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高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.2 向量数量积的运算律学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.2 向量数量积的运算律学案，共9页。
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
问题 向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？
[提示] 若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
知识点1 两个向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
1．“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？
[提示] 不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(2)(a·b)2＝a2·b2．( )
(3)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．( )
[提示] (1)×．向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确．
(2)×．(a·b)2＝(|a||b|·cs θ)2＝a2b2cs2θ．
(3)√．a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)·(a·b)＝0．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )
A．0 B．a C．b D．c
B [b·c＝|b||c|cs 45°＝1．
所以a·(b·c)＝a．]
知识点2 重要公式
2．根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；
向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；
向量数量积公式：(a±b)2＝__________．
[提示] (1)a2－b2 ；a2－b2
(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2
3．已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的夹角为eq \f(2π,3)，则|2m＋3n|＝( )
A．25B．7
C．5D．eq \r(7)
D [因为|m|＝|n|＝1，且向量m，n的夹角为eq \f(2π,3)，
所以|2m＋3n|2＝4m2＋12m·n＋9n2＝13＋12cs eq \f(2π,3)＝7，
所以|2m＋3n|＝eq \r(7)．]
类型1 向量数量积的运算律的应用
【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：
(1)e1·e2；
(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；
(3)(e1＋e2)2．
[解] (1)e1·e2＝|e1||e2|cs 60°＝eq \f(1,2)．
(2)由(1)可知e1·e2＝eq \f(1,2)，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6eeq \\al(2,1)＋3e2·e1＋4e1·e2－2eeq \\al(2,2)
＝－6|e1|2＋3×eq \f(1,2)＋4×eq \f(1,2)－2|e2|2
＝－6＋eq \f(7,2)－2＝－eq \f(9,2)．
(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)
＝eeq \\al(2,1)＋e1·e2＋e2·e1＋eeq \\al(2,2)
＝eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1＋1＋1＝3．
向量的数量积在运算中的常用结论
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．
同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．
eq \([跟进训练])
1．(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
(2)已知向量|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．2eq \r(2)B．2
C．2eq \r(5)D．eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．
(2)因为向量|a＋b|＝|a－b|，所以a·b＝0，又|a|＝|b|＝2，
所以|2a－b|＝eq \r(4a2－4a·b＋b2)＝2eq \r(5)．]
类型2 向量的夹角与垂直问题
【例2】 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq \r(7)，则a，b的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(2π,3)
(2)已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求m为何值时，c与d垂直．
(1)A [设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝eq \f(1,2)，
所以|a||b|cs θ＝eq \f(1,2)，即cs θ＝eq \f(1,2)．
又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为eq \f(π,3)．]
(2)[解] 由已知得a·b＝2×1×cs 60°＝1．
若c⊥d，则c·d＝0．
所以c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，所以m＝eq \f(4,3)．
故当m＝eq \f(4,3)时，c与d垂直．
1．求向量夹角问题一般有两种思路
(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解，直接用变形公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求值定角．
(2)a·b与|a||b|不好求，可采用寻求两者关系，再用变形公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求值定角．
2．两个向量的夹角与其数量积的关系
(1)向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线．
(2)a，b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线．
(3)a与b垂直的等价条件是a·b＝0．
eq \([跟进训练])
2．(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4B．－4
C．eq \f(9,4)D．－eq \f(9,4)
(2)已知a，b满足|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(13)，求a＋b与a－b的夹角的余弦值．
(1)B [由题意知cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(m·n,\f(3,4)|n|2)＝eq \f(1,3)，
所以m·n＝eq \f(1,4)|n|2＝eq \f(1,4)n2，因为n·(tm＋n)＝0，
所以tm·n＋n2＝0，即eq \f(1,4)tn2＋n2＝0，所以t＝－4．]
(2)[解] 由已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(13)，
所以(a＋b)2＝13．
即a2＋2a·b＋b2＝13，所以2a·b＝6．
所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·b＝1．即|a－b|＝1，
