还剩24页未读，
继续阅读
2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷 解析版
展开
2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣3
C．x≠±3 D．x为任意实数
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣6＜y﹣6 D．ax+1＞ay+1
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40° B．70° C．40°或70° D．100°
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34m B．18m C．16m D．9m
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．+＝1
C．1+＝ D．﹣＝0
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1260°
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cm B．10cm C．5cm D．5cm
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 m．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 ．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 ．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 ．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ ．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 ．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x﹣1＞0，
解得：x＞1．
表示在数轴上为：
故选：A．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣3
C．x≠±3 D．x为任意实数
【分析】根据分式有意义的条件可得x2﹣9≠0，依此即可求解．
【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，
解得：x≠±3．
故选：C．
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣6＜y﹣6 D．ax+1＞ay+1
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3x＞3y，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时减去6，不等式仍成立，即x﹣6＞y﹣6，故本选项不符合题意．
D、当a＝0时，该不等式不成立，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40° B．70° C．40°或70° D．100°
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°．
故选：B．
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
【分析】利用提公因式法求解A、C、D后作出判断，利用十字相乘法或因式分解的定义判断B．
【解答】解：整式x（x﹣y）﹣y（x﹣y）提取公因式（x﹣y），得（x﹣y）2，因式分解正确；
a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2，等号的右边不是整式积的形式，不属于因式分解；
式子2n2﹣nm﹣n提取公因式n后可分解为n（2n﹣m﹣1），故选项C分解不正确；
式子﹣ab2+2ab﹣3b提取公因式﹣b后可分解为﹣b（ab﹣2a+3），故选项D错误．
故选：A．
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34m B．18m C．16m D．9m
【分析】根据平行四边形的对边相等，即可得到平行四边形的一组邻边之和等于周长的一半，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵周长为50cm，一边长16m，
∴它的邻边为﹣16＝9（m），
故选：D．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．+＝1
C．1+＝ D．﹣＝0
【分析】应用分式的加减法则对每个选项逐一进行计算．
【解答】解：A，所以A选项错误；
B，所以B选项正确；
C，所以C选项错误；
D，所以D选项错误．
故选：B．
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1260°
【分析】根据三角形的内角和为180°可计算求解．
【解答】解：5×180°＝900°，
答：这个多边形的内角和为900°．
故选：C．
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cm B．10cm C．5cm D．5cm
【分析】根据菱形四条边都相等的性质和对角线垂直且平分，计算出每条边的长度，在直角三角形中应用勾股定理计算可得出答案．
【解答】解：菱形ABCD如右图所示，
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；
∵对角线BD＝10cm，
∴BO＝DO＝5cm；
在Rt△ADO中，
AO＝
＝
＝．
∴AD＝2AO＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 2 m．
【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解答】解：∵D为AB的中点，AB＝8m，
∴AD＝4m，
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE＝AD＝2m，
故答案是：2．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 x＞2 ．
【分析】若y1＜y2，则直线直线l1位于直线l2的下方．
【解答】解：如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，点P的横坐标是﹣2，
所以若y1＜y2，则x满足的取值范围是x＞2．
故答案是：x＞2．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 4.1 ．
【分析】连接EC，利用垂直平分线的性质得到AE＝EC，再在Rt△EBC中，利用勾股定理求边长即可．
【解答】解：如图，连接EC，
∵EF垂直平分AC
∴EC＝AE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝90°；
在Rt△EBC中，EC2＝EB2+BC2
又∵EC＝AE，EB＝AB﹣AE＝5﹣AE，BC＝4
..AE2＝（5﹣AE）2+42
解得：AE＝4.1．
故答案为：4.1．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
【分析】（1）先解组中的两个不等式，再确定不等式组的解集；
（2）按解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
解①，得x＜1，
