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2019-2020学年四川省成都市天府新区八下期末数学试卷
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这是一份2019-2020学年四川省成都市天府新区八下期末数学试卷，共17页。
下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A．B．C．D．
若代数式 x2−x 有意义，则实数 x 的取值范围是
A． x=0 B． x=2 C． x≠0 D． x≠2
据中央气象台报道，某日我市最高气温是 33∘C，最低气温是 25∘C，则当天气温 t∘C 的变化范围是
A． t>25 B． t≤25 C． 25在平面直角坐标系中，将 △ABC 各点的纵坐标保持不变，横坐标都加上 3，则所得图形与原图形的关系是：将原图形
A．向左平移 3 个单位B．向右平移 3 个单位
C．向上平移 3 个单位D．向下平移 3 个单位
将分式 x2yx−y 中的 x，y 的值同时扩大为原来的 3 倍，则分式的值
A．扩大 6 倍B．扩大 9 倍C．不变D．扩大 3 倍
能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是
A． AB∥CD，AB=CD B． AB=BC，AD=CD
C． AC=BD，AB=CD D． AB∥CD，AD=CB
若解分式方程 x−1x+4=mx+4 产生增根，则 m=
A． 1 B． 0 C． −4 D． −5
如图，已知直线 y1=x+b 与 y2=kx−1 相交于点 P，点 P 的横坐标为 −1，则关于 x 的不等式 x+b≤kx−1 的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上一点，且 BC=EC，CF⊥BE 交 AB 于点 F，P 是 EB 延长线上一点，下列结论：
① BE 平分 ∠CBF；② CF 平分 ∠DCB；③ BC=FB；④ PF=PC，其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
若一个多边形的每一个外角都等于 40∘，则这个多边形的边数是 ．
若分式 2x−4x+1 的值为 0，则 x 的值为 ．
如图，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，已知 ∠ADE=65∘，则 ∠CFE 的度数为 ．
如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．
解答下面两小题．
(1) 分解因式：ax2−2ax+a；
(2) 解不等式组：x+3≤2x+2,x3+1>3x−14, 并写出所有非负整数解．
先化简，再求值：xx2+x−1÷x2−1x2+2x+1，其中 x=2020．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A1,3，B2,5，C4,2．（每个方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 将 △ABC 平移，使点 A 移动到点 A1，请画出 △A1B1C1；
(2) 作出 △ABC 关于 O 点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 A2，B2，C2 的坐标；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．
(1) 求证：△ABE≌△CDF；
(2) 若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO．
某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用 12 米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少 1 个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用 20% 的材料．
(1) 求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
(2) 如果制作甲、乙两种边框的材料共 640 米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的 2 倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）
如图，BC 为等边 △ABM 的高，AB=52，点 P 为射线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60∘，得到线段 PD，连接 MD，BD．
(1) 如图①，当点 P 在线段 BC 上时，求证：BP=MD；
(2) 如图②，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，求证：BP=MD；
(3) 若点 P 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BDM=30∘ 时，请直接写出线段 AP 的长度．
若 m2+4=3n，则 m3−3mn+4m= ．
关于 x 的不等式组 x−a>03−3x>0 的整数解共有 6 个，则 a 的取值范围是 ．
有六张大小形状相同的卡片，分别写有 1∼6 这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为 a，则 a 的值使得关于 x 的分式方程 ax−2x−2−1=6x−2 有整数解的概率为 ．
如图 1，在平面直角坐标系中，将平行四边形 ABCD 放置在第一象限，且 AB∥x 轴．直线 y=−x 从原点出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度 l 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如图 2，那么平行四边形 ABCD 的面积为 ．
