2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：专题六第三讲小题考法——不等式

第三讲  小题考法——不等式

 [典例感悟]

[典例]　(1)(2018·岳阳模拟)若<<0，则下列结论不正确的是(　　)

A．a2<b2　　　　　　 B．ab<b2

C．a＋b<0  D．|a|＋|b|>|a＋b|

(2)(2018·河北正定期中)关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax2＋bx－2<0的解集为(　　)

A．(－3,1)  B．∪(2，＋∞)

C.  D．(－1,2)

(3)若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．

[解析]　(1)由<<0，知a<0，且b<0，则a＋b<0.而－＝>0，又ab>0，故b<a<0，|a|<|b|，a2<b2，|a||b|<|b|2，即ab<b2，|a|＋|b|＝－a＋(－b)＝－(a＋b)＝|a＋b|，故A，B，C正确，D错误．

(2)由关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x2＋ax＋b＝0的两实数根分别为－3,1，则解得

所以不等式ax2＋bx－2<0可化为2x2－3x－2<0，即(2x＋1)(x－2)<0，

解得－<x<2，即所求不等式的解集为.

(3)原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0.

①若1－m2＝0，则m＝1或－1.

当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；

当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，此时不等式的解集不是R，不符合题意．

②若1－m2≠0，由不等式恒成立可得

即解得m<－1或m>.

综上，m的取值范围为(－∞，－1]∪.

[答案]　(1)D　(2)C　(3)(－∞，－1]∪

[方法技巧]

1．判断关于不等式的命题真假的3种方法

　　2.一元二次不等式恒成立问题的解题方法

(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a;

f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a.

(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方或[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)．

(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常结合函数单调性、基本不等式等解题．

[演练冲关]

1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A．p<q  B．p≤q

C．p>q  D．p≥q

解析：选B　p－q＝＋－a－b＝＋

＝(b2－a2)＝＝，

因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p<q，综上，p≤q，故选B.

2．(2018·湖北荆州月考)已知不等式x2－3x<0的解集是A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＝(　　)

A．－2  B．1

C．－1  D．2

解析：选A　解不等式x2－3x<0，得A＝{x|0<x<3}，解不等式x2＋x－6<0，得B＝{x|－3<x<2}，又不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B＝{x|0<x<2}，由根与系数的关系得－a＝0＋2，解得a＝－2.故选A.

3．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．

解析：由于x>0，则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而当x∈时，max＝－，∴a≥－，故a的最小值为－.

答案：－

[典例感悟]

[典例]　(1)(2019届高三·湘中名校联考)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)

A．2  B．

C.  D．1＋

(2)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为________．

(3)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是________．

[解析]　(1)由a，b为正数，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0，

所以＋＝＋＝＋≥2＝2，

当且仅当＝和＋＝1同时成立，

即a＝b＝3时等号成立，

所以＋的最小值为2.

(2)由已知得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，

即log2[(m－2)(2n－2)]＝3，

因此于是n＝＋1.

所以m＋n＝m＋＋1＝m－2＋＋3≥2＋3＝7.

当且仅当m－2＝，

即m＝4时等号成立，此时m＋n取得最小值7.

(3)∵x>0，y>0，∴xy＝·x·3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，故xy的最大值是.

[答案]　(1)A　(2)7　(3)

 [方法技巧]

利用基本不等式求最值的3种解题技巧

[演练冲关]

1．(2018·贵阳一模)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)

A．3  B．4

C.   D.

解析：选B　由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，即x＋2y的最小值为4.

2．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．

解析：∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，∴＋＝1，∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.

答案：8

3．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

解析：因为ab>0，所以≥

＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.

答案：4

4．(2018·温州一模)已知2a＋4b＝2(a，b∈R)，则a＋2b的最大值为________．

解析：2a＋4b＝2a＋22b＝2≥2，当且仅当a＝2b时，等号成立，则2a＋2b≤1＝20，所以a＋2b≤0，所以a＋2b的最大值为0.

答案：0

[典例感悟]

[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．

(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．

(3)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元.

[解析]　(1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．

由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.

作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.

(2)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得∴zmin＝－5.

(3)设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件，二等奖奖品(6－y)件．则x，y满足设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000，

作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小．由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．

[答案]　(1)6　(2)－5　(3)4 900

[方法技巧]

解决线性规划问题的3步骤

[演练冲关]

1．(2018·唐山模拟)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．2

C．4  D．6

解析：选A　作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝－2x＋z过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小，

由得所以C，zmin＝2×＋＝，选择A.

2．(2019届高三·福州四校联考)设x，y满足约束条件其中a>0，若的最大值为2，则a的值为(　　)

A.  B．

C.   D.

解析：选C　设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，

作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率＝－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为，故选C.

3．(2019届高三·河北五个一名校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(　　)

A．15万元  B．16万元

C．17万元  D．18万元

解析：选D　设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得∴M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.

4．(2019届高三·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________.

解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.

答案：2

 [必备知能·自主补缺]　依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干

[主干知识要记牢]

1．不等式的性质

(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；

(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；

(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；

(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.

2．简单分式不等式的解法

(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.

(2)≥0⇔≤0⇔

(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．

[二级结论要用好]

1．一元二次不等式的恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是

2．基本不等式的重要结论

(1)≥(a＞0，b＞0)．

(2)ab≤2(a，b∈R)．

(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．

3．线性规划中的两个重要结论

(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．

(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．

[易错易混要明了]

1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．

2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a符号的讨论导致漏解或错解．

[针对练1]　抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为(－，0)，(，0)，则ax2＋bx＋c>0的解的情况是(　　)

A．{x|－<x<}  B．{x|x>或x<－}

C．{x|x≠±}  D．不确定，与a的符号有关

解析：选D　当a>0时，解集为x>或x<－；当a<0时，解集为－<x<.

