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    2019版数学(文)二轮复习通用版讲义:专题六第一讲小题考法——函数的图象与性质
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    2019版数学(文)二轮复习通用版讲义:专题六第一讲小题考法——函数的图象与性质

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    [全国卷3年考情分析]

    第一讲 小题考法——函数的图象与性质
    考点(一) 函数的概念及表示


    主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值(取值范围)求参数的值(取值范围)等.

    [典例感悟]
    [典例] (1)(2018·重庆模拟)函数y=log2(2x-4)+的定义域是(  )
    A.(2,3)        B.(2,+∞)
    C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)
    (2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=则满足f(x+1) A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
    C.(-1,0) D.(-∞,0)
    [解析] (1)由题意,得解得x>2且x≠3,所以函数y=log2(2x-4)+的定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选D.
    (2)法一:①当即x≤-1时,
    f(x+1) 即-(x+1)<-2x,解得x<1.
    因此不等式的解集为(-∞,-1].
    ②当时,不等式组无解.
    ③当即-1 f(x+1) 因此不等式的解集为(-1,0).
    ④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.
    综上,不等式f(x+1) 法二:∵f(x)=

    ∴函数f(x)的图象如图所示.
    结合图象知,要使f(x+1) ∴x<0,故选D.
    [答案] (1)D (2)D

    [方法技巧]
    1.函数定义域的求法
    求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出解集即可.

    2.分段函数问题的3种常见类型及解题策略
    常见类型
    解题策略
    求函数值
    弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算
    解不等式
    根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提
    求参数
    “分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程

    [演练冲关]
    1.(2018·福州模拟)已知函数f(x)=若f(a)=3,则f(a-2)=(  )
    A.- B.3
    C.-或3 D.-或3
    解析:选A 当a>0时,若f(a)=3,则log2a+a=3,解得a=2(满足a>0);当a≤0时,若f(a)=3,则4a-2-1=3,解得a=3,不满足a≤0,所以舍去.于是a=2.故f(a-2)=f(0)=4-2-1=-.故选A.
    2.已知函数f(x)=则f(f(x))<2的解集为(  )
    A.(1-ln 2,+∞) B.(-∞,1-ln 2)
    C.(1-ln 2,1) D.(1,1+ln 2)
    解析:选B 因为当x≥1时,f(x)=x3+x≥2,当x<1时,f(x)=2ex-1<2,所以f(f(x))<2等价于f(x)<1,即2ex-1<1,解得x<1-ln 2,所以f(f(x))<2的解集为(-∞,1-ln 2).
    3.若函数f(x)=则函数f(log26)的值为________.
    解析:因为2=log24 答案:12

    考点(二) 函数的图象及应用


    主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式、比较大小等问题.

    [典例感悟]
    [典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为(  )

    (2)(2018·石家庄模拟)已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)单调递增,f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为(  )
    A.{x|02}
    B.{x|x<0或x>2}
    C.{x|x<0或x>3}
    D.{x|x<-1或x>1}
    (3)已知f(x)=则方程2f2(x)-3f(x)+1=0解的个数是________.
    [解析] (1)∵y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,
    ∴f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.
    当x=1时,f(1)=e->0,排除D选项.
    又e>2,∴<,
    ∴e->1,排除C选项.故选B.
    (2)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以可作出函数f(x)的示意图,如图,则不等式f(x-1)>0可转化为-11,解得02,故选A.
    (3)方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为f(x)=或1.作出y=f(x)的图象,由图象知方程解的个数为5.