如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=23，点 P 是 AC 上的动点，连接 BP，以 BP 为边作等边 △BPQ，连接 CQ，则点 P 在运动过程中，线段 CQ 长度的最小值是 ．
为建设天府新区“公园城市”．天府新区某公司生产一种产品面向全国各地销售．该公司经过实地考察后，现将 200 件该产品运往A，B，C三地进行销售，已知运往A地的运费为 30 元/件，运往B地的运费为 8 元/件，运往C地的运费为 25 元/件，要求运往C地的件数是运往A地件数的 2 倍，设安排 x 件产品运往A地．
(1) 试用含 x 的代数式表示总运费 y 元；
(2) 若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过 4000 元，则有几种运输方案？A，B，C三地各运多少件时总运费最低？最低总运费是多少元？
已知点 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 上的点，∠EAF=60∘．
(1) 如图 1，若 AB=2，AF=5，点 E 与点 B，点 F 与点 D 分别重合，求平行四边形 ABCD 的面积；
(2) 如图 2，若 AB=BC，∠B=∠EAF=60∘，求证：AE=AF；
(3) 如图 3，若 BE=CE，CF=3DF，AB=4，AF=6，求 AE 的长度．
如图 1，平面直角坐标系中，直线 y=−34x+m 交 x 轴于点 A4,0，交 y 轴正半轴于点 B．
(1) 求 △AOB 的面积；
(2) 如图 2，直线 AC 交 y 轴负半轴于点 C，AB=BC，P 为线段 AB（不含 A，B 两点）上一点，过点 P 作 y 轴的平行线交线段 AC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，线段 PQ 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式；
(3) 在（2）的条件下，M 为线段 CA 延长线上一点，且 AM=CQ，在直线 AC 上方的直线 AB 上是否存在点 N，使 △QMN 是以 QM 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. 【答案】C
【解析】A、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意．
2. 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3. 【答案】D
【解析】由题意的，2−x≠0，
解得，x≠2，
故选：D．
4. 【答案】D
5. 【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都加上 3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比，向右平移了 3 个单位．
6. 【答案】B
【解析】 ∵ 把分式 x2yx−y 中的 x 与 y 同时扩大为原来的 3 倍，
∴ 原式变为：27x2y3x−3y=9x2yx−y=9×x2yx−y，
∴ 这个分式的值扩大 9 倍．
7. 【答案】A
【解析】 ∵AB∥CD，AB=CD，
∴ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
故选：A．
8. 【答案】D
【解析】方程两边都乘 x+4，得 x−1=m，
∵ 原方程增根为 x=−4，
∴ 把 x=−4 代入整式方程，得 m=−5．
9. 【答案】D
【解析】根据题意得当 x≤−1 时，y1≤y2，
所以不等式 x+b≤kx−1 的解集为 x≤−1．
10. 【答案】D
【解析】∵ BC=EC，
∴ ∠CEB=∠CBE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DC∥AB，
∴ ∠CEB=∠EBF，
∴ ∠CBE=∠EBF，
∴ ① BE 平分 ∠CBF，正确；
∵ BC=EC，CF⊥BE，
∴ ∠ECF=∠BCF，
∴ ② CF 平分 ∠DCB，正确；
∵ DC∥AB，
∴ ∠DCF=∠CFB，
∵ ∠ECF=∠BCF，
∴ ∠CFB=∠BCF，
∴ BF=BC，
∴ ③正确；
∵ FB=BC，CF⊥BE，
∴ B 点一定在 FC 的垂直平分线上，即 PB 垂直平分 FC，
∴ PF=PC，故 ④ 正确．
11. 【答案】 9
【解析】 360÷40=9，即这个多边形的边数是 9．
12. 【答案】 2
【解析】由分式的值为零的条件得 2x−4=0,x+1≠0,
由 2x−4=0，得 x=2，
由 x+1≠0，得 x≠−1．
综上，得 x=2，即 x 的值为 2．
13. 【答案】 65°
【解析】 ∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=65∘，
∵AE=EC，CF=BF，
∴EF∥AB，
∴∠CFE=∠B=65∘．
14. 【答案】 32
【解析】 ∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，
∴△ABP≌△ACPʹ，
即线段 AB 旋转后到 AC，
∴ 旋转了 90∘，
∴∠PAPʹ=∠BAC=90∘，AP=APʹ=3，
∴PPʹ=32．
15. 【答案】
(1) ax2−2ax+a=ax2−2x+1=ax−12．
(2) x+3≤2x+2, ⋯⋯①x3+1>3x−14. ⋯⋯②解不等式①得，x≥−1.解不等式②得，x<3.将两个不等式的解集在数轴上表示为：
∴ 不等式组的解集为 −1≤x<3；
∴ 非负整数解有：0，1，2．
16. 【答案】 原式=xxx+1−1÷x+1x−1x+12=1x+1−x+1x+1÷x−1x+1=−xx+1⋅x+1x−1=−xx−1.