解②，得x＞0，
∴原不等式组的解集为：0＜x＜1；
（2）原方程可变形为﹣＝1，
去分母，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
整理，得2x＝4
所以x＝2．
经检验，x＝2是原方式方程的解．
所以原方式方程的解为：x＝2．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的加减运算法则、分式的混合运算法则计算，再代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣）÷
＝×
＝×
＝a﹣1
∵﹣1＜a≤2，a＝2时，分式有意义，
∴当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 （﹣1，5） ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质即可写出点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标；．
（3）根据两点之间线段最短，作点C1关于x轴的对称点，连接C′B1与x轴交于一点P，且满足点P到点B1点C1离之和最小，根据勾股定理，即可写出PB1+PC1的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；
故答案为：（﹣1，5）；
（3）点P即为所求，
PB1+PC1的最小值为：
故答案为：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
【分析】根据SAS可以证明△DMF≌△BNE．从而得到MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．根据等角的补角相等，可以证明∠FEN＝∠EFM，则EN∥FM．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
在△BNE和△DMF中，，
∴△BNE≌△DMF（SAS）．
∴MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．
∴EN∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
【分析】（1）先设租用45座客车x辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．
（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用+租用60座客车的费用＜单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用．
【解答】解：（1）设租用x辆45座的客车，依题意得
45x＝60（x﹣1）﹣30，
解得x＝6．
6×45＝270人．
答：该校参加春游的人数为270人．
（2）设租用y辆45座的客车，依题意得
，
解不等式组得2≤y＜．
所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车．
2×250+3×300＝1400元．
答：按这种方案需要租金1400元．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）①先求出∠BAD＝150°，进而求出∠D＝15°，再求出∠DAE＝120°，即可得出结论；
②先判断出BE＝CE，再判断出△ACE≌△ADF（SAS），得出DF＝CE，再判断出EF＝AE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，
∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；
②BD＝2CE+AE；
证明：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CE，
过点A作AF⊥AE交DE于F，
∴∠EAF＝90°，
由旋转知，∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝∠DAF，
由①知，∠AED＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴EF＝AE，
∵AC＝AD，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴DF＝CE，
∴BD＝BE+EF+DF＝CE+AE+CE＝2CE+AE．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 42 ．
【分析】本题应先提公因式，把a2b+ab2分解因式，再把条件代入即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b）．
把ab＝7，a+b＝6代入上式：原式＝7×6＝42．
故答案为：42．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 a≤4 ．
【分析】已知不等式组解集为x＞3，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．
【解答】解：由题意x＞3，x≥a，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴a≤4．
故答案是：a≤4．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ a+1 ．
【分析】根据题意可得S2＝＝﹣，S3＝＝，S4＝＝a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2＝＝﹣，
S3＝＝，
S4＝＝a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴S2020＝a+1．
故答案为：a+1．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 8 ．
【分析】连接AI，BI，根据点I为△ABC角平分线交点，可得IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，再根据∠ACB平移，使其顶点与点I重合，可得DI∥AC，EI∥BC，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长．
【解答】解：如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC角平分线交点，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．
即图中阴影部分的周长为8．
故答案为：8．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 2.5≤m≤3 ．
【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A（﹣2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，
∴m的取值范围是2.5≤m≤3，
故答案为：2.5≤m≤3．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ＞（a＜b） ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
【分析】（1）用一个不等式表示即可求解；
（2）利用作差法即可求解．
【解答】解：（1）请用一个不等式表示这个现象：＞（a＜b）．
故答案为：＞（a＜b）；
（2）∵﹣＝＝＞0，
