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2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第二讲小题考法——三角函数的图象与性质
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第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质
考点(一) 三角函数的图象及应用
主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式(或参数).
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2019届高三·广西南宁模拟)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为( )
A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
(3)(2018·石家庄模拟)若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
(2)由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sin φ＝，即sin φ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin，故选B.
(3)将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度，得y＝cos的图象．
因为所得函数图象与y＝sin ωx，即y＝cos的图象重合，
所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得ω＝－－6k(k∈Z)，
因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值，故选B.
[答案] (1)D (2)B (3)B
[方法技巧]
1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A＝
B
由最值确定
B＝
ω
由函数的
周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，ω＝
φ
由图象上的
特殊点确定
一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解
2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略
[演练冲关]
1．(2018·陕西模拟)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选D 函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得到函数y＝sin＝sin的图象．故选D.
2．(2018·广州模拟)将函数y＝2sinsin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为，故选A.
3.函数f(x)＝－4sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(16)的值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：选C 由图象得＝8，所以T＝16，因为ω>0，所以ω＝＝，当x＝－2时，f(x)＝0，则×(－2)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝－4sin.所以f(16)＝－4sin＝－4sin＝－2.故选C.
4．(2018·山东日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B 由图可得函数的最大值为2，即A＝2.函数的周期T＝2＝π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．又f ＝2cos＝2，即cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．又－π<φ<0，故k＝0，φ＝－.所以f(x)＝2cos＝2cos，而g(x)＝2sin 2x＝2cos＝2cos＝2cos 2，所以g(x)＝f.因此把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度才能得到函数y＝g(x)的图象.
考点(二)
三角函数的性质及应用
主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间
以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数的值或范围.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D．π
(3)(2018·惠州模拟)函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
[解析] (1)根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，
所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，
当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
(2)法一：f(x)＝cos x－sin x＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，则f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，∴0
法二：因为f(x)＝cos x－sin x，
所以f′(x)＝－sin x－cos x，
则由题意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，
即sin x＋cos x＝sin≥0在[－a，a]上恒成立，
结合函数y＝sin的图象可知有
解得a≤，
所以0
又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增；
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递减．所以选项B正确．
[答案] (1)D (2)A (3)B
[方法技巧]
1．求函数单调区间的2种方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B ∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.
2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.
3．(2018·四川宜宾二诊)先将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝
B．函数g(x)图象的一个对称中心是
C．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝
D．函数g(x)图象的一个对称中心是
解析：选C 先将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数y＝2sin的图象，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象．令2x＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z.所以函数g(x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z.当k＝1时，
对称轴方程为x＝.显然＝没有整数解，所以x＝不是函数g(x)的对称轴．排除A.令2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z.显然＋＝和＋＝没有整数解，所以和不是函数g(x)的对称中心．排除B，D.故选C.
4．(2018·开封模拟)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)sin的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝________.
解析：因为f(x)＝2sin(π＋x)sin的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝2sin(π＋x)sin为奇函数，则y＝sin为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝.
答案：
考点(三) 三角函数的值域与最值问题
主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数的值域或最值求参数.
[典例感悟]
[典例] (1)已知函数f(x)＝2sincos－sin(2x＋3π)．若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在区间上的最大值和最小值之和为( )
A．－ B．－1
C. D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
[解析] (1)f(x)＝2sincos－sin(2x＋3π)＝sin＋sin 2x＝sin 2xcos＋cos 2xsin ＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.由题意知函数g(x)＝f＝sin＝sin＝cos，因为x∈，所以2x＋∈，故当2x＋＝π，即x＝时，函数g(x)取得最小值，且g(x)min＝－1；当2x＋＝，即x＝0时，函数g(x)取得最大值，且g(x)max＝.所以函数g(x)在区间上的最大值和最小值之和为－.故选A.
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
(3)f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．∵cos x＋1≥0，∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当cos x＝，f(x)有最小值．又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2××＝－.
[答案] (1)A (2)1 (3)－
[方法技巧]
求三角函数的值域(最值)的常见函数类型及方法
三角函数类型
求值域(最值)方法
y＝asin x＋bcos x＋c
先化为y＝Asin(x＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)
y＝asin2x＋bsin x＋c
可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)
y＝asin xcos x＋
b(sin x±cos x)＋c
可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)
y＝asin 2x＋bsin x
求导，利用导数工具解决
[演练冲关]
1．已知函数y＝asin 2x＋cos 2x的最大值为2，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2－
解析：选C 由条件知a≠0，且y＝asin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，则a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.