当 x=2020 时，
原式=−20202020−1=−20202019．
17. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；点 A2，B2，C2 的坐标分别为 −1,−3，−2,−5，−4,−2；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 关于点 P 中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为 −2,−1．
18. 【答案】
(1) ∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即 BE=DF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
∵AB=CD，BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDFHL．
(2) ∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO．
19. 【答案】
(1) 设制作每个乙种边框用 x 米材料，则制作甲种边框用 1+20%x 米材料，
由题意，得12x−1=121+20%x.解得：x=2.经检验 x=2 是原方程的解，
∴1+20%x=2.4（米），
答：制作每个甲种用 2.4 米材料；制作每个乙种用 2 米材料．
(2) 设应安排制作甲种边框需要 a 米，则安排制作乙种边框需要 640−a 米，
由题意，得640−a2≥a2.4×2.解得a≤240.答：最多安排 240 米材料制作甲种边框．
20. 【答案】
(1) 如图①，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP，∠MAD=∠PAD−∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(2) 如图②，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘=∠AMB，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP，∠MAD=∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(3) 52
【解析】
(3) ∵BC 为等边 △ABM 的高，
∴∠ABC=30∘，
∵△BAP≌△MAD，
∴∠ABP=∠AMD=30∘，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90∘，
∴∠BMD=90∘，
∵∠BDM=30∘，
∴∠DBM=60∘，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
如图③，
∵∠BDM=30∘，∠BMD=90∘，
∴BD=2BM=102，
∴AD=BD−AB=52，
∵PA=PD=AD，
∴AP=AD=52．
21. 【答案】 0
【解析】 ∵m2+4=3n，
∴m3−3mn+4m=mm2−3n+4=m3n−3n=0．
22. 【答案】 −6≤a<−5
【解析】解不等式 x−a>0，得：x>a，
解不等式 3−3x>0，得：x<1，
则不等式组的解集为 a ∵ 不等式组的整数解有 6 个，
∴ 不等式组的整数解为 0，−1，−2，−3，−4，−5，
则 −6≤a<−5，
故答案为：−6≤a<−5．
23. 【答案】 13
【解析】把分式方程 ax−2x−2−1=6x−2 去分母得 ax−2−x−2=6，
∴a−1x=6．
∵ 分式方程有整数解，
∴x=6a−1 且 x≠2，
∴a=2或3，
∴a 的值使得关于 x 的分式方程 ax−2x−2−1=6x−2 有整数解的概率 =26=13．
24. 【答案】 62
【解析】作 DM⊥AB 于点 M，如图 1 所示，
由图象和题意可得，
AE=7−4=3，EB=8−7=1，DE=3，
∴AB=3+1=4，
∵ 直线 DE 平行直线 y=−x，
∴DM=ME，
∴DM=DE⋅sin45∘=322，
∴ 平行四边形 ABCD 的面积是：4×322=62．
25. 【答案】 32
【解析】如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE．
∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠CBE=60∘，
∵BE=AE，
∴CE=BE=AE，
∴△BCE 是等边三角形，
∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60∘，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBESAS，
∴QC=PE，
∴ 当 EP⊥AC 时，QC 的值最小，
在 Rt△AEP 中，∵AE=3，∠A=30∘，
∴PE=12AE=32，
∴CQ 的最小值为 32．
26. 【答案】
(1) ∵ 安排 x 件产品运往A地，
∴ 安排 2x 件产品运往C地，安排 200−x−2x 件产品运往B地，