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝3－4＝－1，
故cs〈a＋b，a－b〉＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝－eq \f(\r(13),13)．
类型3 向量数量积在平面几何证明中的应用
【例3】 (1)点O是△ABC所在平面上的一点，且满足eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))，则点O是△ABC的( )
A．重心B．垂心
C．内心D．外心
(2)(对接教材P79例4改编)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
本例1题中，由 eq \(OA,\s\up7(→))·\(OB,\s\up7(→))＝\(OB,\s\up7(→))·\(OC,\s\up7(→))，结合运算律，你能得到什么结论？
[提示] eq \(OA,\s\up7(→))·\(OB,\s\up7(→))＝\(OB,\s\up7(→))·\(OC,\s\up7(→))⇒\(OB,\s\up7(→))·\(OA,\s\up7(→))－\(OC,\s\up7(→))＝0⇒\(OB,\s\up7(→))·\(CA,\s\up7(→))＝0⇒OB⊥AC．
本例2题中，你能用 eq \(AB,\s\up7(→))，\(AD,\s\up7(→))表示 eq \(DE,\s\up7(→))，\(AF,\s\up7(→))吗？
[提示] eq \(DE,\s\up7(→))＝\(DA,\s\up7(→))＋ eq \(AE,\s\up7(→))＝ eq －\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up7(→))．
eq \(AF,\s\up7(→))＝\(AB,\s\up7(→))＋\(BF,\s\up7(→))＝\(AB,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up7(→))．
(1)B [因为eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))，
所以eq \(OB,\s\up7(→))(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(OB,\s\up7(→))⊥eq \(CA,\s\up7(→))，同理eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，
所以O是△ABC的垂心．]
(2)[证明] 设eq \(AD,\s\up7(→))＝a，eq \(AB,\s\up7(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(AE,\s\up7(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up7(→))·eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0．
故eq \(AF,\s\up7(→))⊥eq \(DE,\s\up7(→))，即AF⊥DE．
[母题探究]
(变条件)本例(1)中将条件“eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))”改为“(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(BA,\s\up7(→))＝(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(CB,\s\up7(→))＝(eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→)))·eq \(AC,\s\up7(→))”，则O为△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
D [∵(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(BA,\s\up7(→))＝(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＝|eq \(OA,\s\up7(→))|2－|eq \(OB,\s\up7(→))|2，
同理，(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(CB,\s\up7(→))＝|eq \(OB,\s\up7(→))|2－|eq \(OC,\s\up7(→))|2，(eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→)))·eq \(AC,\s\up7(→))＝|eq \(OC,\s\up7(→))|2－|eq \(OA,\s\up7(→))|2，
∴|eq \(OA,\s\up7(→))|2－|eq \(OB,\s\up7(→))|2＝|eq \(OB,\s\up7(→))|2－|eq \(OC,\s\up7(→))|2＝|eq \(OC,\s\up7(→))|2－|eq \(OA,\s\up7(→))|2，∴|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，
故O为△ABC的外心，故选D．]
利用向量法证明几何问题的方法技巧
(1)利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系．
(2)进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算．
(3)将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等．
eq \([跟进训练])
3．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，eq \(AE,\s\up7(→))＝3eq \(EO,\s\up7(→))，则eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))的值是( )
A．－eq \f(4,5)B．－eq \f(15,16)
C．－eq \f(1,4)D．－eq \f(5,8)
B [AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，eq \(AE,\s\up7(→))＝3eq \(EO,\s\up7(→))，可得eq \(OD,\s\up7(→))＝－eq \(OC,\s\up7(→))，eq \(EO,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AO,\s\up7(→))，|eq \(EO,\s\up7(→))|＝eq \f(1,4)|eq \(AO,\s\up7(→))|＝eq \f(1,4)，
eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))＝(eq \(EO,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·(eq \(EO,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→)))＝(eq \(EO,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·(eq \(EO,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \(EO,\s\up7(→))2－eq \(OC,\s\up7(→))2＝eq \f(1,16)－1＝－eq \f(15,16)．]
1．已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝( )
A．2 B．3
C．5 D．－5
C [因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5．]
2．已知▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝3，N为DC的中点，eq \(BM,\s\up7(→))＝2eq \(MC,\s\up7(→))，则eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(NM,\s\up7(→))＝( )
