【高考复习】2020年高考数学(文数) 空间位置关系的判断与证明 小题练（含答案解析）
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空间位置关系的判断与证明 小题练
一 、选择题
1.下列说法错误的是( )
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线一定平行
2.已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.下列命题中，真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l.
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5.有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；
④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
7.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m∥α，则n∥α
8.已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )
A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D．若α∩β=a，a∥b，则b∥α或b∥β
9.已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，γ，给出下列四个命题，错误的命题是( )
A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b
B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α
D．若α∥β，a∥α，则a∥β
10.如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，PA=2AB，则下列结论正确的是( )
A．PA⊥AD
B．平面ABCDEF⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABCDEF所成的角为30°
11.直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )
A.0.5 B．1 C.1.5 D．2
12.平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
二 、填空题
13.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确命题序号是 ．
（1）若m∥α，n∥α，则m∥n；（2）若m⊥α，m⊥n则n∥α；
（3）若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥β；（4）若m⊂β，α∥β，则m∥α
14.已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是_____．
15.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列有四个命题：
（1）若a，b与α所成角相等，则a∥b；
（2）若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
（3）若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β；
（4）若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．
其中真命题是_____．（写出所有真命题的序号）
16.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
17.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．
18.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
答案解析
1.答案为：D；
解析：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，A正确，排除A；过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直，B正确，排除B；如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直，C正确，排除C；如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线不一定平行，D错误，选D.
2.答案为：A；
解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；
若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，
所以甲是乙成立的充分不必要条件．
3.答案为：B；
解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；
在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.
4.答案为：A；
解析：
∵m⊄α，n⊂α，m∥n，∴m∥α，故充分性成立．而由m∥α，n⊂α，得m∥n或m与n异面，
故必要性不成立．故选A．
5.答案为：A；
解析：
命题①，l可以在平面α内，是假命题；
命题②，直线a与平面α可以是相交关系，是假命题；
命题③，a可以在平面α内，是假命题；
命题④是真命题．
6.答案为：B；
解析：因为l⊄α，若在平面α内存在与直线l平行的直线，则l∥α，这与题意矛盾．故选B．
7.答案为：C；
解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，
则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．
故选C.
8.答案为：C；
解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，故a∥b，A正确；对于B，
若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，∴存在直线m⊂α，使得m∥b，
又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β，故B正确；对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，
又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；对于D，若α∩β=a，a∥b，
则b∥α或b∥β，故D正确，故选C．
9.答案为：D；
解析：
构造一个长方体ABCD－A1B1C1D1．对于D，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
A1B1∥平面ABCDA1B1∥平面A1B1C1D1．
10.答案为：A；
解析：因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥AD，故选项A正确；选项B中两个平面不垂直，
故选项B错；选项C中，AD与平面PAE相交，BC∥AD，故选项C错；选项D中，
PD与平面ABCDEF所成的角为45°，故选项D错．故选A．
11.答案为：A.
解析：设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.
又2×=h，所以h=，DE=.
在Rt△DB1E中，B1E= =.
由面积相等得× =x，得x=.
12.答案为：A；
解析：
如图，延长B1A1至A2，使A2A1=B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1=D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D．
易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C．∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α．
于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n．显然有AA2=AA3=A2A3，于是m，n所成的角为60°，
其正弦值为．故选A．
13.答案为：（3）（4）；
14.答案为：2个；
15.答案为：（4）；
16.答案为：②③④；
解析：
由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．
易知②③④都正确．
17.答案为：1；
解析：设BC1∩B1C=O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD，∴A1B∥OD，
∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1=1.
18.答案为：；
解析：设B1F=x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1=，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE=h.又2×=h，
所以h=，DE=.在Rt△DB1E中，B1E==.
由面积相等得× =x，得x=.