∴ 总运费 y=30x+8200−x−2x+25×2x=56x+1600．
(2) 依题意，得：200−x−2x≤2x,56x+1600≤4000.解得：40≤x≤4267.又 ∵x 为正整数，
∴x 可以取 40，41，42，
∴ 共有 3 种运输方案．
∵ 在 y=56x+1600 中 k=56>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=40 时，y 取得最小值，最小值 =56×40+1600=3840，此时 2x=80，200−x−2x=80．即当运往A地 40 件、运往B地 80 件、运往C地 80 件时，总运费最低，最低总运费是 3840 元．
27. 【答案】
(1) 过点 B 作 BH⊥AD 于 H，如图所示：
在 Rt△ABH 中，∠BAD=60∘，
∴∠ABH=30∘，
∵AB=2，
∴AH=1，BH=AB2−AH2=22−12=3，
∴S△ABCD=AD×BH=AF×BH=5×3=53．
(2) 连接 AC，如图所示：
∵AB=BC，∠B=∠EAF=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60∘，
∴∠BAE=∠CAF，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ACF=∠ACB=60∘，
∴∠B=∠ACF，
在 △ABE 和 △ACF 中，∠BAE=∠CAF,AB=AC,∠B=∠ACF,
∴△ABE≌△ACFASA，
∴AE=AF．
(3) 延长 AE 交 DC 延长线于 P，过点 F 作 FG⊥AP 于 G，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠ECP，
在 △ABE 和 △PCE 中，∠B=∠ECP,BE=CE,∠AEB=∠PEC,
∴△ABE≌△PCEASA，
∴AE=PE，PC=AB=CD=4，
∵CF=3DF，
∴CF=3，
∴PF=7，
在 Rt△AFG 中，AF=6，∠EAF=60∘，
∴∠AFG=30∘，
∴AG=12AF=3，FG=AF2−AG2=62−32=33，
在 Rt△PFG 中，由勾股定理得：PG=PF2−FG2=72−332=22，
∴AP=AG+PG=3+22，
∴AE=PE=12AP=3+222．
28. 【答案】
(1) ∵y=−34x+m 交 x 轴于点 A4,0，
∴0=−34×4+m，
解得 m=3，
∴ 直线 AB 解析式为 y=−34x+3，
令 x=0，y=3，B0,3；
∵A4,0，B0,3，
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90∘，
∴S△AOB=12×OA×OB=12×4×3=6．
(2) ∵OA=4，OB=3，
∴AB=OA2+OB2=5=BC，
∴OC=2，
∴ 点 C0,−2，
设直线 AC 解析式为 y=kx+n，
∴4k+n=0,n=−2,
∴k=12,n=−2,
∴ 直线 AC 解析式为 y=12x−2，
∵P 在直线 y=−34x+3 上，
∴ 可设点 Pt,−34t+3，
∵PQ∥y 轴，且点 Q 在 y=12x−2 上，
∴Qt,12t−2，
∴d=−34t+3−12t−2=−54t+5．
(3) 过点 M 作 MG⊥PQ 于 G，
∴∠QGM=90∘=∠COA，
∵PQ∥y 轴，
∴∠OCA=∠GQM
∵CQ=AM，
∴AC=QM，
在 △OAC 与 △GMQ 中，
∠AOC=∠MGQ,∠ACO=∠MQG,AC=MQ,
∴△OAC≌△GMQAAS，
∴QG=OC=2，GM=OA=4，
过点 N 作 NH⊥PQ 于 H，过点 M 作 MR⊥NH 于点 R，
∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90∘，
∴ 四边形 GHRM 是矩形，
∴HR=GM=4，可设 GH=RM=k，
∵△MNQ 是等腰直角三角形，
∴∠QMN=90∘，NQ=NM，
∴∠HNQ+∠HQN=90∘，
∴∠HNQ+∠RNM=90∘，
∴∠RNM=∠HQN，
∴△HNQ≌△RMNAAS，
∴HN=RM=k，NR=QH=2+k，
∵HR=HN+NR，
∴k+2+k=4，
∴k=1，
∴GH=NH=RM=1，
∴HQ=3，
∵Qt,12t−2，
∴Nt+1,12t−2+3 即 Nt+1,12t+1，
∵N 在直线 AB:y=−34x+3 上，
∴12t+1=−34t+1+3，
∴t=1，
∴P1,94，N2,32．
下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A．B．C．D．
若代数式 x2−x 有意义，则实数 x 的取值范围是
A． x=0 B． x=2 C． x≠0 D． x≠2
据中央气象台报道，某日我市最高气温是 33∘C，最低气温是 25∘C，则当天气温 t∘C 的变化范围是
A． t>25 B． t≤25 C． 25
A．向左平移 3 个单位B．向右平移 3 个单位
C．向上平移 3 个单位D．向下平移 3 个单位
将分式 x2yx−y 中的 x，y 的值同时扩大为原来的 3 倍，则分式的值
A．扩大 6 倍B．扩大 9 倍C．不变D．扩大 3 倍
