所以x＝，y＝(其中m，n>0)，所以x2＋y2＝2(其中x，y>0)，则点P的轨迹的长度为×2π×＝.

4．(2018·重庆模拟)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D．(2,3)

解析：选A　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)．设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)．设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0<x<1.因为＝(－3,0)，＝(－3,4)，＝(x－3，y)，且＝λ＋μ，所以得所以λ＋μ＝1－x，又0<x<1，所以λ＋μ∈，故选A.

5．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．

解析：因为⊥，所以·＝(a－b)·(a＋b)＝0，化简得a2－b2＝0，得|a|＝|b|，又||＝||，所以||2＝||2，即(a－b)2＝(a＋b)2，得a⊥b，因为a＝，所以|a|＝ ＝1，所以|a|＝|b|＝1，可得a，b是相互垂直的单位向量，所以||＝||＝，所以△OAB的面积S＝||·||＝1.

答案：1

6．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．

解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，·取得最小值，为.

答案：