2．已知函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A.＋1 B．4 C．3 D．2
解析：选D ∵f(x)＝cos x＝cos x＋sin x＝2sin，∵x∈.∴x＋∈，∴当且仅当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.
3．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．
解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，即≤m≤.
答案：
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
2．三角函数的两种常见的图象变换
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
[二级结论要用好]
1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．
2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．
[易错易混要明了]
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
如求函数f(x)＝2sin的单调减区间，可将函数化为f(x)＝－2sin，转化为求函数y＝sin的单调增区间．
A级——12＋4提速练
一、选择题
1.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选A 由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T＝＝×4＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函数f(x)的图象经过点，所以sin＝1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函数f(x)＝sin，故选A.
2．(2018·重庆模拟)函数f(x)＝sin的图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)＝sin的图象的一个对称中心是，故选C.
3．(2018·宝鸡质检)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－<2x－
A．y＝sin x－2cos x B．y＝2sin x－cos x
C．y＝－sin x＋2cos x D．y＝－2sin x－cos x
解析：选D 因为y＝2sin x＋cos x＝sin(x＋θ)，其中θ满足cos θ＝，sin θ＝，所以函数y＝2sin x＋cos x的周期为2π，所以个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sin x－cos x．故选D.
5．(2018·郑州模拟)若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选A 将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选A.
6．(2018·唐山模拟)把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝ D．x＝－
解析：选C 将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝，选C.
7．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C.
8．(2019届高三·福州四校联考)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数ω的值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 因为将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sin，又函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以g＝sin＝1且≥，所以所以ω＝2，故选C.
9．(2018·合肥一模)将函数y＝cos x－sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则φ，a的可能取值为( )
A．φ＝，a＝2 B．φ＝，a＝2
C．φ＝，a＝ D．φ＝，a＝
解析：选D 将函数y＝cos x－sin x＝cos的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y＝cos的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos的图象，又y＝cos＝cos 2x＋sin 2x＝cos，∴＝2，－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，∴a＝，φ＝＋2kπ(k∈N)，又φ>0，结合选项知选D.
10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f(x)的图象经过点(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.
11．(2018·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin，以下命题中为假命题的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f(x)在上是增函数
解析：选C 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选C.
12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＝－f且f(x)在上有且仅有三个零点，则ω＝( )
A. B．2
C. D.或6
解析：选D f(0)＝sin＝－，
令ωx1－＝0得，x1＝，而＝＝，故x1＝.
又f(0)＝－f，
如图，若f(x)在上有且仅有3个零点，
则＝T＋×2或＝，即T＝或T＝，则ω＝或6，故选D.
二、填空题
13．(2018·广州模拟)函数f(x)＝4cos xsin－1(x∈R)的最大值为________．
解析：∵f(x)＝4cos xsin－1＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴f(x)max＝2.
答案：2
14．(2018·北京东城质检)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值为________．
解析： 由函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.
∵x∈，∴2x－∈.
当2x－＝时，函数f(x)取得最小值为1.
答案：1
15．(2018·武汉调研)若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：－
16．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．若函数f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则函数f(x)的最小正周期为________．
解析：法一：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.
法二：由已知可画出草图，如图所示，则＝－，解得T＝π.
答案：π
B级——难度小题强化练
1．(2018·宜昌模拟)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，∴θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又|θ|<，∴θ＝.
2．(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝2sin的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y＝2sin＝2sin的图象．由y＝2sin的图象关于y轴对称得－3θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝－π，k∈Z，又θ>0，故当k＝－1时，θ取得最小值，故选C.
3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)，x∈R，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是周期函数且最小正周期为π
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在区间上的值域为[1，]
D．函数f(x)在上是增函数
解析：选C f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)＝sin，因为f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函数f(x)的最小正周期，故A错误；f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B错误；当x∈时，sin x∈[0,1]，sin x＋∈，所以sin∈，则sin∈[1，]，故C正确；当x∈时，sin x∈，sin x＋∈，而∈，所以函数f(x)在上不是单调函数，故D错误．
4．(2018·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最大值为A；
②f(x)的最小正周期为2；
③f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
④f(x)在，k∈Z上是减函数．
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故①不正确；由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故②正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，而＋k＝－无整数解，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故④正确．故选B.