能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是
A． AB∥CD，AB=CD B． AB=BC，AD=CD
C． AC=BD，AB=CD D． AB∥CD，AD=CB
若解分式方程 x−1x+4=mx+4 产生增根，则 m=
A． 1 B． 0 C． −4 D． −5
如图，已知直线 y1=x+b 与 y2=kx−1 相交于点 P，点 P 的横坐标为 −1，则关于 x 的不等式 x+b≤kx−1 的解集在数轴上表示正确的是
A．B．
C．D．
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 CD 上一点，且 BC=EC，CF⊥BE 交 AB 于点 F，P 是 EB 延长线上一点，下列结论：
① BE 平分 ∠CBF；② CF 平分 ∠DCB；③ BC=FB；④ PF=PC，其中正确结论的个数为
A．1B．2C．3D．4
若一个多边形的每一个外角都等于 40∘，则这个多边形的边数是 ．
若分式 2x−4x+1 的值为 0，则 x 的值为 ．
如图，在 △ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，已知 ∠ADE=65∘，则 ∠CFE 的度数为 ．
如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为 △ABC 内一点，将 △ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，如果 AP=3，那么线段 PPʹ 的长等于 ．
解答下面两小题．
(1) 分解因式：ax2−2ax+a；
(2) 解不等式组：x+3≤2x+2,x3+1>3x−14, 并写出所有非负整数解．
先化简，再求值：xx2+x−1÷x2−1x2+2x+1，其中 x=2020．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A1,3，B2,5，C4,2．（每个方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 将 △ABC 平移，使点 A 移动到点 A1，请画出 △A1B1C1；
(2) 作出 △ABC 关于 O 点成中心对称的 △A2B2C2，并直接写出 A2，B2，C2 的坐标；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．
(1) 求证：△ABE≌△CDF；
(2) 若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO．
某工厂制作甲、乙两种窗户边框，已知同样用 12 米材料制成甲种边框的个数比制成乙种边框的个数少 1 个，且制成一个甲种边框比制成一个乙种边框需要多用 20% 的材料．
(1) 求制作每个甲种边框、乙种边框各用多少米材料？
(2) 如果制作甲、乙两种边框的材料共 640 米，要求制作乙种边框的数量不少于甲种边框数量的 2 倍，求应最多安排多少米材料制作甲种边框？（不计材料损耗）
如图，BC 为等边 △ABM 的高，AB=52，点 P 为射线 BC 上的动点（不与点 B，C 重合），连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 60∘，得到线段 PD，连接 MD，BD．
(1) 如图①，当点 P 在线段 BC 上时，求证：BP=MD；
(2) 如图②，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，求证：BP=MD；
(3) 若点 P 在线段 BC 的延长线上，且 ∠BDM=30∘ 时，请直接写出线段 AP 的长度．
若 m2+4=3n，则 m3−3mn+4m= ．
关于 x 的不等式组 x−a>03−3x>0 的整数解共有 6 个，则 a 的取值范围是 ．
有六张大小形状相同的卡片，分别写有 1∼6 这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为 a，则 a 的值使得关于 x 的分式方程 ax−2x−2−1=6x−2 有整数解的概率为 ．
如图 1，在平面直角坐标系中，将平行四边形 ABCD 放置在第一象限，且 AB∥x 轴．直线 y=−x 从原点出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度 l 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如图 2，那么平行四边形 ABCD 的面积为 ．
如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=23，点 P 是 AC 上的动点，连接 BP，以 BP 为边作等边 △BPQ，连接 CQ，则点 P 在运动过程中，线段 CQ 长度的最小值是 ．
为建设天府新区“公园城市”．天府新区某公司生产一种产品面向全国各地销售．该公司经过实地考察后，现将 200 件该产品运往A，B，C三地进行销售，已知运往A地的运费为 30 元/件，运往B地的运费为 8 元/件，运往C地的运费为 25 元/件，要求运往C地的件数是运往A地件数的 2 倍，设安排 x 件产品运往A地．