    [答案] (1)B (2)A (3)5

    [方法技巧]
    1.根据函数解析式识辨函数图象的策略
    (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置,从函数的值域(或有界性),判断图象的上下位置;
    (2)从函数的单调性,判断图象的升降变化趋势;
    (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性:奇函数的图象关于原点对称,在对称的区间上单调性一致,偶函数的图象关于y轴对称,在对称的区间上单调性相反;
    (4)从函数的周期性,判断图象是否具有循环往复特点;
    (5)从特殊点出发,排除不符合要求的选项,如f(0)的值,当x>0时f(x)的正负等.
    2.函数图象应用的3个类型
    研究函数
    的性质
    对于已知或易画出图象的函数,其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系
    研究不等式
    当不等式问题不能用代数法求解,但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题,从而利用数形结合求解
    研究方程
    根的个数
    当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标

    [演练冲关]
    1.(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(  )


    解析:选D 法一:令f(x)=-x4+x2+2,
    则f′(x)=-4x3+2x,
    令f′(x)=0,得x=0或x=±,
    则f′(x)>0的解集为∪,
    f(x)单调递增;f′(x)<0的解集为∪,f(x)单调递减,结合图象知选D.
    法二:当x=1时,y=2,所以排除A、B选项.当x=0时,y=2,而当x=时,y=-++2=2>2,所以排除C选项.故选D.
    2.已知定义在D=[-4,4]上的函数f(x)=对任意x∈D,存在x1,x2∈D,使得f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最大值与最小值之和为(  )
    A.7          B.8
    C.9 D.10
    解析:选C 作出函数f(x)的图象如图所示,由任意x∈D,f(x1)≤f(x)≤f(x2)知,f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,由图可知|x1-x2|max=8,|x1-x2|min=1,所以|x1-x2|的最大值与最小值之和为9,故选C.
    3.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动,点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动,当点Q到达A点时,P,Q两点同时停止移动.记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S=f(t),则f(t)的图象大致为(  )

    解析:选A 当0≤t≤4时,点P在AB上,点Q在BC上,此时PB=6-t,CQ=8-2t,则S=f(t)=QC×BP=(8-2t)×(6-t)=t2-10t+24;
    当4<t≤6时,点P在AB上,点Q在CA上,此时AP=t,P到AC的距离为t,CQ=2t-8,则S=f(t)=QC×t=(2t-8)×t=(t2-4t);
    当6<t≤9时,点P在BC上,点Q在CA上,此时CP=14-t,QC=2t-8,
    则S=f(t)=QC×CPsin∠ACB=(2t-8)(14-t)×=(t-4)(14-t).
    综上,函数f(t)对应的图象是三段抛物线,依据开口方向得图象是A.
    考点(三)
    函数的性质及应用


    主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及其应用.

    [典例感悟]
    [典例] (1)(2018·武汉调研)函数f(x)=loga(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是(  )
    A.(-∞,-2)     B.(-∞,-1)
    C.(2,+∞) D.(5,+∞)
    (2)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  )
    A.-50 B.0
    C.2 D.50
    [解析] (1)由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,
    又函数f(u)=logau(a>1)在(0,+∞)上是增函数,
    而函数u(x)=x2-4x-5=(x-2)2-9在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
    结合定义域,可知函数f(x)=loga(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间为(5,+∞).故选D.
    (2)法一:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
    ∴f(1-x)=-f(x-1).
    由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1),
    ∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为4的周期函数.
    由f(x)为奇函数得f(0)=0.
    又∵f(1-x)=f(1+x),
    ∴f(x)的图象关于直线x=1对称,
    ∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.
    又f(1)=2,∴f(-1)=-2,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,
    ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)
    =0×12+f(49)+f(50)
    =f(1)+f(2)=2+0=2.


