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初中数学第2章 特殊三角形综合与测试单元测试一课一练
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这是一份初中数学第2章 特殊三角形综合与测试单元测试一课一练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是( )
A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
2．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是( )
A．3，4，6 B．15，20，25 C．5，12，15 D．10，16，25
3．一个等腰三角形的两边长分别为5，6，则它的周长为( )
A．16 B．17 C．18 D．16或17
4．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为( )
A．40° B．100° C．40°或100° D．无法确定
5．如图，将直角边AC=6 cm，BC=8 cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A. eq \f(25,4) B. eq \f(22,3)[ C. eq \f(7,4) D. eq \f(5,3)
6．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=88°，则∠B等于( )
A．46° B．44° C．23° D．22°
7．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4=( )
A．a＋b B．b＋c C．a＋c D．a＋b＋c
8．如图，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为15 cm，正方形A的边长为11 cm，B的边长为8 cm，C的边长为5 cm，则正方形D的边长为( )
A.eq \r(14) cm B．4 cm C.eq \r(15) cm D．3 cm
9．用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A．x2＋y2=49 B．x－y=3 C．2xy＋9=49 D．x＋y=13
10．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，则∠B= ．
12. 已知直角三角形的斜边长是6，则以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ．
13. 若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足eq \r(a2－6a＋9)＋|b－4|=0，则该直角三角形的斜边长为 ．
14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条路，他们仅仅少走了 步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．
15．如图，已知D为等边三角形ABC内的一点，DB=DA，BF=AB，∠1=∠2，则∠BFD= ．
16. 命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是 ，这个逆命题是 命题．
17．如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2等于 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形有 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于 ．
20．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE……依此类推，直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ．
三、解答题
21．(6分)在一块平地上，张大爷家房屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答．
22．(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB.
23．(8分)在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，AC＋BC=8.求△ABC的面积．
[来源:Z。xx。k.Cm]
24．(8分)一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是AC=500 m，BD=700 m，且C，D两地间的距离也为500 m，天黑前牧童从点A将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来；
(2)问：他至少要走多少路？
25．(12分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程记录如下：
设∠BAC=θ(0°＜θ＜90°)．现把不同长度的小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图①，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
[来源]
数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答： (填“能”或“不能”)；
(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.
①θ= 度；
②若记小棒A2n－1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2)，求此时a2，a3的值，并直接写出an的值(用含n的式子表示)；
活动二：
如图②，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.
数学思考：
(3)若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= ，θ2= ，θ3= (用含θ的式子表示)；
(4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
参考答案
1．(D)
2．(B)
3．(D)
4．(C)
5．(C)
6．(C)
7．(C)
8．(C)
9．(D)
10．(D)
11．_53°__．
12. _9π__．
13. _5__．
14．_4_．
15．30°．
16.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是__真__命题．
17．45．
18．△MBD，△MDE，△EAD．
19．2π__．
20．15.5__．
21．【解】 不会．理由如下：
如解图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=6 m．由勾股定理，得BC=eq \r(AB2－AC2)=eq \r(100－36)=8(m)．
∵8<9，∴大树不会砸到张大爷的房子．
22．【解】 (1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°.
∵∠C＋∠BAC＋∠B=180°，
∴∠BAC=180°－30°－30°=120°.
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC－∠DAB=120°－45°=75°.
(2)∵∠DAB=45°，∠B=30°，
∴∠ADC=∠B＋∠DAB=75°.
∵∠DAC=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC.
∵AB=AC，
∴DC=AB.
23．【解】 如解图，在△ABC中，CD是AB边上的中线．
∵CD=3，AB=6，
∴AD=DB=3，
∴CD=AD=DB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
∴∠1＋∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，
∴AC2＋BC2=AB2=36.
又∵AC＋BC=8，
∴AC2＋2AC·BC＋BC2=64，
∴2AC·BC=64－(AC2＋BC2)=64－36=28.
又∵S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC，∴S△ABC=eq \f(1,2)×eq \f(28,2)=7.
24．【解】 (1)如解图①，作点A关于河岸的对称点A′，
连结BA′交河岸于点P，则PB＋PA=PB＋PA′=BA′最短，
故牧童应将马赶到河边的点P处．
(2)如解图②，过点A′作A′B⊥BD交BD的延长线于点B′.
易知A′C∥B′D，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC是平行四边形，
∴B′A′=CD=500 m，B′D=A′C=AC=500 m.
在Rt△BB′A′中，
BB′=BD＋DB′=1200 m，A′B′=500 m，
∴BA′=eq \r(12002＋5002)=1300(m)．
答：他至少要走1300 m路．
25．【解】 (2)②∵AA1=A1A2=A2A3=1, A1A2⊥A2A3，
∴A1A3=eq \r(2)，AA3=1＋eq \r(2).
又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.
同理，A3A4∥A5A6，
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，
∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，
∴a2=A3A4=AA3=1＋eq \r(2)，
a3=AA3＋A3A5=a2＋A3A5.
∵A3A5=eq \r(2)a2，
∴a3=A5A6=AA5=a2＋eq \r(2)a2=(eq \r(2)＋1)2.
同理，an=(eq \r(2)＋1)n－1.
(4)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4θ<90°，,5θ≥90°，))
∴18°≤θ＜22.5°.