A．2B．5
C．6D．8
C [eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(NM,\s\up7(→))＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→)))·(eq \(NC,\s\up7(→))＋eq \(CM,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)\(AB,\s\up7(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up7(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up7(→))2＝eq \f(1,2)×42－eq \f(2,9)×32＝6．故选C．]
3．已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝( )
A．2B．3
C．4D．6
A [因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，
则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|·cs 120°＋4＝4．所以|a＋2b|＝2．]
4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________．
eq \r(3) [因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cs 30°＝1，即|b|2－2eq \r(3)|b|＋3＝0，所以(|b|－eq \r(3))2＝0，所以|b|＝eq \r(3)．]
5．已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角为________，a·(a＋b)＝________．
eq \f(π,6) 6 [由题意，设向量a，b的夹角为θ．因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2)．又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6)．则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cs θ＝3＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量的数量积的运算律与实数的运算律有何区别？
[提示]
2．如何求某一向量的模？
[提示] 求向量的模，一般应选求其模的平方．如：|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
3．向量的数量积的运算律为什么不满足乘法结合律？
[提示] 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
1．通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)
2．能利用运算律进行向量数量积的运算．(重点、难点)
1．通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生数学抽象的核心素养．
2．利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养．
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0⇒b＝0
a≠0，a·b＝0b＝0
a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c
a·b＝b·c(b≠0)a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律
没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
问题 向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？
[提示] 若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
知识点1 两个向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
1．“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？
[提示] 不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(2)(a·b)2＝a2·b2．( )
(3)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．( )
[提示] (1)×．向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确．
(2)×．(a·b)2＝(|a||b|·cs θ)2＝a2b2cs2θ．
(3)√．a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)·(a·b)＝0．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )
A．0 B．a C．b D．c
B [b·c＝|b||c|cs 45°＝1．
所以a·(b·c)＝a．]
知识点2 重要公式
2．根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；
向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；
向量数量积公式：(a±b)2＝__________．
[提示] (1)a2－b2 ；a2－b2
(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2
3．已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的夹角为eq \f(2π,3)，则|2m＋3n|＝( )
A．25B．7
C．5D．eq \r(7)
D [因为|m|＝|n|＝1，且向量m，n的夹角为eq \f(2π,3)，
所以|2m＋3n|2＝4m2＋12m·n＋9n2＝13＋12cs eq \f(2π,3)＝7，
所以|2m＋3n|＝eq \r(7)．]
类型1 向量数量积的运算律的应用
【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：
(1)e1·e2；
(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；
(3)(e1＋e2)2．
[解] (1)e1·e2＝|e1||e2|cs 60°＝eq \f(1,2)．
(2)由(1)可知e1·e2＝eq \f(1,2)，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6eeq \\al(2,1)＋3e2·e1＋4e1·e2－2eeq \\al(2,2)
＝－6|e1|2＋3×eq \f(1,2)＋4×eq \f(1,2)－2|e2|2
＝－6＋eq \f(7,2)－2＝－eq \f(9,2)．
(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)
＝eeq \\al(2,1)＋e1·e2＋e2·e1＋eeq \\al(2,2)
＝eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1＋1＋1＝3．
向量的数量积在运算中的常用结论
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．
同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．
eq \([跟进训练])
1．(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
(2)已知向量|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．2eq \r(2)B．2