(1) 试用含 x 的代数式表示总运费 y 元；
(2) 若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过 4000 元，则有几种运输方案？A，B，C三地各运多少件时总运费最低？最低总运费是多少元？
已知点 E，F 分别是平行四边形 ABCD 的边 BC，CD 上的点，∠EAF=60∘．
(1) 如图 1，若 AB=2，AF=5，点 E 与点 B，点 F 与点 D 分别重合，求平行四边形 ABCD 的面积；
(2) 如图 2，若 AB=BC，∠B=∠EAF=60∘，求证：AE=AF；
(3) 如图 3，若 BE=CE，CF=3DF，AB=4，AF=6，求 AE 的长度．
如图 1，平面直角坐标系中，直线 y=−34x+m 交 x 轴于点 A4,0，交 y 轴正半轴于点 B．
(1) 求 △AOB 的面积；
(2) 如图 2，直线 AC 交 y 轴负半轴于点 C，AB=BC，P 为线段 AB（不含 A，B 两点）上一点，过点 P 作 y 轴的平行线交线段 AC 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，线段 PQ 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式；
(3) 在（2）的条件下，M 为线段 CA 延长线上一点，且 AM=CQ，在直线 AC 上方的直线 AB 上是否存在点 N，使 △QMN 是以 QM 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. 【答案】C
【解析】A、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意．
2. 【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3. 【答案】D
【解析】由题意的，2−x≠0，
解得，x≠2，
故选：D．
4. 【答案】D
5. 【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中，将三角形各点的横坐标都加上 3，纵坐标保持不变，所得图形与原图形相比，向右平移了 3 个单位．
6. 【答案】B
【解析】 ∵ 把分式 x2yx−y 中的 x 与 y 同时扩大为原来的 3 倍，
∴ 原式变为：27x2y3x−3y=9x2yx−y=9×x2yx−y，
∴ 这个分式的值扩大 9 倍．
7. 【答案】A
【解析】 ∵AB∥CD，AB=CD，
∴ 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
故选：A．
8. 【答案】D
【解析】方程两边都乘 x+4，得 x−1=m，
∵ 原方程增根为 x=−4，
∴ 把 x=−4 代入整式方程，得 m=−5．
9. 【答案】D
【解析】根据题意得当 x≤−1 时，y1≤y2，
所以不等式 x+b≤kx−1 的解集为 x≤−1．
10. 【答案】D
【解析】∵ BC=EC，
∴ ∠CEB=∠CBE，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DC∥AB，
∴ ∠CEB=∠EBF，
∴ ∠CBE=∠EBF，
∴ ① BE 平分 ∠CBF，正确；
∵ BC=EC，CF⊥BE，
∴ ∠ECF=∠BCF，
∴ ② CF 平分 ∠DCB，正确；
∵ DC∥AB，
∴ ∠DCF=∠CFB，
∵ ∠ECF=∠BCF，
∴ ∠CFB=∠BCF，
∴ BF=BC，
∴ ③正确；
∵ FB=BC，CF⊥BE，
∴ B 点一定在 FC 的垂直平分线上，即 PB 垂直平分 FC，
∴ PF=PC，故 ④ 正确．
11. 【答案】 9
【解析】 360÷40=9，即这个多边形的边数是 9．
12. 【答案】 2
【解析】由分式的值为零的条件得 2x−4=0,x+1≠0,
由 2x−4=0，得 x=2，
由 x+1≠0，得 x≠−1．
综上，得 x=2，即 x 的值为 2．
13. 【答案】 65°
【解析】 ∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=65∘，
∵AE=EC，CF=BF，
∴EF∥AB，
∴∠CFE=∠B=65∘．
14. 【答案】 32
【解析】 ∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACPʹ 重合，
∴△ABP≌△ACPʹ，
即线段 AB 旋转后到 AC，
∴ 旋转了 90∘，
∴∠PAPʹ=∠BAC=90∘，AP=APʹ=3，
∴PPʹ=32．
15. 【答案】
(1) ax2−2ax+a=ax2−2x+1=ax−12．
(2) x+3≤2x+2, ⋯⋯①x3+1>3x−14. ⋯⋯②解不等式①得，x≥−1.解不等式②得，x<3.将两个不等式的解集在数轴上表示为：
∴ 不等式组的解集为 −1≤x<3；
∴ 非负整数解有：0，1，2．
16. 【答案】 原式=xxx+1−1÷x+1x−1x+12=1x+1−x+1x+1÷x−1x+1=−xx+1⋅x+1x−1=−xx−1.