∴＞，
则现在糖水的含糖量比原来高了．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△CFG≌△AEG（AAS），由全等三角形的性质可得出结论FG＝EG；
（2）过点E作EM⊥AB交AC于点M，证明△MEG≌△CFG（AAS），可得出EG＝FG；
（3）连接DE，DF，EH，证明△ADE≌△DCF（SAS），得出DE＝DF，由等腰三角形的性质得出DG⊥EF，则DH是EF的中垂线，可得出EH＝FH，由勾股定理求出EH＝13，设AE＝x，则CF＝x，得出方程2x+7＝13，解得x＝3，求出AB＝15，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠EAG＝∠FCG，
又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，
∴△CFG≌△AEG（AAS），
∴FG＝EG；
（2）（1）中结论依然成立．
理由如下：
如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠MAE＝∠AME＝45°，
∴AE＝EM，
又∵AE＝FC，
∴EM＝CF，
∵∠AEM＝∠ABC，
∴ME∥CF，
∴∠MEG＝∠GFC，
又∵∠MGE＝∠FGC，
∴△MEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG；
（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，
∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
由（2）知EG＝GF，
∴DG⊥EF，
∴DH是EF的中垂线，
∴EH＝FH，
∵BE＝12，BH＝5，
∴EH＝＝＝13，
∴FH＝13，
设AE＝x，则CF＝x，
∴AB＝CB＝12+x，
∴CH＝7+x，
∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，
∴2x+7＝13，
解得x＝3，
∴AB＝15，
∴正方形ABCD的面积为225．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
【分析】（1）将点A代入解析式可求b的值，即可求解；
（2）分AC为边和对角线两种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，可求解；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA＝45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP＝OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP＝MT，可得PN＝MT＝2MQ＝2QT，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0），
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）∵直线y＝﹣2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B（0，4），
∵点C是线段AB中点，
∴点C（1，2），
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
∴设点P（x，0），点Q（0，y），
当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ＝AP，
∴y＝2，
∴CQ＝1＝AP，
∴点P（1，0），
若四边形ACPQ是平行四边形时，
∴AP与CQ互相平分，
∴，
∴x＝﹣1，
∴点P（﹣1，0），
当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，
∴AC与PQ互相平分，
∴，
∴x＝3，
∴点P（3，0）；
综上所述：点P坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（3，0）；
（3））∵△AMP是等腰三角形，MP＝MA，
∴∠MAP＝∠MPA，
设∠MAP＝α，
∵直线l∥MP，
∴∠FAP＝∠MPA＝α，
∴∠FAE＝2α，
∵FE⊥AM，
∴∠FEA＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣2α，
又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE＝180°，2∠PFO+∠AFE＝180°，
∴∠NFP＝∠PFO＝（180°﹣∠AFE）＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
又∵∠NFP＝∠FPA+∠FAP，
∴45°+α＝∠FPA+α，
∴∠FPA＝45°，
过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2所示，
∴∠NPA＝90°，
∴∠FPN＝45°，
在△NFP和△OFP中
，
∴△NFP≌△OFP（ASA）
∴NP＝OP，
∵PN∥MT，MP∥直线l，
∴四边形NPMT是平行四边形，
∴NP＝MT，
又∵∠TAQ＝∠MAQ，AQ＝AQ，∠AQT＝∠AQM，
∴PN＝MT＝2MQ＝2QT，
∵点P的横坐标为t，点P是x轴负半轴上一点，
∴QM＝﹣t，OP＝﹣t，
∴△PMO的面积＝×（﹣t）×（﹣t）＝t2．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣3
C．x≠±3 D．x为任意实数
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣6＜y﹣6 D．ax+1＞ay+1
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40° B．70° C．40°或70° D．100°
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34m B．18m C．16m D．9m
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．+＝1
C．1+＝ D．﹣＝0
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1260°
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cm B．10cm C．5cm D．5cm
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 m．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 ．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 ．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 ．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ ．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 ．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