5．(2018·山东淄博质检)若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最大值是1，则实数a的值为________．
解析：y＝1－cos2x＋acos x＋a－＝－2＋＋a－.∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
①若>1，即a>2，则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)；
②若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，∴a＝或a＝－4<0(舍去)；
③若<0，即a<0，则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去)．
答案：
6．已知函数f(x)＝asin(πωx＋φ)，直线y＝a与f(x)的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：
①该函数在[2,4]上的值域是[a，a]；
②在[2,4]上，当且仅当x＝3时函数取得最大值；
③该函数的最小正周期可以是；
④f(x)的图象可能过原点．
其中是真命题的为________(写出序号即可)．
解析：对于①，∵直线y＝a与函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a>0时，f(x)在[2,4]上的值域为[a，a]，当a<0时，f(x)在[2,4]上的值域为[a，a]，①错误；
对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x＝2和x＝4的中点是x＝3，即当a>0时，f(x)在x＝3处有最大值f(3)＝a，当a<0时，f(x)在x＝3处有最小值f(3)＝a，②错误；
对于③，∵函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的最小正周期T＝＝，当ω＝时，T＝>4－2＝2，因此f(x)的最小正周期可以是，③正确；
对于④，f(0)＝asin φ，令f(0)＝0，得φ＝0，此时f(x)＝asin πωx，由asin πωx＝a得sin πωx＝，
则πωx＝2kπ＋(k∈Z)或πωx＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝(k∈Z)或x＝(k∈Z)，
∵直线y＝a与函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，
∴令解得k＝∉Z，即不存在这样的k符合题意，④错误．综上，只有③正确．
答案：③
考点(一) 三角函数的图象及应用
主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式(或参数).
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2019届高三·广西南宁模拟)如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为( )
A．f(x)＝2sin B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin D．f(x)＝2sin
(3)(2018·石家庄模拟)若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
(2)由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sin φ＝，即sin φ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin，故选B.
(3)将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度，得y＝cos的图象．
因为所得函数图象与y＝sin ωx，即y＝cos的图象重合，
所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，
解得ω＝－－6k(k∈Z)，
因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值，故选B.
[答案] (1)D (2)B (3)B
[方法技巧]
1．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A＝
B
由最值确定
B＝
ω
由函数的
周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期，ω＝
φ
由图象上的
特殊点确定
一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解
2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略
[演练冲关]
1．(2018·陕西模拟)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：选D 函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得到函数y＝sin＝sin的图象．故选D.
2．(2018·广州模拟)将函数y＝2sinsin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为，故选A.
3.函数f(x)＝－4sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(16)的值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
解析：选C 由图象得＝8，所以T＝16，因为ω>0，所以ω＝＝，当x＝－2时，f(x)＝0，则×(－2)＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝－4sin.所以f(16)＝－4sin＝－4sin＝－2.故选C.
4．(2018·山东日照一模)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝Asin ωx的图象，只需将函数y＝f(x)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B 由图可得函数的最大值为2，即A＝2.函数的周期T＝2＝π，所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．又f ＝2cos＝2，即cos＝1，所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．又－π<φ<0，故k＝0，φ＝－.所以f(x)＝2cos＝2cos，而g(x)＝2sin 2x＝2cos＝2cos＝2cos 2，所以g(x)＝f.因此把函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度才能得到函数y＝g(x)的图象.
考点(二)
三角函数的性质及应用
主要考查三角函数的奇偶性及对称性、周期性或求函数的单调区间
以及根据函数的单调性、奇偶性、周期性等求参数的值或范围.
[典例感悟]
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B.
C. D．π
(3)(2018·惠州模拟)函数f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分图象如图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则( )
A．f(x)在上是减函数
B．f(x)在上是增函数
C．f(x)在上是减函数
D．f(x)在上是增函数
[解析] (1)根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，
所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，
当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
(2)法一：f(x)＝cos x－sin x＝－sin，当x∈，即x－∈时，y＝sin单调递增，则f(x)＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，∴0
法二：因为f(x)＝cos x－sin x，
所以f′(x)＝－sin x－cos x，
则由题意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，
即sin x＋cos x＝sin≥0在[－a，a]上恒成立，
结合函数y＝sin的图象可知有
解得a≤，
所以0
又|θ|≤，∴θ＝，∴f(x)＝2sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增；
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递减．所以选项B正确．
[答案] (1)D (2)A (3)B
[方法技巧]
1．求函数单调区间的2种方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
[演练冲关]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析：选B ∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.
2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为0<θ<π，所以<＋θ<，又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，所以＋θ＝π，θ＝，所以f(x)＝cos.由0≤x≤π，得≤x＋≤.由π≤x＋≤，得≤x≤π，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.