C．2eq \r(5)D．eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．
(2)因为向量|a＋b|＝|a－b|，所以a·b＝0，又|a|＝|b|＝2，
所以|2a－b|＝eq \r(4a2－4a·b＋b2)＝2eq \r(5)．]
类型2 向量的夹角与垂直问题
【例2】 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq \r(7)，则a，b的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(2π,3)
(2)已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求m为何值时，c与d垂直．
(1)A [设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝eq \f(1,2)，
所以|a||b|cs θ＝eq \f(1,2)，即cs θ＝eq \f(1,2)．
又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为eq \f(π,3)．]
(2)[解] 由已知得a·b＝2×1×cs 60°＝1．
若c⊥d，则c·d＝0．
所以c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，所以m＝eq \f(4,3)．
故当m＝eq \f(4,3)时，c与d垂直．
1．求向量夹角问题一般有两种思路
(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解，直接用变形公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求值定角．
(2)a·b与|a||b|不好求，可采用寻求两者关系，再用变形公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求值定角．
2．两个向量的夹角与其数量积的关系
(1)向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线．
(2)a，b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线．
(3)a与b垂直的等价条件是a·b＝0．
eq \([跟进训练])
2．(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cs〈m，n〉＝eq \f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．4B．－4
C．eq \f(9,4)D．－eq \f(9,4)
(2)已知a，b满足|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(13)，求a＋b与a－b的夹角的余弦值．
(1)B [由题意知cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(m·n,\f(3,4)|n|2)＝eq \f(1,3)，
所以m·n＝eq \f(1,4)|n|2＝eq \f(1,4)n2，因为n·(tm＋n)＝0，
所以tm·n＋n2＝0，即eq \f(1,4)tn2＋n2＝0，所以t＝－4．]
(2)[解] 由已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，|a＋b|＝eq \r(13)，
所以(a＋b)2＝13．
即a2＋2a·b＋b2＝13，所以2a·b＝6．
所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝(a＋b)2－4a·b＝1．即|a－b|＝1，
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝3－4＝－1，
故cs〈a＋b，a－b〉＝eq \f(a＋b·a－b,|a＋b||a－b|)＝－eq \f(\r(13),13)．
类型3 向量数量积在平面几何证明中的应用
【例3】 (1)点O是△ABC所在平面上的一点，且满足eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))，则点O是△ABC的( )
A．重心B．垂心
C．内心D．外心
(2)(对接教材P79例4改编)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．
本例1题中，由 eq \(OA,\s\up7(→))·\(OB,\s\up7(→))＝\(OB,\s\up7(→))·\(OC,\s\up7(→))，结合运算律，你能得到什么结论？
[提示] eq \(OA,\s\up7(→))·\(OB,\s\up7(→))＝\(OB,\s\up7(→))·\(OC,\s\up7(→))⇒\(OB,\s\up7(→))·\(OA,\s\up7(→))－\(OC,\s\up7(→))＝0⇒\(OB,\s\up7(→))·\(CA,\s\up7(→))＝0⇒OB⊥AC．
本例2题中，你能用 eq \(AB,\s\up7(→))，\(AD,\s\up7(→))表示 eq \(DE,\s\up7(→))，\(AF,\s\up7(→))吗？
[提示] eq \(DE,\s\up7(→))＝\(DA,\s\up7(→))＋ eq \(AE,\s\up7(→))＝ eq －\(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up7(→))．
eq \(AF,\s\up7(→))＝\(AB,\s\up7(→))＋\(BF,\s\up7(→))＝\(AB,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up7(→))．
(1)B [因为eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))，
所以eq \(OB,\s\up7(→))(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(OB,\s\up7(→))⊥eq \(CA,\s\up7(→))，同理eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，
所以O是△ABC的垂心．]
(2)[证明] 设eq \(AD,\s\up7(→))＝a，eq \(AB,\s\up7(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(AE,\s\up7(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BF,\s\up7(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up7(→))·eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0．
故eq \(AF,\s\up7(→))⊥eq \(DE,\s\up7(→))，即AF⊥DE．
[母题探究]
(变条件)本例(1)中将条件“eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))”改为“(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(BA,\s\up7(→))＝(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(CB,\s\up7(→))＝(eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→)))·eq \(AC,\s\up7(→))”，则O为△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
D [∵(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·eq \(BA,\s\up7(→))＝(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→)))·(eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＝|eq \(OA,\s\up7(→))|2－|eq \(OB,\s\up7(→))|2，