2019-2020学年四川省成都市高新区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）不等式x﹣1＞0的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求出不等式解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：不等式x﹣1＞0，
解得：x＞1．
表示在数轴上为：
故选：A．
3．（3分）若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3 B．x≠﹣3
C．x≠±3 D．x为任意实数
【分析】根据分式有意义的条件可得x2﹣9≠0，依此即可求解．
【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，
解得：x≠±3．
故选：C．
4．（3分）已知x＞y，下列不等式一定成立的是（ ）
A．3x＜3y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣6＜y﹣6 D．ax+1＞ay+1
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3x＞3y，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时减去6，不等式仍成立，即x﹣6＞y﹣6，故本选项不符合题意．
D、当a＝0时，该不等式不成立，故本选项不符合题意．
故选：B．
5．（3分）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°，则∠C为（ ）
A．40° B．70° C．40°或70° D．100°
【分析】根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝40°，
∴∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°．
故选：B．
6．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2
B．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
C．2n2﹣nm﹣n＝2n（n﹣m﹣1）
D．﹣ab2+2ab﹣3b＝﹣b（ab﹣2a﹣3）
【分析】利用提公因式法求解A、C、D后作出判断，利用十字相乘法或因式分解的定义判断B．
【解答】解：整式x（x﹣y）﹣y（x﹣y）提取公因式（x﹣y），得（x﹣y）2，因式分解正确；
a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2，等号的右边不是整式积的形式，不属于因式分解；
式子2n2﹣nm﹣n提取公因式n后可分解为n（2n﹣m﹣1），故选项C分解不正确；
式子﹣ab2+2ab﹣3b提取公因式﹣b后可分解为﹣b（ab﹣2a+3），故选项D错误．
故选：A．
7．（3分）如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16m，则它的邻边为（ ）
A．34m B．18m C．16m D．9m
【分析】根据平行四边形的对边相等，即可得到平行四边形的一组邻边之和等于周长的一半，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵周长为50cm，一边长16m，
∴它的邻边为﹣16＝9（m），
故选：D．
8．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．+＝ B．+＝1
C．1+＝ D．﹣＝0
【分析】应用分式的加减法则对每个选项逐一进行计算．
【解答】解：A，所以A选项错误；
B，所以B选项正确；
C，所以C选项错误；
D，所以D选项错误．
故选：B．
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1260°
【分析】根据三角形的内角和为180°可计算求解．
【解答】解：5×180°＝900°，
答：这个多边形的内角和为900°．
故选：C．
10．（3分）菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（ ）
A．10cm B．10cm C．5cm D．5cm
【分析】根据菱形四条边都相等的性质和对角线垂直且平分，计算出每条边的长度，在直角三角形中应用勾股定理计算可得出答案．
【解答】解：菱形ABCD如右图所示，
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；
∵对角线BD＝10cm，
∴BO＝DO＝5cm；
在Rt△ADO中，
AO＝
＝
＝．
∴AD＝2AO＝．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
12．（4分）房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠A＝30°，AB＝8m，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则DE的长为 2 m．
【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．
【解答】解：∵D为AB的中点，AB＝8m，
∴AD＝4m，
∵DE⊥AC于点E，∠A＝30°，
∴DE＝AD＝2m，
故答案是：2．
13．（4分）如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，根据图象，若y1＜y2，则x满足的取值范围是 x＞2 ．
【分析】若y1＜y2，则直线直线l1位于直线l2的下方．
【解答】解：如图，直线l1：y1＝ax（a≠0）与直线l2：y2＝x+b交与点P，点P的横坐标是﹣2，
所以若y1＜y2，则x满足的取值范围是x＞2．
故答案是：x＞2．
14．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，E、F分别在AB、CD上，且EF垂直平分AC，则AE的长为 4.1 ．
【分析】连接EC，利用垂直平分线的性质得到AE＝EC，再在Rt△EBC中，利用勾股定理求边长即可．
【解答】解：如图，连接EC，
∵EF垂直平分AC
∴EC＝AE
∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝90°；
在Rt△EBC中，EC2＝EB2+BC2
又∵EC＝AE，EB＝AB﹣AE＝5﹣AE，BC＝4
..AE2＝（5﹣AE）2+42
解得：AE＝4.1．
故答案为：4.1．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）解不等式组：；
（2）解方程：+＝1．
【分析】（1）先解组中的两个不等式，再确定不等式组的解集；
（2）按解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）
解①，得x＜1，
解②，得x＞0，
∴原不等式组的解集为：0＜x＜1；
（2）原方程可变形为﹣＝1，
去分母，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
整理，得2x＝4
所以x＝2．
经检验，x＝2是原方式方程的解．
所以原方式方程的解为：x＝2．
16．（6分）先化简：（a﹣）÷，再从﹣1＜a≤2中选择一个整数代入求值．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的加减运算法则、分式的混合运算法则计算，再代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣）÷
＝×
＝×
＝a﹣1
∵﹣1＜a≤2，a＝2时，分式有意义，