当 x=2020 时，
原式=−20202020−1=−20202019．
17. 【答案】
(1) 如图，△A1B1C1 为所作；
(2) 如图，△A2B2C2 为所作；点 A2，B2，C2 的坐标分别为 −1,−3，−2,−5，−4,−2；
(3) △A1B1C1 与 △A2B2C2 关于点 P 中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为 −2,−1．
18. 【答案】
(1) ∵BF=DE，
∴BF−EF=DE−EF，即 BE=DF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90∘，
∵AB=CD，BE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDFHL．
(2) ∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO=CO．
19. 【答案】
(1) 设制作每个乙种边框用 x 米材料，则制作甲种边框用 1+20%x 米材料，
由题意，得12x−1=121+20%x.解得：x=2.经检验 x=2 是原方程的解，
∴1+20%x=2.4（米），
答：制作每个甲种用 2.4 米材料；制作每个乙种用 2 米材料．
(2) 设应安排制作甲种边框需要 a 米，则安排制作乙种边框需要 640−a 米，
由题意，得640−a2≥a2.4×2.解得a≤240.答：最多安排 240 米材料制作甲种边框．
20. 【答案】
(1) 如图①，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC−∠CAP，∠MAD=∠PAD−∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(2) 如图②，连接 AD，
∵△AMB 是等边三角形，
∴AB=AM，∠BAM=60∘=∠AMB，
由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60∘，
∴△APD 是等边三角形，
∴PA=PD=AD，∠PAD=60∘=∠BAM，
∴∠BAP=∠BAC+∠CAP，∠MAD=∠PAD+∠CAP，
∴∠BAP=∠MAD，
在 △BAP 与 △MAD 中，
BA=MA,∠BAP=∠MAD,AP=AD.
∴△BAP≌△MADSAS，
∴BP=MD．
(3) 52
【解析】
(3) ∵BC 为等边 △ABM 的高，
∴∠ABC=30∘，
∵△BAP≌△MAD，
∴∠ABP=∠AMD=30∘，
∴∠BMD=∠AMB+∠AMD=90∘，
∴∠BMD=90∘，
∵∠BDM=30∘，
∴∠DBM=60∘，
∴ 点 D 在 BA 的延长线上，
如图③，
∵∠BDM=30∘，∠BMD=90∘，
∴BD=2BM=102，
∴AD=BD−AB=52，
∵PA=PD=AD，
∴AP=AD=52．
21. 【答案】 0
【解析】 ∵m2+4=3n，
∴m3−3mn+4m=mm2−3n+4=m3n−3n=0．
22. 【答案】 −6≤a<−5
【解析】解不等式 x−a>0，得：x>a，
解不等式 3−3x>0，得：x<1，
则不等式组的解集为 a
∴ 不等式组的整数解为 0，−1，−2，−3，−4，−5，
则 −6≤a<−5，
故答案为：−6≤a<−5．
23. 【答案】 13
【解析】把分式方程 ax−2x−2−1=6x−2 去分母得 ax−2−x−2=6，
∴a−1x=6．
∵ 分式方程有整数解，
∴x=6a−1 且 x≠2，
∴a=2或3，
∴a 的值使得关于 x 的分式方程 ax−2x−2−1=6x−2 有整数解的概率 =26=13．
24. 【答案】 62
【解析】作 DM⊥AB 于点 M，如图 1 所示，
由图象和题意可得，
AE=7−4=3，EB=8−7=1，DE=3，
∴AB=3+1=4，
∵ 直线 DE 平行直线 y=−x，
∴DM=ME，
∴DM=DE⋅sin45∘=322，
∴ 平行四边形 ABCD 的面积是：4×322=62．
25. 【答案】 32
【解析】如图，取 AB 的中点 E，连接 CE，PE．
∵∠ACB=90∘，∠A=30∘，
∴∠CBE=60∘，
∵BE=AE，
∴CE=BE=AE，
∴△BCE 是等边三角形，
∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60∘，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBESAS，
∴QC=PE，
∴ 当 EP⊥AC 时，QC 的值最小，
在 Rt△AEP 中，∵AE=3，∠A=30∘，
∴PE=12AE=32，
∴CQ 的最小值为 32．
26. 【答案】