同理，(eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·eq \(CB,\s\up7(→))＝|eq \(OB,\s\up7(→))|2－|eq \(OC,\s\up7(→))|2，(eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→)))·eq \(AC,\s\up7(→))＝|eq \(OC,\s\up7(→))|2－|eq \(OA,\s\up7(→))|2，
∴|eq \(OA,\s\up7(→))|2－|eq \(OB,\s\up7(→))|2＝|eq \(OB,\s\up7(→))|2－|eq \(OC,\s\up7(→))|2＝|eq \(OC,\s\up7(→))|2－|eq \(OA,\s\up7(→))|2，∴|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，
故O为△ABC的外心，故选D．]
利用向量法证明几何问题的方法技巧
(1)利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系、角度关系．
(2)进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算．
(3)将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等．
eq \([跟进训练])
3．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，eq \(AE,\s\up7(→))＝3eq \(EO,\s\up7(→))，则eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))的值是( )
A．－eq \f(4,5)B．－eq \f(15,16)
C．－eq \f(1,4)D．－eq \f(5,8)
B [AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，eq \(AE,\s\up7(→))＝3eq \(EO,\s\up7(→))，可得eq \(OD,\s\up7(→))＝－eq \(OC,\s\up7(→))，eq \(EO,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AO,\s\up7(→))，|eq \(EO,\s\up7(→))|＝eq \f(1,4)|eq \(AO,\s\up7(→))|＝eq \f(1,4)，
eq \(EC,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))＝(eq \(EO,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·(eq \(EO,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→)))＝(eq \(EO,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))·(eq \(EO,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \(EO,\s\up7(→))2－eq \(OC,\s\up7(→))2＝eq \f(1,16)－1＝－eq \f(15,16)．]
1．已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝( )
A．2 B．3
C．5 D．－5
C [因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5．]
2．已知▱ABCD中，|eq \(AB,\s\up7(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up7(→))|＝3，N为DC的中点，eq \(BM,\s\up7(→))＝2eq \(MC,\s\up7(→))，则eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(NM,\s\up7(→))＝( )
A．2B．5
C．6D．8
C [eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(NM,\s\up7(→))＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BM,\s\up7(→)))·(eq \(NC,\s\up7(→))＋eq \(CM,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up7(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)\(AB,\s\up7(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up7(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up7(→))2＝eq \f(1,2)×42－eq \f(2,9)×32＝6．故选C．]
3．已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝( )
A．2B．3
C．4D．6
A [因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，
则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|·cs 120°＋4＝4．所以|a＋2b|＝2．]
4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________．
eq \r(3) [因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cs 30°＝1，即|b|2－2eq \r(3)|b|＋3＝0，所以(|b|－eq \r(3))2＝0，所以|b|＝eq \r(3)．]
5．已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角为________，a·(a＋b)＝________．
eq \f(π,6) 6 [由题意，设向量a，b的夹角为θ．因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2)．又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6)．则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cs θ＝3＋2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．向量的数量积的运算律与实数的运算律有何区别？
[提示]
2．如何求某一向量的模？
[提示] 求向量的模，一般应选求其模的平方．如：|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
3．向量的数量积的运算律为什么不满足乘法结合律？
[提示] 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
1．通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)
2．能利用运算律进行向量数量积的运算．(重点、难点)
1．通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生数学抽象的核心素养．
2．利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养．
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0⇒b＝0
a≠0，a·b＝0b＝0
a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c
a·b＝b·c(b≠0)a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律
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