∴当a＝2时，原式＝2﹣1＝1．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标为 （﹣1，5） ；
（3）在x轴上存在一点P，且满足点P到点B1和点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值 ．
【分析】（1）根据中心对称图形的性质，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标即可；
（2）根据旋转的性质即可写出点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应点C2的坐标；．
（3）根据两点之间线段最短，作点C1关于x轴的对称点，连接C′B1与x轴交于一点P，且满足点P到点B1点C1离之和最小，根据勾股定理，即可写出PB1+PC1的最小值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，
点B1的坐标为（﹣4，﹣4）；
（2）点C2的坐标为（﹣1，5）；
故答案为：（﹣1，5）；
（3）点P即为所求，
PB1+PC1的最小值为：
故答案为：．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点M、N 分别是AD、BC上的两点，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF．求证：四边形MENF是平行四边形．
【分析】根据SAS可以证明△DMF≌△BNE．从而得到MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．根据等角的补角相等，可以证明∠FEN＝∠EFM，则EN∥FM．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
在△BNE和△DMF中，，
∴△BNE≌△DMF（SAS）．
∴MF＝NE，∠DFM＝∠BEN．
∴EN∥FM．
∴四边形MENF是平行四边形．
19．（10分）某校组织师生春游，若单独租用45座的客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用60座的客车，则可以少租一辆，且余30个空位
（1）求该校参加春游的人数；
（2）该校决定这次春游同时租用这两种车，其中60座客车比45座客车多租一辆，这样比单独租用一辆节省租金．已知45座客车每辆租金250元，60座客车每辆租金为300元．请你你帮助设计本次春游所需车辆的租金．
【分析】（1）先设租用45座客车x辆，利用人数不变，可列出一元一次方程，求出车的辆数，再乘以45就是人数．
（2）可根据租用两种汽车时，租用45座客车的费用+租用60座客车的费用＜单独租用一种客车的费用，依此可列出不等式组，求出租用车辆的大致范围，然后根据60座客车比45座客车多租1辆，来判断出两种车各有多少辆进而求出租金的费用．
【解答】解：（1）设租用x辆45座的客车，依题意得
45x＝60（x﹣1）﹣30，
解得x＝6．
6×45＝270人．
答：该校参加春游的人数为270人．
（2）设租用y辆45座的客车，依题意得
，
解不等式组得2≤y＜．
所以该校租用2辆45座的客车，3辆60座的客车．
2×250+3×300＝1400元．
答：按这种方案需要租金1400元．
20．（10分）已知△ABC是等腰三角形．
（1）如图1，若△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，若△ABC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD，连接BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE．
①求∠AED的度数；
②试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；
（2）①先求出∠BAD＝150°，进而求出∠D＝15°，再求出∠DAE＝120°，即可得出结论；
②先判断出BE＝CE，再判断出△ACE≌△ADF（SAS），得出DF＝CE，再判断出EF＝AE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
由旋转知，AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，
∴∠D＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAE＝120°，
∴∠AED＝180°﹣∠D﹣∠DAE＝45°；
②BD＝2CE+AE；
证明：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝AE，
∴△BAE≌△CAE（SAS），
∴BE＝CE，
过点A作AF⊥AE交DE于F，
∴∠EAF＝90°，
由旋转知，∠CAD＝90°，
∴∠CAE＝∠DAF，
由①知，∠AED＝45°，
∴∠AFE＝45°＝∠AEF，
∴AE＝AF，
∴EF＝AE，
∵AC＝AD，
∴△ACE≌△ADF（SAS），
∴DF＝CE，
∴BD＝BE+EF+DF＝CE+AE+CE＝2CE+AE．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知ab＝7，a+b＝6，则多项式a2b+ab2的值为 42 ．
【分析】本题应先提公因式，把a2b+ab2分解因式，再把条件代入即可求值．
【解答】解：a2b+ab2＝ab•a+ab•b＝ab（a+b）．
把ab＝7，a+b＝6代入上式：原式＝7×6＝42．
故答案为：42．
22．（4分）如果不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围为 a≤4 ．
【分析】已知不等式组解集为x＞3，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a的范围．
【解答】解：由题意x＞3，x≥a，
∵不等式组的解集为x＞4，
∴a≤4．
故答案是：a≤4．
23．（4分）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2020＝ a+1 ．
【分析】根据题意可得S2＝＝﹣，S3＝＝，S4＝＝a+1，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值．
【解答】解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2＝＝﹣，
S3＝＝，
S4＝＝a+1，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴S2020＝a+1．
故答案为：a+1．
24．（4分）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为 8 ．
【分析】连接AI，BI，根据点I为△ABC角平分线交点，可得IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，再根据∠ACB平移，使其顶点与点I重合，可得DI∥AC，EI∥BC，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长．
【解答】解：如图，连接AI，BI，
∵点I为△ABC角平分线交点，
∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．
即图中阴影部分的周长为8．
故答案为：8．
25．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是 2.5≤m≤3 ．
【分析】将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A在线段CD上，据此可得m的取值范围．
