2019-2020学年四川省广元市青川县八年级（下）期末数学试卷（北师大版）

2019-2020学年四川省广元市青川县八年级（下）期末数学试卷（北师大版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）若分式有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝﹣1 D．x≠﹣1
2．（4分）下列因式分解正确的是（　　）
A．2x2﹣xy﹣x＝2x（x﹣y﹣1）
B．x（x﹣y）﹣y （x﹣y）＝（x﹣y）2
C．﹣xy2+2xy﹣3y＝﹣y（xy﹣2x﹣3）
D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
3．（4分）若一个多边形的内角和等于1800度，则这个多边形是（　　）
A．十二边形 B．十边形 C．九边形 D．八边形
4．（4分）如果分式的值为0，则x的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
5．（4分）下列四个命题中，假命题是（　　）
A．等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理
B．等边三角形是锐角三角形
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．真命题的逆命题是真命题
6．（4分）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
7．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AC和BD交于点O，若AC＝8，BD＝6，则边AD长的取值范围是（　　）

A．1＜AD＜7 B．5＜AD＜11 C．6＜AD＜8 D．3＜AD＜4
8．（4分）关于x的方程4x﹣2m+1＝5x﹣8的解是负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞ B．m＜0 C．m D．m＞0
9．（4分）如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　）

A．66° B．104° C．114° D．124°
10．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中，正确的个数是（　　）
（1）AD上任意一点到C、B的距离相等；
（2）AD上任意一点到AB、AC的距离相等；
（3）BD＝CD，AD⊥BC；
（4）∠BDE＝∠CDF．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a3﹣2a2+a＝　 　．
12．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，EF过点O与AD，BC分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长　 　．

13．（4分）阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）
＝x2﹣（y+1）2
＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）
试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2＝　 　．
14．（4分）如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有　 　个．
15．（4分）如图，将Rt△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB＝2，∠B＝60°，则CD＝　 　．

16．（4分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．（14分）（1）解分式方程：+＝1．
（2）解不等式组，并在数轴上表示其解集．
18．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
19．（10分）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：x＝，经检验：x＝﹣1或x＝都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x＝．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　；
（3）模仿上述换元法解方程：．
20．（9分）如图，方格纸中每一个小方格的边长为1个单位，试解答下列问题：
（1）△ABC的顶点都在方格纸的格点上，先将△ABC向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，其中点A1、B1、C1分别是A，B、C的对应点，试画出△A1B1C1．
（2）连接AA1、BB1，则线段AA1、BB1的位置关系为　 　，线段AA1、BB1的数量关系为　 　；
（3）平移过程中，线段AB扫过部分的面积为　 　（平方单位）

21．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM．CM、BA的延长线相交于点E．求证：
（1）AE＝AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE．

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD．
（1）若△ADC的周长为16，AB＝12，求△ABC的周长；
（2）若AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠DAB＝2：5，求∠ADC的度数．

23．（12分）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
24．（13分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DH垂直平分AB交AC于点E，连接BE、CD，且CD＝CE．
（1）如图1，求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）如图2，点F在AB上，且BF＝BC，连接BD，若BD平分∠ABC，试判断DF与AC的位置关系，并证明你的结论．