3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.

[针对练2]　不等式≥0的解集为________．

解析：≥0即解得x≥1或x<－2.

答案：{x|x≥1或x<－2}

4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值时，就不能利用基本不等式求解；求函数y＝x＋(x<0)的最值时，应先转化为y＝－再求解．

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(　　)

A．ac2>bc2　　　　　　　　 B.>1

C．a－c>b－c  D．a2>b2

解析：选C　a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；a>b，若b<0，则<1，故B错；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2<b2，故D错．于是选C.

2．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，n∈N*，n>2，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是(　　)

A．φ(n)<f(n)<g(n)  B．φ(n)≤f(n)<g(n)

C．f(n)<φ(n)<g(n)  D．f(n)≤φ(n)<g(n)

解析：选C　f(n)＝－n＝<，g(n)＝n－＝>，所以f(n)<φ(n)<g(n)．故选C.

3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则＋的最小值为(　　)

A．24  B．25

C．26  D．27

解析：选B　因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.

4．(2018·陕西模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，可知当直线过点A(2，－1)时，z＝2x＋y取得最大值，且zmax＝2×2－1＝3.

5．不等式>0的解集为(　　)

A．{x|－2<x<－1，或x>3}

B．{x|－3<x<－1，或x>2}

C．{x|x<－3，或－1<x<2}

D．{x|x<－3，或x>2}

解析：选B　>0⇔或解得－3<x<－1或x>2.选B.

6．若函数f(x)＝则“0<x<1”是“f(x)<0”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　当0<x<1时，f(x)＝log2x<0，所以“0<x<1”⇒“f(x)<0”；

若f(x)<0，则或解得0<x<1或－1<x≤0，所以－1<x<1，所以“f(x)<0”⇒/ “0<x<1”．故选A.

7．(2018·重庆模拟)若实数x，y满足约束条件则2x＋y的最小值为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．7

解析：选B　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.

8．(2018·广东模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3)  B．(－3,1)

C．(－2,0)  D．(－3,2)

解析：选B　如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)<f(2a)，∴3－a2>2a，解得－3<a<1.

9．(2018·山东青岛模拟)已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为(　　)

A．6  B．7

C．8  D．9

解析：选C　原不等式可化为≥1＋－，令＝t，t≥1，则x＝t2－1.所以≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥对t≥1恒成立．又a为正的常数，所以a≤[2(t＋1)2]min＝8，故a的最大值是8.

10．(2018·池州摸底)已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为(　　)

A．3  B．

C．2   D.

解析：选A　令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.

11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x的不等式ax2－ax－2a2>1(a>0，a≠1)的解集为(－a,2a)，且函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－1,0)  B．[－1,0]

C．(0,1]  D．[－1,1]

解析：选B　当a>1时，由题意可得x2－ax－2a2>0的解集为(－a,2a)，这显然是不可能的．当0<a<1时，由题意可得x2－ax－2a2<0的解集为(－a,2a)，且 x2＋2mx－m≥0，即x2＋2mx－m≥0恒成立，故对于方程x2＋2mx－m＝0，有Δ＝4m2＋4m≤0，解得－1≤m≤0.

12．(2018·郑州模拟)若变量x，y满足条件则xy的取值范围是(　　)

A．[0,5]  B．

C.  D．[0,9]

解析：选D　依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy的最小值为0(当x＝1，y＝0时取得)；xy≤x(6－x)≤2＝9，即xy≤9，当x＝3，y＝3时取等号，即xy的最大值为9，故选D.

二、填空题

13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．

解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.

答案：

14．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．

解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.

答案：(－π，2π)

15．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．

由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.

答案：9

16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________.

解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象在x轴上方，且与x轴相切，因此有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2.∴f(x)＝2<c，解得－<x＋<，－－<x<－.∵不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，∴－＝2＝6，解得c＝9.

答案：9

B级——难度小题强化练

1．(2018·合肥二模)若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，1]

C．(1，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：选A　法一：因为x∈[1,4]，则不等式x2＋ax－2＜0可化为a＜＝－x，设f(x)＝－x，x∈[1,4]，由题意得只需a＜f(x)max，因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数，所以f(x)max＝f(1)＝1，故a＜1.

法二：设g(x)＝x2＋ax－2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g(x)＜0在区间[1,4]上有解，所以g(1)＜0，解得a＜1.

2．(2018·衡水二模)若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是(　　)

A.  B．

C.   D.

解析：选C　∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2＞0，又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．∴x1＋x2＋的最小值是.

3．(2018·沈阳一模)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆[1,3]，则a的取值范围为(　　)

A.  B．

C.  D．[－1,3]

解析：选A　设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆[1,3]，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2；若A≠∅，则即所以2≤a≤.综上，a的取值范围为，故选A.

4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)

A．1 800元  B．2 100元

C．2 400元  D．2 700元

解析：选C　设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，

如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2 400，故选C.

5．当x∈(0,1)时，不等式≥m－恒成立，则m的最大值为________．

解析：由已知不等式可得m≤＋，∵x∈(0,1)，∴1－x∈(0,1)，∵x＋(1－x)＝1，∴＋＝[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴m≤9，即实数m的最大值为9.

答案：9

6．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足条件则的取值范围是________．

解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．

答案：[3,9]