3．(2018·四川宜宾二诊)先将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝
B．函数g(x)图象的一个对称中心是
C．函数g(x)图象的一条对称轴是x＝
D．函数g(x)图象的一个对称中心是
解析：选C 先将函数y＝2sin图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得函数y＝2sin的图象，再向右平移个单位长度，得到函数g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象．令2x＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z.所以函数g(x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z.当k＝1时，
对称轴方程为x＝.显然＝没有整数解，所以x＝不是函数g(x)的对称轴．排除A.令2x＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，故函数g(x)图象的对称中心为，k∈Z.显然＋＝和＋＝没有整数解，所以和不是函数g(x)的对称中心．排除B，D.故选C.
4．(2018·开封模拟)已知函数f(x)＝2sin(π＋x)sin的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝________.
解析：因为f(x)＝2sin(π＋x)sin的图象关于原点对称，所以函数f(x)＝2sin(π＋x)sin为奇函数，则y＝sin为偶函数，则＋φ＝＋kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝.
答案：
考点(三) 三角函数的值域与最值问题
主要考查求三角函数的值域或最值，以及根据函数的值域或最值求参数.
[典例感悟]
[典例] (1)已知函数f(x)＝2sincos－sin(2x＋3π)．若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在区间上的最大值和最小值之和为( )
A．－ B．－1
C. D．1
(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
[解析] (1)f(x)＝2sincos－sin(2x＋3π)＝sin＋sin 2x＝sin 2xcos＋cos 2xsin ＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.由题意知函数g(x)＝f＝sin＝sin＝cos，因为x∈，所以2x＋∈，故当2x＋＝π，即x＝时，函数g(x)取得最小值，且g(x)min＝－1；当2x＋＝，即x＝0时，函数g(x)取得最大值，且g(x)max＝.所以函数g(x)在区间上的最大值和最小值之和为－.故选A.
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－2＋1，因为x∈，所以cos x∈[0,1]，因此当cos x＝时，f(x)max＝1.
(3)f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．∵cos x＋1≥0，∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴当cos x＝，f(x)有最小值．又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2××＝－.
[答案] (1)A (2)1 (3)－
[方法技巧]
求三角函数的值域(最值)的常见函数类型及方法
三角函数类型
求值域(最值)方法
y＝asin x＋bcos x＋c
先化为y＝Asin(x＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)
y＝asin2x＋bsin x＋c
可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)
y＝asin xcos x＋
b(sin x±cos x)＋c
可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)
y＝asin 2x＋bsin x
求导，利用导数工具解决
[演练冲关]
1．已知函数y＝asin 2x＋cos 2x的最大值为2，则a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2－
解析：选C 由条件知a≠0，且y＝asin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋φ)，其中tan φ＝，则a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.
2．已知函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A.＋1 B．4 C．3 D．2
解析：选D ∵f(x)＝cos x＝cos x＋sin x＝2sin，∵x∈.∴x＋∈，∴当且仅当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.
3．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．
解析：由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cos π＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，即≤m≤.
答案：
[必备知能·自主补缺] 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干
[主干知识要记牢]
1．三角函数的图象及常用性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
单调性
在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：(k∈Z)
2．三角函数的两种常见的图象变换
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
(2)y＝sin xy＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．
[二级结论要用好]
1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．
2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．
[易错易混要明了]
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间．
如求函数f(x)＝2sin的单调减区间，可将函数化为f(x)＝－2sin，转化为求函数y＝sin的单调增区间．
A级——12＋4提速练
一、选择题
1.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选A 由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T＝＝×4＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函数f(x)的图象经过点，所以sin＝1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函数f(x)＝sin，故选A.
2．(2018·重庆模拟)函数f(x)＝sin的图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
解析：选C 令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)＝sin的图象的一个对称中心是，故选C.
3．(2018·宝鸡质检)函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B 由kπ－<2x－
A．y＝sin x－2cos x B．y＝2sin x－cos x
C．y＝－sin x＋2cos x D．y＝－2sin x－cos x
解析：选D 因为y＝2sin x＋cos x＝sin(x＋θ)，其中θ满足cos θ＝，sin θ＝，所以函数y＝2sin x＋cos x的周期为2π，所以个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sin x－cos x．故选D.
5．(2018·郑州模拟)若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选A 将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选A.
6．(2018·唐山模拟)把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝ D．x＝－
解析：选C 将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝，选C.
7．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选C ∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C.
8．(2019届高三·福州四校联考)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数ω的值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：选C 因为将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sin，又函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以g＝sin＝1且≥，所以所以ω＝2，故选C.
