2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题一第四讲大题考法——解三角形

第四讲  大题考法——解三角形

[典例感悟]

[典例]　(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.

(1)求sin Bsin C；

(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．

[解]　(1)由题设得acsin B＝，

即csin B＝.

由正弦定理得sin Csin B＝.

故sin Bsin C＝.

(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bcsin A＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.

故△ABC的周长为3＋.

[类题通法]

用正、余弦定理求解三角形基本量的方法

[对点训练]

(2017·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．

(1)求cos A的值；

(2)求sin(2B－A)的值．

解：(1)由asin A＝4bsin B，及＝，得a＝2b.

由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，

得cos A＝＝＝－.

(2)由(1)，可得sin A＝，

代入asin A＝4bsin B，得sin B＝＝.

由(1)知，A为钝角，所以cos B＝＝.

于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，

故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A

＝×－×＝－.

[典例感悟]

[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.

[解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c·cos ，

即c2＋2c－24＝0.解得c＝4(负值舍去)．

(2)法一：由题可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝，

由余弦定理可得cos C＝，

∴CD＝，∴AD＝，

∴S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.

法二：由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝.

故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.

又△ABC的面积为×4×2×sin＝2，

所以△ABD的面积为.

[类题通法]

求解与三角形面积有关的问题的步骤

[对点训练]

(2018·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c(1＋cos B)＝b(2－cos C)．

(1)求证：2b＝a＋c；

(2)若B＝，△ABC的面积为4，求b.

解：(1)证明：∵c(1＋cos B)＝b(2－cos C)，∴由正弦定理可得sin C＋sin Ccos B＝2sin B－sin Bcos C，可得sin Ccos B＋sin Bcos C＋sin C＝2sin B，sin(B＋C)＋sin C＝2sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B，∴a＋c＝2b.

(2)∵B＝，∴△ABC的面积S＝acsin B＝ac＝4，∴ac＝16.

由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.

∵a＋c＝2b，∴b2＝4b2－3×16，解得b＝4.

[典例感悟]

[典例]　(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝2，求BC.

[解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ ＝.

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，

所以BC＝5.

[类题通法]

求解与三角形相关的平面几何问题的策略

一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．

[对点训练]

(2018·洛阳统考)如图，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.

(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长；

(2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围．

解：(1)由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中，＝，解得BC＝5.因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝＝5.

(2)AC＋AB>BC＝10，由cos 60°＝，

得(AB＋AC)2－100＝3AB·AC，而AB·AC≤2，所以≤2，

解得AB＋AC≤20，故AB＋AC的取值范围为(10,20]．

  解三角形问题重在 “变”——变角、变式

[循流程思维——入题快]

尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．

[按流程解题——快又准]

[典例]　(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.

(1)求cos B；

(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.

[解题示范]

(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，即sin B＝4(1－cos B)，❶

故17cos2B－32cos B＋15＝0，解得cos B＝，cos B＝1(舍去)．

(2)由cos B＝，得sin B＝，❷故S△ABC＝acsin B＝ac.

又S△ABC＝2，则ac＝.

由余弦定理及a＋c＝6得

b2＝a2＋c2－2accos B

＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)❸

＝36－2××＝4.

所以b＝2.　

❶变角：利用诱导公式及二倍角公式变角求cos B

❷变式：利用平方关系求sin B

❸变式：利用配方法变形a2＋c2为(a＋c)2－2ac求b

[思维升华]　“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算．

[应用体验]

(2018·广州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acos B＝(2c－b)cos A.

(1)求角A的大小；

(2)求△ABC的周长的最大值．

解：(1)法一：由已知，得acos B＋bcos A＝2ccos A.

由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，

即sin(A＋B)＝2sin Ccos A.

因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以sin C＝2sin Ccos A.

因为sin C≠0，所以cos A＝.

因为0<A<π，所以A＝.

法二：由已知及余弦定理，得a×＝(2c－b)×，即b2＋c2－a2＝bc，

所以cos A＝＝.

因为0<A<π，所以A＝.

(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，

得bc＋4＝b2＋c2，即(b＋c)2＝3bc＋4.

因为bc≤2，所以(b＋c)2≤(b＋c)2＋4，

即b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时等号成立)，

所以a＋b＋c≤6.

故△ABC的周长的最大值为6.

法二：因为＝＝，且a＝2，A＝，

所以b＝sin B，c＝sin C.

所以a＋b＋c＝2＋(sin B＋sin C)＝2＋＝2＋4sin.

因为0<B<，所以当B＝时，a＋b＋c取得最大值6.

故△ABC的周长的最大值为6.