【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D两点，则点A（﹣2，m）在线段CD上，
又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，
∴m的取值范围是2.5≤m≤3，
故答案为：2.5≤m≤3．
二、解答题：（共3个小题，共30分）
26．（8分）将a克糖放人水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（a＜b），再往杯中加人c（c＞0）克糖，经验告诉我们现在糖水的含糖量比原来高了．
（1）请用一个不等式表示这个现象： ＞（a＜b） ；
（2）请你用所学的数学知识解释其中的道理．
【分析】（1）用一个不等式表示即可求解；
（2）利用作差法即可求解．
【解答】解：（1）请用一个不等式表示这个现象：＞（a＜b）．
故答案为：＞（a＜b）；
（2）∵﹣＝＝＞0，
∴＞，
则现在糖水的含糖量比原来高了．
27．（10分）在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．
（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；
（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．
【分析】（1）证明△CFG≌△AEG（AAS），由全等三角形的性质可得出结论FG＝EG；
（2）过点E作EM⊥AB交AC于点M，证明△MEG≌△CFG（AAS），可得出EG＝FG；
（3）连接DE，DF，EH，证明△ADE≌△DCF（SAS），得出DE＝DF，由等腰三角形的性质得出DG⊥EF，则DH是EF的中垂线，可得出EH＝FH，由勾股定理求出EH＝13，设AE＝x，则CF＝x，得出方程2x+7＝13，解得x＝3，求出AB＝15，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠EAG＝∠FCG，
又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，
∴△CFG≌△AEG（AAS），
∴FG＝EG；
（2）（1）中结论依然成立．
理由如下：
如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠MAE＝∠AME＝45°，
∴AE＝EM，
又∵AE＝FC，
∴EM＝CF，
∵∠AEM＝∠ABC，
∴ME∥CF，
∴∠MEG＝∠GFC，
又∵∠MGE＝∠FGC，
∴△MEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG；
（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，
∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
由（2）知EG＝GF，
∴DG⊥EF，
∴DH是EF的中垂线，
∴EH＝FH，
∵BE＝12，BH＝5，
∴EH＝＝＝13，
∴FH＝13，
设AE＝x，则CF＝x，
∴AB＝CB＝12+x，
∴CH＝7+x，
∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，
∴2x+7＝13，
解得x＝3，
∴AB＝15，
∴正方形ABCD的面积为225．
28．（12分）如图1，直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0）．交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点C是线段AB中点，点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A、C、P、Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，若点P是x轴负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底作等腰△APM（点M在x轴下方），过点A作直线l∥PM．过点O作OE⊥AM于E，延长EO交直线l于点F，连接PF、OM，若2∠PFO+∠AFE＝180°，请用含t的代数式表示△PMO的面积．
【分析】（1）将点A代入解析式可求b的值，即可求解；
（2）分AC为边和对角线两种情况讨论，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，可求解；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA＝45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP＝OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP＝MT，可得PN＝MT＝2MQ＝2QT，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A（2，0），
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，
∴直线AB解析式为：y＝﹣2x+4；
（2）∵直线y＝﹣2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B（0，4），
∵点C是线段AB中点，
∴点C（1，2），
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
∴设点P（x，0），点Q（0，y），
当AC为边时，若四边形ACQP是平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ＝AP，
∴y＝2，
∴CQ＝1＝AP，
∴点P（1，0），
若四边形ACPQ是平行四边形时，
∴AP与CQ互相平分，
∴，
∴x＝﹣1，
∴点P（﹣1，0），
当AC为对角线时，若四边形APCQ是平行四边形时，
∴AC与PQ互相平分，
∴，
∴x＝3，
∴点P（3，0）；
综上所述：点P坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（3，0）；
（3））∵△AMP是等腰三角形，MP＝MA，
∴∠MAP＝∠MPA，
设∠MAP＝α，
∵直线l∥MP，
∴∠FAP＝∠MPA＝α，
∴∠FAE＝2α，
∵FE⊥AM，
∴∠FEA＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣2α，
又∵∠NFP+∠PFO+∠AFE＝180°，2∠PFO+∠AFE＝180°，
∴∠NFP＝∠PFO＝（180°﹣∠AFE）＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，
又∵∠NFP＝∠FPA+∠FAP，
∴45°+α＝∠FPA+α，
∴∠FPA＝45°，
过点P作PN⊥x轴于点P，交直线l于点N，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交直线l于点T，如图2所示，
∴∠NPA＝90°，
∴∠FPN＝45°，
在△NFP和△OFP中
，
∴△NFP≌△OFP（ASA）
∴NP＝OP，
∵PN∥MT，MP∥直线l，
∴四边形NPMT是平行四边形，
∴NP＝MT，
又∵∠TAQ＝∠MAQ，AQ＝AQ，∠AQT＝∠AQM，
∴PN＝MT＝2MQ＝2QT，
∵点P的横坐标为t，点P是x轴负半轴上一点，
∴QM＝﹣t，OP＝﹣t，
∴△PMO的面积＝×（﹣t）×（﹣t）＝t2．
相关资料
更多