    法二:由题意可设f(x)=2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.
    [答案] (1)D (2)C
    [方法技巧]
    函数3个性质的应用
    奇偶性
    具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上
    单调性
    可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性,求参数的取值范围或值
    周期性
    利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解
    [演练冲关]
    1.已知函数f(x)=-x+log2+1,则f +f 的值为(  )
    A.2 B.-2
    C.0 D.2log2
    解析:选A f(x)的定义域为(-1,1),由f(-x)-1=1-f(x)知f(x)-1为奇函数,则f -1+f -1=0,所以f +f =2.
    2.(2018·开封模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2 019)=(  )
    A.5 B.
    C.2 D.-2
    解析:选D 由f(x)=-f(x+2),得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2,故选D.
    3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若 A. B.(0,e)
    C. D.(e,+∞)
    解析:选C ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(ln x)-f=f(ln x)-f(-ln x)=f(ln x)+f(ln x)=2f(ln x),∴ 4.(2019届高三·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f=________.
    解析:∵f(x+2)=-,∴f(x+4)=f(x),∴f=f,又2≤x≤3时,f(x)=x,∴f=,∴f=.
    答案:
    [必备知能·自主补缺] 依据学情课下看,针对自身补缺漏;临近高考再浏览,考前温故熟主干
    [主干知识要记牢]
    函数的奇偶性、周期性
    (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立,则f(x)为偶函数).
    (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值:若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期.
    [二级结论要用好]
    1.函数单调性和奇偶性的重要结论
    (1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)为增(减)函数.
    (2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
    (3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称;
    f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
    (4)偶函数的和、差、积、商是偶函数,奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数,奇函数与偶函数的积、商是奇函数.
    (5)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图象必过原点,即有f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数:f(x)=0.
    (6)f(x)+f(-x)=0⇔f(x)为奇函数;
    f(x)-f(-x)=0⇔f(x)为偶函数.
    2.抽象函数的周期性与对称性的结论
    (1)函数的周期性
    条件
    结论
    若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)
    则f(x)是周期函数,T=2a
    若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)
    则f(x)是周期函数,T=2a
    若函数f(x)满足f(x+a)=
    则f(x)是周期函数,T=2a

    (2)函数图象的对称性
    条件
    结论
    若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x)
    则f(x)的图象关于直线x=a对称
    若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x)
    则f(x)的图象关于点(a,0)对称
    若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)
    则函数f(x)的图象关于直线x=对称

    3.函数图象平移变换的相关结论
    (1)把y=f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c>0时向左移,c<0时向右移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数).
    (2)把y=f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b>0时向上移,b<0时向下移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数).
    [易错易混要明了]
    1.求函数的定义域时,关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根,被
    开方数一定是非负数;对数式中的真数是正数.列不等式时,应列出所有的不等式,不能遗漏.
    2.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“和”连接或用“,”隔开.单调区间必须是“区间”,不能用集合或不等式代替.
    3.判断函数的奇偶性时,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响.
    4.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,即函数的定义域问题.
    [针对练1] 已知函数f(x)满足f(cos x)=sin2x,则f(x)=________________.
    解析:令t=cos x,且t∈[-1,1],则f(t)=1-t2,t∈[-1,1],即f(x)=1-x2,x∈[-1,1].
    答案:1-x2,x∈[-1,1]
    5.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不同的式子来表示对应法则的函数,它是一个函数,而不是几个函数.
    [针对练2] 已知函数f(x)=则f=________.
    解析:f =ln=-1,f =f(-1)=e-1=.
    答案:

    A级——12+4提速练
    一、选择题
    1.函数f(x)=+的定义域是(  )
    A.       B.
    C. D.[0,1)
    解析:选D 要使函数有意义,需即0≤x<1.
    2.(2018·合肥模拟)已知函数f(x)=则f[f(1)]=(  )
    A.- B.2
    C.4 D.11
    解析:选C ∵f(1)=12+2=3,∴f [f(1)]=f(3)=3+=4.故选C.

    3.函数y=ln(2-|x|)的大致图象为(  )

