2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第三讲小题考法——三角恒等变换与解三角形

第三讲 小题考法——三角恒等变换与解三角形
考点(一)
三角恒等变换与求值


主要考查利用三角恒等变换解决化简求值问题.多涉及两角和与差的正弦、　余弦、正切公式以及二倍角公式.

[典例感悟]
[典例]　(1)已知α为第一象限角，cos α＝，则＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D．－
(2)(2019届高三·浦东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]　(1)由α为第一象限角，cos α＝，得sin α＝，＝＝＝2(cos α＋sin α)＝.
(2)因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以＝5，所以log2＝log52＝4.
[答案]　(1)C　(2)C
[方法技巧]
1．三角恒等变换的策略
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
2．解决条件求值问题的关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B　∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
2．(2018·河南郑州一模)若tan 20°＋msin 20°＝，则m的值为________．

解析：由于tan 20°＋msin 20°＝，
可得m＝＝
＝
＝
＝4.
答案：4
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析：∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
答案：－
考点(二)
利用正、余弦定理解三角形


主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及
　面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.

[典例感悟]
[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
(2)(2018·宜昌模拟)在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为____________．
(3)(2018·南昌模拟)已知△ABC的面积为2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，则a的最小值为________．
[解析]　(1)∵S＝absin C＝＝＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵sin2＝＝，
∴cos A＝，∴cos A＝＝，
整理得a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．
(3)因为S△ABC＝bcsin A＝2，
所以bc＝8，cos A＝＝≥＝(当且仅当b＝c时取等号)，即≤，
所以a2≥8，所以a≥2，
即a的最小值为2.
[答案]　(1)C　(2)直角三角形　(3)2
[方法技巧]
解三角形问题的求解策略
已知条件
解题思路
两角A，B
与一边a
由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c
两边b，c及
其夹角A
由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C
三边a，b，c
由余弦定理可求出角A，B，C
两边a，b及其
中一边a的对
角A　
由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由＝可求出c，注意通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况

[演练冲关]
1．(2018·福州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos C－2ccos B＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选B　∵2bcos C－2ccos B＝a，∴2sin Bcos C－2sin Ccos B＝sin A＝sin(B＋C)，即sin Bcos C＝3cos Bsin C，∴tan B＝3tan C，又B＝2C，∴＝3tan C，得tan C＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．
2．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C．又sin Bsin C>0，∴sin A＝.由余弦定理得cos A＝＝＝>0，∴cos A＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.
答案：
3．(2018·石家庄模拟)如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为________．
解析：设∠ACB＝θ，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即AC＝DC＝＝2cos θ，
BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，
即BD2＝4cos2θ＋1－2×1×2cos θcos
＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3.
由01，所以t＝x－1＋＋2≥2＋，故AC最短为(2＋) m，应选D.
[必备知能·自主补缺]　依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．两组三角公式
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
③tan(α±β)＝ .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)．
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式
①sin 2α＝2sin αcos α.
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.
③tan 2α＝ .
2．正弦定理
＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
3．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
4．三角形面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.
[二级结论要用好]
1．在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
2．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.
3．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．
4．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．
[易错易混要明了]
1．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
[针对练1]　若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α＋β＝________.
解析：∵α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
∴cos α＝，cos β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0sin B.
[针对练2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，A＝，则b＝________.
解析：由＝，得sin C＝＝，得C＝或.当C＝时，B＝，可得b＝2；当C＝时，B＝，可得b＝1.
答案：2或1

A级——12＋4提速练
一、选择题
1．(2018·河北保定一模)已知cos＝sin，则tan α的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．1
C. D．－
解析：选B　由已知得cos α－sin α＝sin α－cos α，整理得sin α＝cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.
2．(2018·福州模拟)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)
A. B.
C．1 D.
解析：选D　cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故选D.
3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B.
C. D．2
解析：选A　∵cos＝，∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，∴AB＝4.
4．(2018·唐山模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin＝(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C　因为α是第三象限的角，tan α＝2，且所以cos α＝－ ＝－，sin α＝－，则sin＝sin αcos＋cos αsin＝－×－×＝－，选C.
5．(2018·武汉调研)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcos C＝2a＋c，则B＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　因为2bcos C＝2a＋c，所以由正弦定理可得2sin Bcos C＝2sin A＋sin C＝2sin(B＋C)＋sin C＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin C，即2cos Bsin C＝－sin C，又sin C≠0，所以cos B＝－，又0