(1) ∵ 安排 x 件产品运往A地，
∴ 安排 2x 件产品运往C地，安排 200−x−2x 件产品运往B地，
∴ 总运费 y=30x+8200−x−2x+25×2x=56x+1600．
(2) 依题意，得：200−x−2x≤2x,56x+1600≤4000.解得：40≤x≤4267.又 ∵x 为正整数，
∴x 可以取 40，41，42，
∴ 共有 3 种运输方案．
∵ 在 y=56x+1600 中 k=56>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=40 时，y 取得最小值，最小值 =56×40+1600=3840，此时 2x=80，200−x−2x=80．即当运往A地 40 件、运往B地 80 件、运往C地 80 件时，总运费最低，最低总运费是 3840 元．
27. 【答案】
(1) 过点 B 作 BH⊥AD 于 H，如图所示：
在 Rt△ABH 中，∠BAD=60∘，
∴∠ABH=30∘，
∵AB=2，
∴AH=1，BH=AB2−AH2=22−12=3，
∴S△ABCD=AD×BH=AF×BH=5×3=53．
(2) 连接 AC，如图所示：
∵AB=BC，∠B=∠EAF=60∘，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60∘，
∴∠BAE=∠CAF，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形，
∴∠ACF=∠ACB=60∘，
∴∠B=∠ACF，
在 △ABE 和 △ACF 中，∠BAE=∠CAF,AB=AC,∠B=∠ACF,
∴△ABE≌△ACFASA，
∴AE=AF．
(3) 延长 AE 交 DC 延长线于 P，过点 F 作 FG⊥AP 于 G，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠ECP，
在 △ABE 和 △PCE 中，∠B=∠ECP,BE=CE,∠AEB=∠PEC,
∴△ABE≌△PCEASA，
∴AE=PE，PC=AB=CD=4，
∵CF=3DF，
∴CF=3，
∴PF=7，
在 Rt△AFG 中，AF=6，∠EAF=60∘，
∴∠AFG=30∘，
∴AG=12AF=3，FG=AF2−AG2=62−32=33，
在 Rt△PFG 中，由勾股定理得：PG=PF2−FG2=72−332=22，
∴AP=AG+PG=3+22，
∴AE=PE=12AP=3+222．
28. 【答案】
(1) ∵y=−34x+m 交 x 轴于点 A4,0，
∴0=−34×4+m，
解得 m=3，
∴ 直线 AB 解析式为 y=−34x+3，
令 x=0，y=3，B0,3；
∵A4,0，B0,3，
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90∘，
∴S△AOB=12×OA×OB=12×4×3=6．
(2) ∵OA=4，OB=3，
∴AB=OA2+OB2=5=BC，
∴OC=2，
∴ 点 C0,−2，
设直线 AC 解析式为 y=kx+n，
∴4k+n=0,n=−2,
∴k=12,n=−2,
∴ 直线 AC 解析式为 y=12x−2，
∵P 在直线 y=−34x+3 上，
∴ 可设点 Pt,−34t+3，
∵PQ∥y 轴，且点 Q 在 y=12x−2 上，
∴Qt,12t−2，
∴d=−34t+3−12t−2=−54t+5．
(3) 过点 M 作 MG⊥PQ 于 G，
∴∠QGM=90∘=∠COA，
∵PQ∥y 轴，
∴∠OCA=∠GQM
∵CQ=AM，
∴AC=QM，
在 △OAC 与 △GMQ 中，
∠AOC=∠MGQ,∠ACO=∠MQG,AC=MQ,
∴△OAC≌△GMQAAS，
∴QG=OC=2，GM=OA=4，
过点 N 作 NH⊥PQ 于 H，过点 M 作 MR⊥NH 于点 R，
∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90∘，
∴ 四边形 GHRM 是矩形，
∴HR=GM=4，可设 GH=RM=k，
∵△MNQ 是等腰直角三角形，
∴∠QMN=90∘，NQ=NM，
∴∠HNQ+∠HQN=90∘，
∴∠HNQ+∠RNM=90∘，
∴∠RNM=∠HQN，
∴△HNQ≌△RMNAAS，
∴HN=RM=k，NR=QH=2+k，
∵HR=HN+NR，
∴k+2+k=4，
∴k=1，
∴GH=NH=RM=1，
∴HQ=3，
∵Qt,12t−2，
∴Nt+1,12t−2+3 即 Nt+1,12t+1，
∵N 在直线 AB:y=−34x+3 上，
∴12t+1=−34t+1+3，
∴t=1，
∴P1,94，N2,32．
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