    解析:选A 令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2 4.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(  )
    A.函数f(x)是偶函数
    B.函数f(x)是减函数
    C.函数f(x)是周期函数
    D.函数f(x)的值域为[-1,+∞)
    解析:选D 由函数f(x)的解析式,知f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-1),则f(x)不是偶函数.当x>0时,f(x)=x2+1,则f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,且f(x)>1;当x≤0时,f(x)=cos x,则f(x)在区间(-∞,0]上不是单调函数,且f(x) ∈[-1,1].所以函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).故选D.
    5.(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=log2(x+2)-1,则f(-6)=(  )
    A.2 B.4
    C.-2 D.-4
    解析:选C 由题意,知f(-6)=-f(6)=-(log28-1)=-3+1=-2,故选C.
    6.(2018·武汉调研)已知奇函数f(x)在R上单调递增,若f(1)=1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(  )
    A.[-2,2] B.[-1,1]
    C.[0,4] D.[1,3]
    解析:选D 因为f(x)为奇函数,且f(1)=1,所以f(-1)=-1,故f(-1)=-1≤f(x-2)≤1=f(1),又函数f(x)在R上单调递增,所以-1≤x-2≤1,解得1≤x≤3,故选D.
    7.函数f(x)=的单调递增区间为(  )
    A. B.
    C. D.
    解析:选A 由x2-x-1≥0,可得函数f(x)的定义域为.令t=,则y=t,该指数函数在定义域内为减函数.根据复合函数的单调性,要求函数f(x)=的单调递增区间,即求函数t=的单调递减区间,易知函数t=的单调递减区间为.所以函数f(x)=的单调递增区间为,故选A.
    8.(2019届高三·河北五个一名校联考)已知奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),若当x∈(-1,1)时,f(x)=lg,且f(2 018-a)=1,则实数a的值可以是(  )
    A. B.
    C.- D.-
    解析:选A ∵f(x+1)=f(1-x),∴f(x)=f(2-x),又函数f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)为周期函数,周期为4.当x∈(-1,1)时,令f(x)=lg=1,得x=,又f(2 018-a)=f(2-a)=f(a),∴a可以是,故选A.
    9.(2018·郑州模拟)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是(  )
    A.(0,1] B.[1,+∞)
    C.(0,1) D.(-∞,1]
    解析:选A 画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需0≤1-a<1,即00时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上0 10.(2018·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则下列不等式正确的是(  )
    A.f(log27) B.f(log27) C.f(-5) D.f(-5) 解析:选C f(x+2)+f(x)=0⇒f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.
    又f(-x)=-f(x),且有f(2)=-f(0)=0,
    所以f(-5)=-f(5)=-f(1)=-log22=-1,f(6)=f(2)=0.
    又2 f(log27)+f(log27-2)=0⇒f(log27)=-f(log27-2)=-f=-log2=-log2,又1 所以f(-5) 11.若函数y=f(x)的图象上的任意一点P的坐标(x,y)满足条件|x|≥|y|,则称函数f(x)具有性质S,那么下列函数中具有性质S的是(  )
    A.f(x)=ex-1 B.f(x)=ln(x+1)
    C.f(x)=sin x D.f(x)=tan x
    解析:选C 不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图中阴影部分所示,函数f(x)具有性质S,则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分,f(x)=ex-1的图象分布在区域①和③内,f(x)=ln(x+1)的图象分布在区域②和④内,f(x)=sin x的图象分布在区域①和②内,f(x)=tan x在每个区域都有图象,故选C.
    12.(2018·吉林省实验中学模拟)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},f(x)>0,满足f(x·y)=f(x)·f(y),且在区间(0,+∞)上单调递增,若m满足f(log3m)+f≤2f(1),则实数m的取值范围是(  )
    A.[1,3] B.
    C.∪(1,3] D.∪(1,3]
    解析:选D 由于f(x·y)=f(x)·f(y),f(x)>0,则令x=y=1可得f(1)=[f(1)]2,即f(1)=1.令x=y=-1,则f(1)=[f(-1)]2=1,即f(-1)=1.令y=-1,则f(-x)=f(x)f(-1)=f(x),即f(x)为偶函数.由f(log3m)+f=2f(1)得2f(log3m)≤2f(1),得f(|log3m|)≤f(1).由于f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则|log3m|≤1,且log3m≠0,解得m∈∪(1,3].
    二、填空题
    13.若f(x)=2x+2-xlg a是奇函数,则实数a=________.
    解析:∵函数f(x)=2x+2-xlg a是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,即2x+2-xlg a+2-x+2xlg a=0,(2x+2-x)(1+lg a)=0,∴lg a=-1,∴a=.
    答案:
    14.已知a>0,函数f(x)=若f>-,则实数t的取值范围为________.
    解析:当x∈[-1,0)时,函数f(x)=sinx单调递增,且f(x)∈[-1,0),当x∈[0,+∞)时,函数f(x)=ax2+ax+1,此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1,综上,当x∈[-1,+∞)时,函数f(x)单调递增,由f(x)=sinx=-得x=-,解得x=-,则不等式f>-,等价于f>f,∵函数f(x)是增函数,∴t->-,即t>0.故t的取值范围为(0,+∞).
    答案:(0,+∞)
    15.(2018·山东潍坊模拟)已知奇函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且f(1)=1,f(2)=2,则f(2 017)+f(2 018)=________.
    解析:因为f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3),即f(-3)=0,又f(x)为奇函数,所以f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),函数f(x)是以6为周期的周期函数,f(2 017)+f(2 018)=f(336×6+1)+f(336×6+2)=f(1)+f(2)=3.
    答案:3
    16.(2018·济宁模拟)已知函数f(x)=min{2,|x-2|},其中min{a,b}=若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,且它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1·x2·x3的最大值是________.
    解析:因为函数f(x)=min{2,|x-2|}