A卷——大题保分练

1．(2018·惠州模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.

(1)求角C的大小；

(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．

解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，∴由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0.

∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，

又0°<B<180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－，

又0°<C<180°，∴C＝120°.

(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，

又a>0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absin C＝，

∴△ABC的面积为.

2．(2018·陕西模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝4，△ABC的面积为，求a＋c的值．

解：(1)∵bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，

由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B.

∴sin(A＋B)＝－2sin Ccos B.

∴sin C＝－2sin Ccos B，

又sin C≠0，

∴cos B＝－，∴B＝.

(2)由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4.

又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.

∴a＋c＝2.

3．(2018·重庆模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin－cos＝.

(1)求cos B的值；

(2)若b2－a2＝ac，求的值．

解：(1)将sin－cos＝两边同时平方得，

1－sin B＝，得sin B＝，故cos B＝±，

又sin－cos＝>0，所以sin>cos，

所以∈，所以B∈，

故cos B＝－.

(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋ac，

所以a＝c－2acos B＝c＋a，

所以c＝a，故＝＝.

4．(2018·昆明模拟)在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150°.

(1)求AB的长；

(2)延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．

解：(1)由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝2.

(2)因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，所以∠CAD＝150°－45°＝105°，由正弦定理＝，得CD＝，又sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°·sin 45°＝，所以CD＝3＋，又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝(＋1)．

5．(2019届高三·齐鲁名校联考)在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为锐角，且满足2sin(A＋C)＋cos 2B＝4sin Bcos2.

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC的面积S＝，b＝，求△ABC的周长l.

解：(1)由已知得，2sin(π－B)＋cos 2B＝4sin Bcos2，

即2sin B＋cos 2B＝4sin Bcos2，

所以2sin B＋cos 2B＝0，

即－2sin Bcos B＋cos 2B＝0，即sin 2B＝cos 2B，

所以tan 2B＝.因为0<B<，所以0<2B<π，所以2B＝，解得B＝.

(2)由(1)知，B＝.△ABC的面积S＝acsin B＝acsin＝ac＝，整理得ac＝3，①

由b＝及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得()2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，

整理得a2＋c2－ac＝3，②

将①代入②得，(a＋c)2＝12＋6，即a＋c＝3＋，

故△ABC的周长l＝b＋a＋c＝＋3＋＝3＋2.

B卷——深化提能练

1．(2018·贵州一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.

(1)求a；

(2)求AB边上的高CD的长．

解：(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，∴a＝3或a＝－2(舍去)，∴a＝3.

(2)由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得absin∠ACB＝c×CD，∴CD＝＝＝，即AB边上的高CD＝.

2．(2018·河北模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足cos B＝bcos A.

(1)若sin A＝，a＋b＝10，求a；

(2)若b＝3，a＝5，求△ABC的面积S.

解：∵cos B＝bcos A，

∴由正弦定理得·cos B＝sin Bcos A，即有sin Ccos B＝sin Acos B＋cos Asin B，

则sin Ccos B＝sin C.

∵sin C>0，∴cos B＝.

(1)由cos B＝，得sin B＝，

∵sin A＝，∴＝＝，

又a＋b＝10，解得a＝4.

(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B，b＝3，a＝5，

∴45＝25＋c2－8c，

即c2－8c－20＝0，

解得c＝10或c＝－2(舍去)，

∴S＝acsin B＝15.

3．(2018·沈阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos ＝，·＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若b＋c＝6，求a的值．

解：(1)由·＝3，得bccos A＝3，又cos A＝2cos2－1＝2×2－1＝，∴bc＝5，sin A＝.由sin A＝及S△ABC＝bcsin A，得S△ABC＝2.

(2)由b＋c＝6，得b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝26，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝20，∴a＝2.

4．(2019届高三·益阳、湘潭联考)已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

(1)求角C的大小；

(2)求函数y＝sin A＋sin B的值域．

解：(1)由＝，利用正弦定理可得2sin Acos C－sin Bcos C＝sin Ccos B，

可化为2sin Acos C＝sin(C＋B)＝sin A，

∵sin A≠0，∴cos C＝，

∵C∈，∴C＝.

(2)y＝sin A＋sin B＝sin A＋sin＝sin A＋cos A＋sin A＝sin，∵A＋B＝，0<A<，0<B<，∴<A<，∴<A＋<，

∴sin∈，∴y∈.

5.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．

(1)求sin∠CED；

(2)求BE的长．

解：设∠CED＝α.因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.

(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，

由题设知7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．

在△CDE中，由正弦定理得＝ ，于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.

(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，

又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，

所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－×＋×＝.

在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.