一、选择题
1．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是( )
A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
2．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是( )
A．3，4，6 B．15，20，25 C．5，12，15 D．10，16，25
3．一个等腰三角形的两边长分别为5，6，则它的周长为( )
A．16 B．17 C．18 D．16或17
4．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为( )
A．40° B．100° C．40°或100° D．无法确定
5．如图，将直角边AC=6 cm，BC=8 cm的直角△ABC纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为( )
A. eq \f(25,4) B. eq \f(22,3)[ C. eq \f(7,4) D. eq \f(5,3)
6．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=88°，则∠B等于( )
A．46° B．44° C．23° D．22°
7．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别为a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4=( )
A．a＋b B．b＋c C．a＋c D．a＋b＋c
8．如图，所有的四边形都是正方形，其中最大的正方形的边长为15 cm，正方形A的边长为11 cm，B的边长为8 cm，C的边长为5 cm，则正方形D的边长为( )
A.eq \r(14) cm B．4 cm C.eq \r(15) cm D．3 cm
9．用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A．x2＋y2=49 B．x－y=3 C．2xy＋9=49 D．x＋y=13
10．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，则∠B= ．
12. 已知直角三角形的斜边长是6，则以斜边的中点为圆心，斜边上的中线为半径的圆的面积是 ．
13. 若直角三角形的两直角边长分别为a，b，且满足eq \r(a2－6a＋9)＋|b－4|=0，则该直角三角形的斜边长为 ．
14．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条路，他们仅仅少走了 步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．
15．如图，已知D为等边三角形ABC内的一点，DB=DA，BF=AB，∠1=∠2，则∠BFD= ．
16. 命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是 ，这个逆命题是 命题．
17．如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2－MB2等于 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形有 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于 ．
20．如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE……依此类推，直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ．
三、解答题
21．(6分)在一块平地上，张大爷家房屋前9 m远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6 m处折断倒下，量得倒下部分的长是10 m．大树倒下时会砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答．
22．(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB.
23．(8分)在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，AC＋BC=8.求△ABC的面积．
[来源:Z。xx。k.Cm]
24．(8分)一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处距河岸的距离分别是AC=500 m，BD=700 m，且C，D两地间的距离也为500 m，天黑前牧童从点A将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．
(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来；
(2)问：他至少要走多少路？
25．(12分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程记录如下：
设∠BAC=θ(0°＜θ＜90°)．现把不同长度的小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上．
活动一：
如图①，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
[来源]
数学思考：
(1)小棒能无限摆下去吗？答： (填“能”或“不能”)；
(2)设AA1=A1A2=A2A3=1.
①θ= 度；
②若记小棒A2n－1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2)，求此时a2，a3的值，并直接写出an的值(用含n的式子表示)；
活动二：
如图②，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1.
数学思考：
(3)若已经向右摆放了3根小棒，则θ1= ，θ2= ，θ3= (用含θ的式子表示)；
(4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围．
参考答案
1．(D)
2．(B)
3．(D)
4．(C)
5．(C)
6．(C)
7．(C)
8．(C)
9．(D)
10．(D)
11．_53°__．
12. _9π__．
13. _5__．
14．_4_．
15．30°．
16.如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是__真__命题．
17．45．
18．△MBD，△MDE，△EAD．
19．2π__．
20．15.5__．
21．【解】 不会．理由如下：
如解图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=6 m．由勾股定理，得BC=eq \r(AB2－AC2)=eq \r(100－36)=8(m)．
∵8<9，∴大树不会砸到张大爷的房子．
22．【解】 (1)∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°.
∵∠C＋∠BAC＋∠B=180°，
∴∠BAC=180°－30°－30°=120°.
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC－∠DAB=120°－45°=75°.
(2)∵∠DAB=45°，∠B=30°，
∴∠ADC=∠B＋∠DAB=75°.
∵∠DAC=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC.
∵AB=AC，
∴DC=AB.
23．【解】 如解图，在△ABC中，CD是AB边上的中线．
∵CD=3，AB=6，
∴AD=DB=3，
∴CD=AD=DB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，
∴∠1＋∠3=90°，∴△ABC是直角三角形，
∴AC2＋BC2=AB2=36.
又∵AC＋BC=8，
∴AC2＋2AC·BC＋BC2=64，
∴2AC·BC=64－(AC2＋BC2)=64－36=28.
又∵S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC，∴S△ABC=eq \f(1,2)×eq \f(28,2)=7.
24．【解】 (1)如解图①，作点A关于河岸的对称点A′，
连结BA′交河岸于点P，则PB＋PA=PB＋PA′=BA′最短，
故牧童应将马赶到河边的点P处．
(2)如解图②，过点A′作A′B⊥BD交BD的延长线于点B′.
易知A′C∥B′D，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′DC是平行四边形，
∴B′A′=CD=500 m，B′D=A′C=AC=500 m.
在Rt△BB′A′中，
BB′=BD＋DB′=1200 m，A′B′=500 m，
∴BA′=eq \r(12002＋5002)=1300(m)．
答：他至少要走1300 m路．
25．【解】 (2)②∵AA1=A1A2=A2A3=1, A1A2⊥A2A3，
∴A1A3=eq \r(2)，AA3=1＋eq \r(2).
又∵A2A3⊥A3A4，∴A1A2∥A3A4.
同理，A3A4∥A5A6，
∴∠A=∠AA2A1=∠AA4A3=∠AA6A5，
∴AA3=A3A4，AA5=A5A6，
∴a2=A3A4=AA3=1＋eq \r(2)，
a3=AA3＋A3A5=a2＋A3A5.
∵A3A5=eq \r(2)a2，
∴a3=A5A6=AA5=a2＋eq \r(2)a2=(eq \r(2)＋1)2.
同理，an=(eq \r(2)＋1)n－1.
(4)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4θ<90°，,5θ≥90°，))
∴18°≤θ＜22.5°.
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