    作出其大致图象如图所示,若直线y=m与函数f(x)的图象有三个不同的交点,则0 答案:1
    B级——难度小题强化练
    1.(2018·山东临沂模拟)函数f(x)=ln的图象可能是(  )

    解析:选A 易知函数f(x)是偶函数,故其图象关于y轴对称,排除选项C.函数的定义域是x≠0,排除选项D.==>1,所以f(x)>0,排除选项B.故选A.
    2.(2018·洛阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:
    (1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;
    (2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0.给出下列四个函数,
    ①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;
    ③f(x)=1-x;④f(x)=ln(+x).
    其中为“优美函数”的个数是(  )
    A.0 B.1
    C.2 D.3
    解析:选B 由条件(1),得f(x)是奇函数,由条件(2),得f(x)是R上的单调减函数.
    对于①,f(x)=sin x在R上不单调,故不是“优美函数”;对于②,f(x)=-2x3既是奇函数,又在R上单调递减,故是“优美函数”;对于③,f(x)=1-x不是奇函数,故不是“优美函数”;对于④,易知f(x)在R上单调递增,故不是“优美函数”.故选B.
    3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1-x)=1,f=f(x),且当0≤x1 A. B.
    C. D.
    解析:选C 在f(x)+f(1-x)=1中,令x=1,得f(1)=1,令x=,得f =,在f =f(x)中,令x=1,得f =,由此得f =f ,再根据当0≤x1 4.(2018·安庆二模)如图,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O沿l1以1 m/s的速度匀速竖直向上移动,且在t=0时,圆O与l2相切于点A,圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中,位于l2上方的圆弧的长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为(  )


    解析:选B 如图所示,设∠MON=α,由弧长公式知x=α,在Rt△AOM中,|AO|=1-t,cos ==1-t,∴y=cos x=2cos2-1=2(t-1)2-1(0≤t≤1).故其对应的大致图象应为B.
    5.对于实数a,b,定义运算“⊗”:a⊗b=设f(x)=(x-4)⊗,若关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范围是________.



    解析:由题意得,f(x)=(x-4)⊗=画出函数f(x)的大致图象如图所示.
    因为关于x的方程|f(x)-m|=1(m∈R),即f(x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,所以两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f(x)共有四个不同的交点,则或或得2 答案:(-1,1)∪(2,4)
    6.已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈R),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈R),y=h(x)满足:对任意的x∈R,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.
    解析:根据“对称函数”的定义可知,=3x+b,即h(x)=6x+2b-,h(x)>g(x)恒成立,等价于6x+2b-> ,即3x+b>恒成立,设y1=3x+b,y2=,作出两个函数对应的图象如图所示,当直线和上半圆相切时,圆心到直线的距离d===2,即|b|=2,
    ∴b=2或b=-2(舍去),若要使h(x)>g(x)恒成立,则b>2,即实数b的取值范围是(2,+∞).
    答案:(2,+∞)


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