2019-2020学年四川省广元市青川县八年级（下）期末数学试卷（北师大版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．【解答】解：∵分式有意义，
∴x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故选：D．
2．【解答】解：A、原式＝x（2x﹣y﹣1），不符合题意；
B、原式＝（x﹣y）2，符合题意；
C、原式＝﹣y（xy﹣2x+3），不符合题意；
D、原式＝（x﹣1）2，不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180＝1800，
解得n＝12，
所以这个多边形是十二边形．
故选：A．
4．【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣1＝0，2x+2≠0，
由x2﹣1＝0，得x＝±1，
由2x+2≠0，得x≠﹣1，
综上，得x＝1．
故选：A．
5．【解答】解：A、等边对等角”与“等角对等边”是互逆定理，正确，是真命题，不符合题意；
B、等边三角形是锐角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
C、角平分线上的点到角的两倍的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、真命题的逆命题不一定是真命题，故原命题错误，是假命题，符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：
＝．
故选：A．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，DO＝BD，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，
∴4﹣3＜AD＜4+3，
解得：1＜AD＜7，
故选：A．
8．【解答】解：∵4x﹣2m+1＝5x﹣8，
∴x＝9﹣2m．
∵关于x的方程4x﹣2m+1＝5x﹣8的解是负数，
∴9﹣2m＜0，解得m＞．
故选：A．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；
故选：C．
10．【解答】解：∵AD平分∠BAC，AB＝AC，AD三线合一，
∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线的上任意一点到线段两端的距离相等）
因此（1）正确．
∵AB＝AC，且AD平分顶角∠BAC，
∴AD是BC的垂直平分线；（等腰三角形三线合一）
因此（2）（3）正确．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
∵∠BED＝∠DFC＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF；
因此（4）正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．【解答】解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
12．【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF，
∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，
∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE
＝ED+AE+CD+OE+OF
＝AD+CD+OE+OF
＝4+5+1.5+1.5
＝12．
故填空答案：12．
13．【解答】解：原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）
＝（a+b）2+c（a+b）
＝（a+b）（a+b+c）．
故答案为（a+b）（a+b+c）．
14．【解答】解：解不等式4x﹣a≥0得x≥，
解不等式3x﹣b＜0得x＜，
在数轴上画出这个不等式组解集的可能区间，如下图

根据数轴可得：0＜≤1，3＜≤4．
由0＜≤1，得0＜a≤4，
∴a＝1，2，3，4，共4个．
由3＜≤4得9＜b≤12，
∴b＝10，11，12，共3个．
4×3＝12（个）．
故适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有12个．
故答案为：12
15．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°，
∴BC＝2AB＝4，
由旋转的性质得，AB＝AD，
又∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A6B6＝32B1A2＝32．
故答案是：32．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．【解答】解：（1）去分母得：（x+1）2+4＝x2﹣1，
整理得：x2+2x+1+4＝x2﹣1，
移项合并得：2x＝﹣6，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1．

18．【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•（a﹣1）
＝﹣，
当a＝﹣1时，
原式＝＝﹣．
19．【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0
解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程的解．
当y＝1时，，该方程无解；
当y＝﹣1时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
20．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）线段AA1、BB1的位置关系为平行，线段AA1、BB1的数量关系为：相等．
故答案为：平行，相等；

（3）平移过程中，线段AB扫过部分的面积为：2××3×5＝15．
故答案为：15．

21．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝AB；

（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC＝2AM，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．

22．【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
又∵△ADC的周长为16，
∴AD+CD+AC＝16，
即BD+CD+AC＝BC+AC＝16，又AB＝12，
∴AB+BC+AC＝16+12＝28，
则△ABC的周长为28；

（2）∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∵∠CAD：∠DAB＝2：5，
设一份为x，即∠CAD＝2x，∠DAB＝∠ABD＝5x，
又∠C＝90°，
∴∠ABD+∠BAC＝90°，即2x+5x+5x＝90°，
解得：x＝7.5°，
∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝5x+5x＝10x＝75°．
23．【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）＝320，
解这个方程，得x＝200．
∴x﹣80＝120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；

（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．
得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；

（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360＝2960（元）；
②3×400+5×360＝3000（元）；
③4×400+4×360＝3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．
24．【解答】（1）证明：∵DH垂直平分AB交AC于点E，
∴AE＝BE，∠AHE＝∠BHE＝90°，
∴∠A＝∠ABE，∠A+∠AEH＝∠ABE+∠BEH＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∴∠AEH＝∠ACB＝∠BEH，
∵CE＝CD，
∴∠D＝∠CED，
∵∠AEH＝∠CED，
∴∠D＝∠BEH，∠CED＝∠ACB，
∴BE∥CD，BC∥ED，
∴四边形BCDE是平行四边形；

（2）DF⊥AC，
证明：∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE＝BC，
∵BC＝BF，
∴BF＝DE，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°，
∴∠HBD＝45°，
∵∠BHD＝90°，
∴∠HBD＝∠HDB＝45°，
∴DH＝BH＝AH，
∴DH﹣DE＝BH﹣BF，
∴HE＝HF，
在△DHF和△AHE中

∴△DHF≌△AHE，
∴∠A＝∠FDH，
∵∠A+∠AEH＝90°，∠DEC＝∠AEH，
∴∠FDH+∠DEC＝90°，
∴∠EGD＝180°﹣90°＝90°，
∴DF⊥AC．