9．(2018·合肥一模)将函数y＝cos x－sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则φ，a的可能取值为( )
A．φ＝，a＝2 B．φ＝，a＝2
C．φ＝，a＝ D．φ＝，a＝
解析：选D 将函数y＝cos x－sin x＝cos的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y＝cos的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos的图象，又y＝cos＝cos 2x＋sin 2x＝cos，∴＝2，－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，∴a＝，φ＝＋2kπ(k∈N)，又φ>0，结合选项知选D.
10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f(x)的图象经过点(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.
11．(2018·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin，以下命题中为假命题的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f(x)在上是增函数
解析：选C 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选C.
12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＝－f且f(x)在上有且仅有三个零点，则ω＝( )
A. B．2
C. D.或6
解析：选D f(0)＝sin＝－，
令ωx1－＝0得，x1＝，而＝＝，故x1＝.
又f(0)＝－f，
如图，若f(x)在上有且仅有3个零点，
则＝T＋×2或＝，即T＝或T＝，则ω＝或6，故选D.
二、填空题
13．(2018·广州模拟)函数f(x)＝4cos xsin－1(x∈R)的最大值为________．
解析：∵f(x)＝4cos xsin－1＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴f(x)max＝2.
答案：2
14．(2018·北京东城质检)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值为________．
解析： 由函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.
∵x∈，∴2x－∈.
当2x－＝时，函数f(x)取得最小值为1.
答案：1
15．(2018·武汉调研)若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.
解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.
答案：－
16．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．若函数f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则函数f(x)的最小正周期为________．
解析：法一：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.
法二：由已知可画出草图，如图所示，则＝－，解得T＝π.
答案：π
B级——难度小题强化练
1．(2018·宜昌模拟)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选D ∵f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，∴θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又|θ|<，∴θ＝.
2．(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝2sin的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y＝2sin＝2sin的图象．由y＝2sin的图象关于y轴对称得－3θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝－π，k∈Z，又θ>0，故当k＝－1时，θ取得最小值，故选C.
3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)，x∈R，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)是周期函数且最小正周期为π
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在区间上的值域为[1，]
D．函数f(x)在上是增函数
解析：选C f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)＝sin，因为f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函数f(x)的最小正周期，故A错误；f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B错误；当x∈时，sin x∈[0,1]，sin x＋∈，所以sin∈，则sin∈[1，]，故C正确；当x∈时，sin x∈，sin x＋∈，而∈，所以函数f(x)在上不是单调函数，故D错误．
4．(2018·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最大值为A；
②f(x)的最小正周期为2；
③f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
④f(x)在，k∈Z上是减函数．
则正确结论的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故①不正确；由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故②正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，而＋k＝－无整数解，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故④正确．故选B.
5．(2018·山东淄博质检)若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最大值是1，则实数a的值为________．
解析：y＝1－cos2x＋acos x＋a－＝－2＋＋a－.∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.
①若>1，即a>2，则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)；
②若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，∴a＝或a＝－4<0(舍去)；
③若<0，即a<0，则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去)．
答案：
6．已知函数f(x)＝asin(πωx＋φ)，直线y＝a与f(x)的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：
①该函数在[2,4]上的值域是[a，a]；
②在[2,4]上，当且仅当x＝3时函数取得最大值；
③该函数的最小正周期可以是；
④f(x)的图象可能过原点．
其中是真命题的为________(写出序号即可)．
解析：对于①，∵直线y＝a与函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a>0时，f(x)在[2,4]上的值域为[a，a]，当a<0时，f(x)在[2,4]上的值域为[a，a]，①错误；
对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x＝2和x＝4的中点是x＝3，即当a>0时，f(x)在x＝3处有最大值f(3)＝a，当a<0时，f(x)在x＝3处有最小值f(3)＝a，②错误；
对于③，∵函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的最小正周期T＝＝，当ω＝时，T＝>4－2＝2，因此f(x)的最小正周期可以是，③正确；
对于④，f(0)＝asin φ，令f(0)＝0，得φ＝0，此时f(x)＝asin πωx，由asin πωx＝a得sin πωx＝，
则πωx＝2kπ＋(k∈Z)或πωx＝2kπ＋(k∈Z)，
∴x＝(k∈Z)或x＝(k∈Z)，
∵直线y＝a与函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，
∴令解得k＝∉Z，即不存在这样的k符合题意，④错误．综上，只有③正确．
答案：③
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